116 5 Spuren und Spektren des Kreisels

j = 10 setzt sich dieser Trend fort. Mit steigendem j werden Geisterbeiträge exponentiell unterdrückt; kollektive Beiträge zerfallen schneller (betrachtet als Funktion von k) in ihre asymptotische Gestalt, also die Summen isolierter Beiträge. Dennoch bleiben die Bereiche, in denen man um die Verwendung kollektiver Beiträge nicht herumkommt, recht groß.

Der mittlere absolute Fehler in der besten Näherung ist etwa 0.1 für j = 1, 0.03 für j = 3, 0.02 für j = 5 und 0.01 für j = 10. Er sinkt also grob mit 1/j. Genaueres lernt man aus dem Verhalten des Fehler für feste Werte von k über einen größeren Bereich von j. Wir betrachten zunächst k = 2.7 und vergleichen die isolierte mit der gleichförmigen Näherung der Kodimension eins (Abbildung 30). Man befindet sich in unmittelbarer Nachbarschaft der Tangentenbifurkation [^{1}/_{1}]_{1} bei k = 2.45 . . .. Nur reelle Orbits fließen auf dieser Seite der Bifurkation in die semiklassischen Ausdrücke ein; die nächste Tangentenbifurkation [^{1}/_{1}]_{2} bei k = 8.81 … ist noch weit weg. Real- und Imaginärteil oszillieren als Funktion von j, was sich semiklassisch durch die Interferenz der verschiedenen Beiträge erklären läßt. Die Fouriertransformation bezüglich j führt ja zu dem ausführlich diskutierten Wirkungsspektrum mit seinen ausgeprägten Peaks an den Wirkungen periodischer Bahnen. In Abbildung 30 ist Re tr F^{1}(j) zum einen exakt über einen größeren Bereich von j aufgetragen, um die Oszillation zu illustrieren; zum anderen wird diese Größe in einem kleineren Ausschnitt mit den beiden semiklassischen Näherungen verglichen. Unser Hauptinteresse gilt dem Fehler der gleichförmigen Näherung, der in der doppellogarithmischen Darstellung eine algebraische Abhängigkeit mit einem Exponenten von eins offenbart,

| tr F_{gleichf}^{1} − tr F_{qm}^{1}| = 𝒪(1/J) . (5.2)

Die isolierte Näherung liefert einen Fehler, der um mindestens eine Größenordnung darüber liegt. Selbst bei j = 100 haben sich beide Fehler noch nicht aneinander angeglichen. Auch den Fehler der lokalen Näherung haben wir hier noch einmal angegeben, der Übersichtlichkeit wegen aber auf die Darstellung von Re tr F^{1} in dieser Näherung verzichtet. Bei diesem und bei anderen k–Werten stellt sich — wie schon beim Wirkungsspektrum, Abbildung 19 — heraus, daß der Fehler der lokalen Näherung im großen und ganzen j–unabhängig ist.

Mit wachsender Entfernung zur Bifurkation nähert sich der isolierte Fehler dem gleichförmigen an. Ein mit j unveränderlicher Größenordnungsunterschied bleibt jedoch bestehen. So liegt in Abbildung 31 der Fehler der isolierten Näherung für k = 3.0 über den gesamten j–Bereich etwa eine Größenordnung über dem der gleichförmigen; für k = 3.5 ist der Unterschied noch etwas größer als eine halbe Größenordnung. Dies deutet auf ein asymptotisches Verhalten

| tr F_{isoliert}^{1} − tr F_{gleichf}^{1}| = 𝒪(1/J) (5.3)