2 1 Einleitung und Übersicht

mit der anderen Klasse von Systemen zu tun haben. Typisch sind Systeme mit einer Dynamik irgendwo zwischen völlig regulärem und chaotischem Verhalten [18].

Das Terrain besteht aus den Systemen mit gemischtem Phasenraum, denen in dieser Arbeit unser besonderes Interesse gilt. Ihre Dynamik ist durch das Zusammenspiel regulärer und chaotischer Bereiche im Phasenraum geprägt. Dies führt zu reichhaltigen Strukturen, die auch bei der Suche nach den semiklassischen Eigenenergien beachtet werden müssen. Für solche Systeme wurden bis dato semiklassisch nur Modulationen des Spektrums über den Abstand vieler Energieniveaus erfolgreich erklärt. Unser Ziel ist die Berechnung vollständiger Spektren mit größtmöglicher Auflösung.

Wir beginnen mit der Betrachtung eines speziellen Systems, des periodisch getriebenen Kreisels (Kapitel 2) [19–29]. Damit haben wir ein System zur Hand, an dem wir sowohl quantenmechanische als auch semiklassische und klassische Eigenschaften untersuchen und miteinander verknüpfen können. Der Kreisel beruht auf der Dynamik eines periodisch getriebenen Drehimpulses. Die Quantenmechanik spielt sich in den Darstellungen der Drehimpulsalgebra ab. Sie werden durch die Quantenzahl j charakterisiert. In jeder Darstellung ist der Hilbertraum von endlicher Dimension 2j + 1. In der Semiklassik spielt (j + \frac{1}{2})^{−1} die Rolle der effektiven Planckschen Konstanten. Im Grenzfall unendlicher Darstellungsdimension erhält man das klassische System. Es hat einen Freiheitgrad und besitzt die Oberfläche der Einheitskugel als Phasenraum. Wegen der Periodizität der den Kreisel treibenden Kraft steht für uns vor allem seine stroboskopische Zeitentwicklung im Vordergrund. Quantenmechanisch wird sie durch den Floquetoperator beschrieben. Er ist der Zeitentwicklungsoperator über eine Periode. Klassisch reduziert sich die Beschreibung auf eine Abbildung des Phasenraums auf sich selbst. In der in dieser Arbeit betrachteten Variante erfährt der Drehimpulsvektor eine Abfolge linearer und nichtlinearer Drehungen um die Koordinatenachsen. Wir parametrisieren das System so, daß sich der Übergang von integrabler Dynamik hin zu ausgeprägtem Chaos vollziehen läßt. Einen ersten Einblick in die Natur der Dynamik geben Phasenraumportraits.

Im Mittelpunkt unserer Anstrengungen steht das Energiespektrum. Es soll semiklassisch aus den Eigenschaften der periodischen Bahnen gewonnen werden. Daher beschäftigen wir uns im dritten Kapitel mit den mit diesen Bahnen verbundenen Aspekten der klassischen Mechanik. Die Bahnen werden durch vier kanonisch invariante Größen beschrieben, und zwar ihre Wirkung, ihren Stabilitätsfaktor, den Maslovindex und schließlich ihre Periode. Sie sind alle mit den Erzeugenden der stroboskopischen zeitlichen Entwicklung verknüpft. Diese Funktionen beschreiben die Dynamik in der Form einer kanonischen Transformation von den End- zu den Anfangskoordinaten. Neben den allgemeinen Zusammenhängen werden auch die für den Kreisel spezifischen Ausdrücke bereitgestellt.

Ausgangspunkt für die ausführliche Untersuchung des dynamischen Verhaltens ist die klassische Störungstheorie [30–32]. So lassen sich etwa die im Phasenraumportrait vorgefundenen Kennzeichen regulärer oder irregulärer Dynamik erklären, wobei man