Spuren des Floquetoperators 111

5.2.1 Die erste Potenz

Die Spur der ersten Potenz des Floquetoperators tr F ist semiklassisch am leichtesten zugänglich — in sie fließt die geringste Zahl periodischer Bahnen ein, nämlich nur jede Bahn mit Periode eins. Für die erste Potenz sind allein die Tangentenbifurkationen der Periode–eins–Bahnen von Bedeutung, da alle anderen Bifurkationen erst unter Iteration der Abbildung sichtbar werden. Jede Bifurkation definiert einen Cluster aus den an ihr beteiligten Bahnen. Die Cluster können über den gesamten Parameterbereich unverändert gelassen werden, da alle Bahnen für die betrachteten Kopplungsstärken maximal an einer Bifurkation beteiligt sind.

Für j = 1 genügt die erste Spur und die Kenntnis der Determinante bereits zur Festlegung des gesamten aus drei Niveaus bestehenden Quasienergiespektrums. In Abbildung 26 sind Real- und Imaginärteil der Spur für j = 1 in verschiedenen Näherungen gegen k aufgetragen. Auch der absolute Fehler | tr F_{qm}^{1} − tr F_{sk}^{1}| ist angegeben. Hier steht ”qm“ für quantenmechanisch und ”sk“ für semiklassisch. Wir diskutieren kurz die verschiedenen Stufen der Näherung: In der isolierten Näherung werden hier nur die reellen Bahnen berücksichtigt. Sie entspricht also der naiven Anwendung der nur für hyperbolische Systeme gültigen Gutzwillerschen Spurformel. An den beiden Tangentenbifurkationen [^{1}/_{1}]_{1,2} bei k = 2.45 … und k = 8.81 … divergiert sie jeweils auf der Seite der Bifurkation, auf der die bifurkierenden Bahnen reelle Koordinaten haben. Die reelle Näherung mit Kodimension eins regularisiert das Verhalten auf dieser Seite mittels des kollektiven Beitrags (4.70) für Tangentenbifurkationen. Auf der anderen Seite der Bifurkation ist das Ergebnis in beiden Näherungen endlich, aber grob falsch. Offensichtlich rührt dies aus der Vernachlässigung der Geisterbeiträge her. Sie haben wir im nächsten Schritt mit ihrem kollektiven Beitrag hinzugenommen. Dadurch erhält man eine bereits recht ordentliche Näherung. Für die betrachtete Spur sind Stokesübergänge nach erstem Anschein nicht sehr wichtig. Das Ausschalten irrelevant werdender Geister mittels des Stokesfaktors (4.52) führt jedenfalls zu keinem ausgeprägten Gewinn. Schließt man jedoch den dominanten Orbit in die kollektive Betrachtungsweise ein (Abschnitt 4.6.1), so läßt sich mit der resultierenden Näherung der Kodimension zwei eine weitere Verbesserung erzielen. Für die betrachtete Spur gelingt dies insbesondere im Bereich 0.5 < k < 3. Es sind die periodischen Bahnen aus der Tangentenbifurkation [^{1}/_{1}]_{1} bei k = 2.45 … und ihr dominanter Orbit [^{1}/_{0}]^{(2)}, die der skizzierten Verfahrensweise aufgeschlossen gegenüberstehen.

Auch in den Abbildungen 27 für j = 3 und 28 für j = 5 wird die leichte Überlegenheit der Näherung mit Kodimension zwei für kleine k–Werte deutlich. Weit rechts der Bifurkation, insbesondere im Bereich 4 < k < 6, ist sie allerdings ein wenig schlechter als die kollektive Näherung mit Clustern der Kodimension eins. Der Unterschied zwischen den Geisternäherungen mit und ohne Stokesfaktoren ist dagegen kaum noch auszumachen. Im Vergleich zu j = 1 schrumpfen für die Näherungen ohne Geister die k–Intervalle mit ausgeprägtem Fehler allmählich zusammen. Auch in Abbildung 29 mit