weit über ein qualitatives Verständnis hinaus gelangt. Die Vorgehensweise ist recht allgemein gehalten. Es werden die charakteristischen Eigenschaften der Bahnen behandelt und ihr Wechselspiel im Phasenraum genauer untersucht. Der Phasenraum integrabler Systeme ist von Tori ausgefüllt. Schon der Übergang zu schwacher Nichtintegrabilität mit dem wohlbekannten Auseinanderbrechen der rationalen Tori läßt sich störungstheoretisch behandeln. Auf dem weiteren Weg zum Chaos spielen insbesondere Bifurkationen eine Rolle. Bei diesen Ereignissen treffen mehrere periodische Bahnen in Abhängigkeit einer Kopplungsstärke (oder der Energie in autonomen Systemen) im Phasenraum aufeinander. Man klassifiziert sie anhand der Kodimension und dem Verhältnis der Perioden der beteiligten Bahnen. Für allgemeine Systeme trifft man typischerweise auf die von Meyer und Bruno aufgespürten Bifurkationen der Kodimension eins [33–35]. Für jeden Bifurkationstyp lassen sich Normalformen für die Hamiltonfunktion und die Erzeugende angeben, die das Verhalten der Bahnen in der Nähe der Bifurkation beschreiben [30,36]. Wir berühren auch die Frage nach dem Gültigkeitsbereich der Störungsentwicklung [26,27,37]. Sequenzen einfacher Bifurkationen werden wir durch Bifurkationen höherer Kodimension beschreiben [38,39,28]. Zum Abschluß von Kapitel 3 suchen wir die einfachsten Bifurkationen des Kreisels auf und konstruieren aus ihnen die kürzesten periodischen Bahnen in einem gewissen Parameterbereich.

Im vierten Kapitel übersetzen wir die gewonnenen Einsichten aus der klassischen Dynamik in semiklassische Beiträge zur Spur des Floquetoperators. In den Spuren der Potenzen des Operators sind seine Eigenwerte und damit die Niveaus des Systems kodiert. Der Zugriff erfolgt über das charakteristische Polynom. Zu dessen Konstruktion ziehen wir die überaus hilfreiche Selbstinversitätsbeziehung [40] heran. Als Startpunkt zur Bestimmung der Spuren dient ein Ausdruck in der Form eines Integrals über den klassischen Phasenraum. Er leitet sich aus der Van–Vleck–Näherung des Floquetoperators her. Das Integral wird weiter mittels der Methode des stärksten Abklingens des Integranden behandelt [41,42]. Diese hat ihren Ursprung in der Theorie asymptotischer Entwicklungen und beruht auf einer Deformation der Integrationsmannigfaltigkeit ins Komplexe. Die Hauptbeiträge zum Integral lassen sich auf Integrationsgebiete in der Umgebung periodischer Bahnen zurückführen. Auch periodische Bahnen mit komplexen Koordinaten, sogenannte Geister, tauchen dabei auf [23,43]. In diesem Zusammenhang werden zudem globale Bifurkationen wichtig, und zwar in der Form von Stokesübergängen, bei denen Geister von der Integrationsmannigfaltigkeit wegwandern [44,45].

Für hinreichend weit voneinander entfernte Bahnen führt eine Näherung nach der Methode der stationären Phase zu den von Gutzwiller angegebenen ”isolierten“ Beiträgen. In der Nähe einer Bifurkation muß man auf die Normalformen aus Kapitel 3 zurückgreifen und erhält dann kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen in Form sogenannter Diffraktionsintegrale. In einer ersten Stufe wird man auf die lokalen Näherungen von Ozorio de Almeida und Hannay geführt [30,36]. Sie sind in unmittelbarer Nähe zur Bifurkation brauchbar, versagen jedoch mit wachsender Entfernung sowie im