106 5 Spuren und Spektren des Kreisels

daß es wieder einen Übergangsbereich gibt, in dem die Verwendung der gleichförmigen Näherung unabdingbar ist.

Der Geisterbeitrag der Satelliten vor der Bifurkation ist in den Abbildungen 21 und 22 sehr stark unterdrückt. Dies steht in Einklang mit dem asymptotischen Verhalten (4.82) des kollektiven Beitrags (4.78) und ist Ausdruck des Umstands, daß der Satellitengeist nicht auf der nach der Methode des stärksten Abklingens des Integranden deformierten Integrationskontur liegt.

5.1.3 Periodenverdreifachungen

Beim Auffinden der periodischen Bahnen des Kreisels haben wir bereits festgestellt, daß Periodenverdreifachungen immer von Tangentenbifurkationen des Satelliten begleitet werden. Wie sich in Abbildung 23 zeigt, ist die Wirkungsdifferenz des dabei involvierten zusätzlichen Satelliten so klein, daß man mit Näherungen auf der Basis von Bifurkationen der Kodimension eins nicht mehr auskommt. Vor der Tangentenbifurkation [^{3}/_{1}]_{1} werden in der entsprechend bezeichneten Näherung die beiden Satelliten kollektiv und der zentrale Orbit isoliert behandelt. Jenseits der Periodenverdreifachung [^{1}/_{3}]_{1} gehen die daran beteiligten Bahnen kollektiv ein, während nun der zusätzliche Satellit mit seinem isolierten Beitrag genommen wird. Zum Vergleich ist dargestellt, zu welchem Resultat man mit der isolierten Behandlung aller drei Bahnen kommt. Aus Abbildung 23 ist weiter ersichtlich, daß die kollektive Behandlung aller drei periodischen Bahnen gemäß (4.112) wieder zu einer guten Übereinstimmung der semiklassischen Voraussage mit den exakten Peakhöhen führt. Semiklassisch spürt man somit Bifurkationen der Kodimension zwei, selbst wenn man nur einen Parameter verändert. Dies ist nicht weiter verwunderlich, da selbst Bifurkationen der Kodimension eins semiklassisch eine gewisse Reichweite in k haben, sich also nicht nur punktuell für den Bifurkationswert von k bemerkbar machen. Wir erinnern an das Abstandsmaß JΔS, welches groß sein muß, damit kollektive Beiträge in isolierte zerfallen. Erst wenn man die Summationsgrenzen in (5.1) zu sehr großen Werten verschiebt, reichen hier in analoger Weise die Näherungen zur Kodimension eins wieder aus.

Die Peakhöhen der Geistersatelliten fallen für kleiner werdende Werte von k rapide ab. Verantwortlich hierfür ist der Stokesübergang, der die Geister bereits für k < ∼ 1.84 irrelevant werden läßt. Die Näherungen mit Kodimension zwei spiegeln sehr gut wider, daß dieser Übergang nicht schlagartig, sondern allmählich vonstatten geht.

5.1.4 Periodenvervierfachungen

Wir wenden uns nun der Periodenvervierfachung [^{1}/_{4}]_{1} bei k = 1.01 … zu. Sie ist vom Typ |a/b| > 1 für das Verhältnis der Koeffizienten in der Normalform (3.140). Auf der einen Seite gibt es also zwei Geistersatelliten, auf der anderen zwei reelle Satelliten. Die exakten Peakhöhen sind in Abbildung 24 mit den semiklassischen Vorhersagen der