118 5 Spuren und Spektren des Kreisels

Abbildung 32: Absoluter Fehler | tr F_{qm}^{1} − tr F_{sk}^{1}| der ersten Spur wie in Abbildung 30, aber für k = 2.2 und k = 2.0. Nun sind die bifurkierenden Bahnen Geister. Verglichen werden die isolierten Näherungen ohne und mit Geistern mit der gleichförmigen Näherung mit Geistern.

hin. Tatsächlich ist auch die Differenz der kollektiven Beiträge zu dem führenden Term ihrer asymptotischen Entwicklung in J → ∞ von dieser Größenordnung: Isolierte und kollektive Beiträge unterscheiden sich unter Benutzung von (4.62) um 𝒪(1/J).

Auf der anderen Seite der Bifurkation vergleichen wir in Abbildung 32 bei k = 2.2 und k = 2.0 die isolierten Näherungen ohne und mit Geistern mit der gleichförmigen Näherung. Erneut offenbart sich für den Fehler der letzteren ein algebraisches Abklingen nach (5.2). Die isolierte Behandlung der Geister liefert für k = 2.2 einen etwa um eine Größenordnung erhöhten Fehler, der sich langsam dem der gleichförmigen Näherung angleicht. Ohne Geister ist man noch sehr weit von einer vernünftigen Näherung entfernt. Selbst die Tatsache, daß der Geisterbeitrag asymptotisch exponentiell mit exp[−J Im S] unterdrückt wird, scheint von unwesentlichem Nutzen zu sein. In einem einfachlogarithmischen Plot zeigt sich, daß der Fehler ohne Geister zunächst exponentiell abfällt. Extrapoliert man dieses Verhalten, so sollte er für k = 2.2 etwa bei j = 400 in die Größenordnung des Fehlers der beiden anderen Näherungen gelangen. Für k = 2.0 ist man bereits so weit von der Bifurkation entfernt, daß man die Geister ab j ≈ 40 auch isoliert behandeln kann. Ab j ≈ 120 wird man sie schließlich vernachlässigen können.

5.2.2 Die zweite Potenz

Zur Berechnung der Spur der zweiten Potenz des Floquetoperators ordnen wir die periodischen Bahnen der Längen eins und zwei zunächst gemäß der nächstliegenden Bifurkation in Cluster. Bahnen der Länge eins sind hier bereits in Kaskaden verwickelt. Sind sie durch eine Tangentenbifurkation entstanden, so wird der zunächst stabile der beiden neuen Orbits für einen gewissen k–Wert in einer Periodenverdopplung instabil. Man muß dann zwischen den beiden Bifurkationen die Orbits umsortieren. In der