Das Wirkungsspektrum und die Güte kollektiver Beiträge 101

Abbildung 16: Exakter und semiklassisch berechnete Peaks der bifurkierenden Bahnen wie in 15(b), aber für k = 2.7

Ein semiklassischer Beitrag zur Spur läßt sich also individuell auf seine Genauigkeit hin überprüfen, indem man den aus ihm resultierenden Peak im Wirkungsspektrum bestimmt und mit dem exakten Wirkungsspektrum vergleicht. Als geeignete Vergleichsgrößen bieten sich die Betragsquadrate |T (S_{i})|^{2} an den Werten der Wirkungen der periodischen Bahnen an. Um unsere Näherungen systematisch zu testen, untersuchen wir in der Folge das Verhalten dieser Peakhöhen als Funktion des Kontrollparameters k. Wir ziehen dabei in der Regel in der semiklassischen Berechnung nur den Beitrag jener periodischer Bahnen heran, die dem zu untersuchenden Peak zugeordnet werden können. In den meisten Fällen reicht das aus. Systematische Abweichungen treten auf, wenn sich Peaks anderer Bahnen überlagern. Man kann diese Bahnen dann hinzunehmen, und wir werden dies auch stellenweise tun. Die Stärke der Methode, nämlich sich meist auf nur wenige Bahnen konzentrieren und ihren Beitrag für sich untersuchen zu können, bleibt davon weitgehend unberührt.

In den Graphen der Abbildung 17 sind die quantenmechanischen und semiklassischen Peakhöhen |T^{(1)}(S_{±})|^{2} für die beiden aus den Fixpunkten entstandenen Bahnen ± als Funktion von k aufgetragen. Semiklassisch haben wir den isolierten Beitrag (4.48) der entsprechenden Bahn herangezogen und wie bereits besprochen die anderen Bahnen vernachlässigt. Man erkennt recht gute Übereinstimmung.

Die Peakhöhen an den Werten der beiden bifurkierenden Bahnen [^{1}/_{1}]_{1}^{(0,1)} sind in Abbildung 18 dargestellt. Hier sind wieder die drei Stufen isoliert, lokal und gleichförmig der Näherung miteinander verglichen. Die isolierte Näherung ist nur weitab der Bifurkation gültig. Direkt an der Bifurkation divergiert sie, und auch noch in einiger Entfernung liegt sie zu hoch. Der Gültigkeitsbereich der lokalen Näherung ist auf der Seite mit reellen periodischen Bahnen dem der isolierten Näherung komplementär. Die Höhe der Geisterpeaks stimmt mit dem exakten Resultat gut überein. Die gleichförmige Näherung ist im gesamten k–Bereich gültig. Sie interpoliert also sinnvoll zwischen der lokalen