Das Wirkungsspektrum und die Güte kollektiver Beiträge 97

5 Spuren und Spektren des Kreisels

Wir wenden uns nun wieder dem Kreisel zu. Die verschiedenen semiklassischen Beiträge zur Spur aus Kapitel 4 werden zunächst jeder für sich mittels des sogenannten Wirkungsspektrums untersucht. Wir finden sehr gute Übereinstimmung zwischen semiklassischen und exakt quantenmechanischen Resultaten, wenn man kollektive Beiträge heranzieht. Die isolierten Beiträge sind nur weitab einer Bifurkation gültig, die lokalen Näherungen versagen gerade dort sowie im semiklassischen Grenzfall.

Damit sind alle Vorarbeiten zur Berechnung konkreter Spuren und Spektren abgeschlossen. Die Spuren tr F^{n} mit n = 1, 2 und 3 werden für verschiedene Werte der Quantenzahl j in semiklassischer Näherung berechnet und mit dem exakten Resultat verglichen. Für das Spektrum benötigen wir auch die Determinante det F. Sie ist analytisch zugänglich und kann semiklassisch exakt reproduziert werden. Auch die reine Drehung und die reine Torsion lassen sich analytisch behandeln. In beiden Fällen stimmen die Spuren und damit auch das Spektrum sogar mit dem quantenmechanischen Resultat überein.

Für den allgemeinen Fall berechnen wir Spektren für die ganzzahligen Wert j = 1, 2 und 3 und die halbzahligen Werte j = \frac{1}{2}, \frac{3}{2} und \frac{5}{2}.

Selbst für diese moderaten Werte von j, weitab des echten semiklassischen Grenzfalls, erhält man schon schöne Ergebnisse. Die exakten Quasienergien werden bis auf einen kleinen Prozentsatz ihres typischen mittleren Abstands reproduziert, und zwar über den gesamten untersuchten k–Bereich von klassisch regulärem bis hin zu ausgeprägt chaotischem Verhalten.

Allerdings stoßen wir bereits an die Grenze des Machbaren: Mit j wächst ja auch die Länge der benötigten periodischen Bahnen, die rapide immer zahlreicher werden, und auch die kollektiv beitragenden Konfigurationen periodischer Bahnen werden immer komplizierter.

5.1 Das Wirkungsspektrum und die Güte kollektiver Beiträge

In diesem Abschnitt wollen wir exemplarisch verschiedene semiklassische Beiträge periodischer Bahnen zu den Spuren tr F^{n} auf ihre Gültigkeit hin untersuchen. Einzelne Spuren selbst eignen sich nicht sonderlich gut dazu, da sie sich aus einer Vielzahl von Beiträgen zusammensetzen. Es ist in diesem Zusammenhang nützlich, sich mit der Abhängigkeit der verschiedenen Beiträge von der inversen effektiven Planckschen Konstanten J auseinanderzusetzten. Im isolierten Beitrag (4.48) geht J nur in die Phase ein und ist dort mit der Wirkung verziert. Betrachtet man demnach Spuren tr F^{n} für ein festes n und variiert die Quantenzahl j (mit J = j + \frac{1}{2}), so lassen sich einzelne Beiträge