Das Wirkungsspektrum und die Güte kollektiver Beiträge 99

Abbildung 14: Abfolge quantenmechanisch berechneter Wirkungsspektren |T^{(1)}(S)|^{2} für steigende Werte des Kontrollparameters k. Die Peaks können den periodischen Bahnen der Länge eins zugeordnet werden.

5.1.1 Isolierte Bahnen und Tangentenbifurkationen

Abbildung 14 zeigt eine Abfolge exakter Wirkungsspektren |T^{(1)}(S)|^{2} für verschiedene Werte von k. Es zeigen sich Peaks, die allesamt periodischen Bahnen der Länge eins zugeordnet werden können. Die Peaks bei S_{+} ≈ 1 und S_{−} ≈ 4 gehören zu den beiden Bahnen + ≡ [^{1}/_{0}]^{(1)}, − ≡ [^{1}/_{0}]^{(2)}, die aus den Fixpunkten ±X̃ (2.32) für k = 0 hervorgehen. Bei k = 2.45 … ereignet sich die Tangentenbifurkation [^{1}/_{1}]_{1}, in der zwei neue periodische Bahnen der Länge eins entstehen. Bereits vor der Bifurkation kündigen sie sich durch einen Geisterpeak (bei S = Re S_{i} ≈ 5.3) an [22,23]. In unmittelbarer Nähe zur Bifurkation ist der Peak der bifurkierenden Bahnen sehr ausgeprägt. Für steigendes k wächst die Wirkungsdifferenz der neuen Bahnen, bis schließlich das Auflösungsvermögen ausreicht, um zwei getrennte Peaks zu erhalten. Für k = 3.0 ist dies bereits der Fall.

In einem ersten Test berechnen wir tr F^{n}(j) in verschiedenen semiklassischen Näherungen und vergleichen die daraus resultierenden Wirkungsspektren mit den exakten. Das Ergebnis für k = 3.0 ist in Abbildung 15(a) dargestellt. In allen Näherungen benutzen wir für die beiden aus den Fixpunkten entstandenen Bahnen den isolierten Beitrag (4.48). Die beiden zugehörigen Peaks und insbesondere ihre Position und Höhe werden sehr gut reproduziert. Die erreichte Güte ist das Maß, an dem wir uns im weiteren orientieren wollen. Die verschiedenen Näherungen unterscheiden sich in der Behandlung