98 5 Spuren und Spektren des Kreisels

durch eine Art Fourierreihenentwicklung extrahieren [87,88,22,26–28]. Wir bedienen uns einer endlichen Teilsumme aus einer solchen Entwicklung,

T^{(n)}(S) ≡ \frac{1}{j_{max} + 1 − j_{min}} ∑_{j=j_{min}}^{j_{max}} tr F^{n}(j) exp [−i (j + \frac{1}{2}) S] . (5.1)

Die inverse effektive Plancksche Konstante ist als Summationsindex ”konjugiert“ zum Argument S ∈ [0, 2π). (Wir werden der Einfachheit halber nur über ganzzahliges j summieren. Schließt man auch halbzahlige j’s mit ein, so liegt S in [0, 4π)).

Setzt man für tr F^{n} semiklassisch eine Summe isolierter Beiträge (4.48) von periodischen Bahnen i der Länge n und Wirkung S_{i} an, so erwartet man in |T^{(n)}(S)|^{2} Peaks bei S = S_{i} mit der Höhe |A_{i}|^{2} aus (4.49). Aus diesem Grund nennen wir |T^{(n)}(S)|^{2} in der Folge das Wirkungsspektrum. Die Breite der Peaks wird durch das Auflösungsvermögen der Entwicklung (5.1) und somit durch die Summationsgrenzen bestimmt. Sofern nichts anderes angegeben ist, benutzen wir j_{min} = 1 und j_{max} = 64. Das Auflösungsvermögen in S ist dann von der Größenordnung 2π/64 ≈ 0.1.

Auch in den kollektiven Beiträgen ist die J–Abhängigkeit der Phase ähnlich der der isolierten Beiträge. Dort fließt nun eine geeignet gemittelte Wirkung ein, wie insbesondere in den Ausdrücken (4.70), (4.78) und (4.87) deutlich wird. Dies ist eine Konsequenz der einfachen J–Abhängigkeit des Integranden in (4.39). Kollektive Beiträge beschreiben mehrere Bahnen gleichzeitig und werden zu einem ausgedehnten Peak führen. Es hängt von der mit J skalierten Wirkungsdifferenz der Bahnen ab, ob der Peak gegebenenfalls eine feinere Struktur aufweist. So ist es etwa in enger Nachbarschaft zur Bifurkation durchaus möglich, daß sich zu den bifurkierenden Bahnen nur ein gemeinsamer Peak im Wirkungsspektrum findet. In hinreichender Entfernung zur Bifurkation erwartet man hingegen für jede Bahn einen eigenen Peak, da die kollektiven Beiträge dann in eine Summe isolierter Beiträge zerfallen. [Aber auch Peaks von im Phasenraum weit voneinander entfernten Bahnen können sich überlagern, wenn sie zufällig beinahe die gleiche Wirkung (modulo 2π) haben.] In den lokalen Näherungen sind die Peakhöhen miteinander verknüpft. Sie sind daher nur in der Nähe der Bifurkation gültig, wo die entsprechenden Beziehungen zwischen den Stabilitätsfaktoren noch gut erfüllt sind. Die gleichförmigen Näherungen zerfallen asymptotisch in isolierte Beiträge mit unabhängigen Peakhöhen und sollten auch weit von der Bifurkation entfernt verwendbar sein.

Diese Erwartungen können wir für den periodisch getriebenen Kreisel bestätigen. Wir benutzen wieder die mit einem Kontrollparameter k ausgestattete Variante aus Abschnitt 2.2.3. Die periodischen Bahnen und Bifurkationen haben wir in Abschnitt 3.6 untersucht. Die quantenmechanischen Spuren und damit auch die exakten Wirkungsspektren sind numerisch leicht erhältlich.