124 5 Spuren und Spektren des Kreisels

5.2.3 Die dritte Potenz

Bei der Berechnung von tr F^{3} zeigt sich deutlich die Notwendigkeit einer kollektiven Behandlung von Bahnen, die an einer Abfolge mehrerer Bifurkationen der Kodimension eins beteiligt sind. In Abbildung 37 sind für j = 3 Real- und Imaginärteil und der absolute Fehler der Spur in verschiedenen Stufen der Approximation gegen k aufgetragen. Die beiden Näherungen in der linken Spalte beziehen Geisterbahnen ein und behandeln deren Stokesübergänge mittels des Stokesfaktors (4.52). Behandelt man alle Bahnen isoliert, so führt dies zu den bekannt großen Abweichungen in der Nähe von Bifurkationen. Doch selbst die kollektive Behandlung von Bahnen, die nach ihrer Beteiligung an Bifurkationen der Kodimension eins einander zugeordnet werden, führt in weiten Bereichen des Parameterraums zu unbefriedigenden Ergebnissen. Insbesondere die Abfolgen von Tangentenbifurkationen und Periodenverdreifachungen lassen sich so nicht behandeln. Die Näherung der Kodimension zwei in der rechten Spalte vergrößert die Cluster entsprechend. Daraus resultieren die Verbesserungen für k ≈ 1 − 5. Damit sind die wesentlichen Defekte der Kodimension–eins–Näherung bereinigt. Doch auch weitergehende Verbesserungen lassen sich noch erreichen. So behandelt die Näherung der Kodimension zwei auch manche Abfolge von Stokesübergang und Tangentenbifurkation kollektiv, wie es schon für tr F^{2} notwendig wurde. Dadurch ergeben sich leichte Verbesserungen im Bereich k > ∼ 5. Damit sind alle Näherungen der Kodimension zwei ausgereizt. Es deutet sich bereits an, daß man mit Näherungen noch größerer Kodimension weitere Verbesserungen erzielen kann. Dafür steht beispielsweise die letzte betretene Näherungsstufe. Nur ein Beitrag wurde weiter verbessert: In der Umgebung der Stabilitätsinsel, in der sich die Abfolge von Bifurkationen [^{3}/_{1}]_{2}, [^{1}/_{3}]_{2} bei k ≈ 1.97 ereignet, kommt es bei k = 3.79 … zu einer weiteren Tangentenbifurkation [^{3}/_{1}]_{4}, in der ein neues Paar von Periode–drei–Bahnen den Weg zum Chaos pflastert. Zusammen mit den Satelliten aus der Tangentenbifurkation [^{3}/_{1}]_{2} liegen sie auf einer Weise um den zentralen Orbit herumgruppiert, die eine gemeinsame Behandlung der Satelliten als eine Art doppelt gebrochener Torus nahelegt. Ab k ≈ 2.8 sind die Satelliten vom zentralen Orbit so weit entfernt, daß letzterer mit seinem isolierten Beitrag genommen werden kann. Die Vorgehensweise für den Doppeltorus ist in Abschnitt 4.8 dargelegt. Wie die Näherung ”mit Doppeltorus“ zeigt, erhält man mit dieser Form des Beitrags tatsächlich einen substantiellen Gewinn an Genauigkeit, der sich auch für andere j– Werte bestätigt. Dazu verweisen wir auf Abbildung 38. Sowohl im Fehlerverhalten mit veränderlichem j als auch im zugehörigen Peak im Wirkungsspektrum zeigt sich die Überlegenheit der Näherung mit dem Doppeltorusbeitrag.

Eine weitere Verbesserung für die Spur wäre zu erwarten, wenn man für k < ∼ 2.8 die vier Satelliten mit dem zentralen Orbit gemeinsam behandelt. In der Normalform für die Erzeugende muß man dazu um drei Ordnungen über die Birkhoffsche Form hinausgehen. Dies entspräche bereits einer Näherung der Kodimension vier. (Bei Kodimension drei tritt gegenüber Kodimension zwei nur ein weiterer, zwangsläufig reeller