1 Einleitung und Übersicht

Semiklassische Methoden sind seit jeher ein fester Bestandteil der Quantenmechanik. Um mit ihnen Informationen über ein quantenmechanisches System zu erhalten, macht man sich Kenntnisse über das klassische Gegenstück zunutze. Von besonderem Interesse sind Eigenschaften des Energiespektrums, etwa die Lage der Energieniveaus, aber auch ihre statistischen Korrelationen. Manche dieser Eigenschaften sollten im semiklassischen Grenzfall, in dem die Plancksche Konstante gegen Null geschickt wird, gut beschrieben werden.

Die Quantisierungsvorschrift von Bohr und Sommerfeld, die noch aus der Zeit vor der eigentlichen Formulierung der Quantenmechanik stammt, beruht bereits auf der in der Semiklassik so fundamentalen Wirkung und erscheint im Rückblick als eine semiklassische Technik zur Festlegung der Eigenenergien integrabler Systeme. Eine saubere Formulierung findet sie in der Einstein–Brillouin–Keller (EBK)–Quantisierung [1–4]. Auch in der Folgezeit war das Interesse an einer vertieften Kenntnis des Zusammenhangs zwischen klassischer und Quantenmechanik groß. Arbeiten etwa von Van Vleck [5] und Dirac [6] über den Propagator waren nicht nur zum Verständnis der Quantenmechanik von Bedeutung, sondern auch für ihre Weiterentwicklung (siehe dazu [7]; man denke zudem an Pfadintegrale [8,9]). Sie sind der Ausgangspunkt für Überlegungen, die Gutzwiller schließlich zur Formulierung einer bemerkenswerten Beziehung für Systeme mit einem chaotischen klassischen Verhalten leiteten [10,11].

In ihr wird die spektrale Dichte d(E) = ∑_{i} δ(E − E_{i}) der Energieniveaus als Summe individueller Beiträge periodischer Bahnen ausgedrückt, solcher Trajektorien also, die mit einer gewissen Periode immer wieder zum selben Punkt im Phasenraum zurückkehren. Da in der Herleitung der Beziehung die Spur der Resolventen \frac{1}{Ĥ−E} auftritt, nennt man sie auch Gutzwillersche Spurformel. Eine ähnliche Beziehung wurde von Tabor für zeitlich periodisch getriebene Systeme formuliert. Bei diesen setzt sich die Spur des Zeitentwicklungsoperators aus Beiträgen periodischer Bahnen zusammen [12,13].

Da die Komplexität chaotischer Systeme erst im Verlauf der sechziger Jahre im vollen Ausmaß in den Blickpunkt geriet, mag es verwundern, daß die analoge Verknüpfung für integrable Systeme erst nach Gutzwillers Entdeckung von Balian und Bloch [14] sowie Berry und Tabor [15,16] gefunden wurde (siehe auch [17]).

Ist der Kreis damit ganz geschlossen? Tatsächlich hat man einen weiten Bogen geschlagen. Ausgangspunkt sind die integrablen Systeme und die EBK–Quantisierungsvorschrift sowie die analoge WKB–Näherung der Wellenfunktion. Dies führt dann über den semiklassischen Van–Vleck–Propagator zur Quantisierung global chaotischer (hyperbolischer) Systeme. Nun sind dies jedoch zwei Ecksteine, zwischen denen sich das Terrain auszuloten lohnt, denn in der Regel wird man es weder mit der einen noch