110 5 Spuren und Spektren des Kreisels

exakte Peakhöhe bei der Wirkung S_{+} des dominanten Orbits und beim Realteil der Wirkung S_{−} des subdominanten Geistes mit verschiedenen semiklassischen Näherungen verglichen, die sich in der Behandlung des Stokesüberganges unterscheiden. Die einfache gleichförmige Näherung ignoriert den Stokesübergang und führt dort, wo Geister irrelevant sind, zu einem deutlich überhöhten Peak bei S_{−}. Auch direkt an der Bifurkation sind beide Peaks deutlich überhöht. Berücksichtigt man den Stokesübergang durch Multiplikation des Stokesfaktors (4.52) an den Geisterbeitrag, so stimmt das Ergebnis für kleine k–Werte, wo der Beitrag bereits fast vollständig unterdrückt ist, sehr gut mit dem exakten überein. Direkt an der Bifurkation und dem Übergang wird die Peakhöhe jedoch nicht hinreichend regularisiert. Dies gelingt erst mit der kollektiven Behandlung aller drei an der Bifurkation und dem Übergang beteiligten Bahnen. Dann erhält man ein Ergebnis, das über den gesamten k–Bereich gut ist. Den untersuchten Peaks überlagern sich abseits der Bifurkation und des Stokesüberganges auch die zweier weiterer Bahnen, die hier in allen Näherungen mit ihren isolierten Beiträgen mitberücksichtigt wurden. Aus ihnen resultieren die deutlich sichtbaren erratischen Fluktuationen der Peakhöhe des subdominanten Orbits.

Die Abfolge eines Stokesüberganges eines Periode–zwei–Orbits mit einem dominanten Orbit der Länge eins diskutieren wir in Abschnitt 5.2.2. In Abschnitt 5.2.3 behandeln wir schließlich den Beitrag eines doppelt gebrochenen Torus.

5.2 Spuren des Floquetoperators

Wir wenden uns nun den eigentlichen Spuren der Floquetoperators zu und stellen die numerischen Daten zusammen, die später zur Berechnung des Quasienergiespektrums herangezogen werden. Wir wollen dabei den gesamten Übergang von regulärem zu ausgeprägt chaotischem Verhalten überdecken, welcher im Intervall 0 ≤ k < ∼ 10 vonstatten geht.

Mit vertretbarem Aufwand lassen sich in diesem Intervall die Spuren tr F^{n} mit den Potenzen n = 1, 2, 3 berechnen. In den ausgefeiltesten Näherungen erhält man dann selbst für kleine Werte j = 1, 2, 3 der Drehimpulsquantenzahl gute Ergebnisse. Der Fehler verhält sich in diesen Näherungen mit steigendem J = j + \frac{1}{2} wie J^{−1}. Ebensogute Ergebnisse werden wir in Abschnitt (5.5) für die halbzahligen Werte j = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} kennenlernen.

Die nicht ganz so elaborierten Näherungen (etwa mit isolierten oder lokalen Beiträgen oder solchen zu geringer Kodimension, schließlich auch Stokesübergänge mißachtende) führen in recht ausgedehnten Bereichen des Parameterraums selbst bei großen Werten von j zu einem um Größenordnungen erhöhten Fehler.

Für die periodischen Bahnen und Bifurkationen verweisen wir auf Abschnitt 3.6.