Spuren des Floquetoperators 121

Nähe der Tangentenbifurkation behandeln wir die beiden Periode–eins–Bahnen kollektiv. Ab einem gewissen k–Wert in der Nähe der Periodenverdopplung behandeln wir den instabilen Periode–eins–Orbit isoliert und die beiden bald bifurkierenden Bahnen kollektiv. Den Parameterwert der Umordnung wählen wir so, daß die Diskontinuität der Spur minimiert ist. In allen Fällen reicht diese Vorgehensweise aus. Sollte sie nicht funktionieren, so würde wohl eine kollektive Behandlung aller drei Bahnen zu einer vernünftigen Näherung führen. Eine solche Behandlung der Kodimension zwei, die bei diesen Kaskaden noch umgänglich ist, ist für den bereits in Abschnitt 5.1.5 diskutierten Stokesübergang unverzichtbar. In Abbildung 33 ist die Spur für j = 2 gegen k aufgetragen. Die Näherungen entsprechen denen für tr F^{1}. Wie schon dort sind Näherungen ohne Geister fast nirgends brauchbar. Mit Geistern erkennt man nun die Notwendigkeit, auf Stokesübergänge zu achten. Nicht immer reicht es dabei aus, mit dem Stokesfaktor (4.52) zu multiplizieren. Im Parameterbereich bei k = 8 bringt die Näherung der Kodimension zwei für den genannten Stokesübergang tatsächlich einen weiteren substantiellen Gewinn. Auch im Bereich k = 4 bis 6 ist das Ergebnis mit Kodimension eins nicht zufriedenstellend. Für zwei Beiträge muß hier die Kodimension erhöht werden. Der eine Fall ist der Stokesübergang des Geistes aus der Bifurkation [^{2}/_{1}]_{2}. Er findet bei k ≈ 4.30 statt. Der dominante Orbit ist der Satellit aus der Periodenverdopplung [^{1}/_{2}]_{2}. Er hat die gleiche Länge wie die subdominante Bahn. Daher kommt wieder der Ausdruck aus Abschnitt 4.6.1 zum Zuge. Im anderen Fall, dem Stokesübergang zur Tangentenbifurkation [^{2}/_{1}]_{1} bei k ≈ 3.30, hat der dominante Orbit [^{1}/_{0}]^{(2)} die Länge eins, der subdominante die Länge zwei. Wir benutzen dafür den Ausdruck aus Abschnitt 4.6.2. In beiden Situationen ist die Verwendung dieser Beiträge nur in hinreichender Entfernung zur Bifurkation des jeweiligen dominanten Orbits vernünftig. Im Bereich k = 4 − 6 bereitet dies keine Probleme. Im Ergebnis erhält man eine weitere Resultatsverbesserung. Diese Beobachtungen bestätigen sich auch für j = 3 (Abbildung 34).

Um die Ergebnisse weiter zu fundieren, betrachten wir wieder die j–Abhängigkeit der Spur und ihres Fehlers für festes k (Abbildung 35). Für k = 8 werden die Beiträge von 23 Orbits summiert. Die drei Näherungen unterscheiden sich in der Behandlung der beiden Bahnen aus der Tangentenbifurkation bei 8.12 … und dem dominanten Orbit vom zugehörigen Stokesübergang. Ein unakzeptabel großer Fehler tritt bei der gleichförmigen Behandlung der bifurkierenden Bahnen ohne Berücksichtigung ihres Stokesüberganges auf. Die Anwendung des Stokesfaktors drückt den Fehler nur unwesentlich. Erst die kollektive Hinzunahme des dominanten Orbits liefert ein verläßliches Ergebnis.

Gleiches gilt auch für k = 5. Die beiden Näherungen unterscheiden wieder in der Behandlung der beiden sich dort ankündigenden Stokesübergänge. Im einen Fall kommt der Stokesfaktor zur Anwendung, im anderen werden die Cluster um die dominanten Orbits erweitert. Die j–Abhängigkeit des Fehlers offenbart für beide k–Werte in der besten Näherung ein algebraisches Abklingen mit dem Exponenten eins.