Beinahe integrable Systeme 95

Hier ist wieder ω = dH/dI und ω_{0} = 2π/T. Ausgewählt werden gerade jene rationalen Tori, auf denen periodische Bahnen der stroboskopischen Periode n leben [vgl. Gl. (3.54)]. Jeder Torus liefert den Beitrag [15,16]

ℐ^{(rationaler Torus)} = \sqrt{\frac{Jω_{0}}{n|ω′|}} exp [iJS − i\frac{π}{2} ν] (4.119)

mit ω′ = dω/dI, der Wirkung S = nT (ωI −H) und dem Maslovindex ν = μ̂+ \frac{1}{2} sign ω′.

Liegt ein Torus sehr nahe an der unteren Integrationsgrenze des I–Integrals in (4.117), so bricht die Näherungsmethode der stationären Phase zusammen. Stattdessen benutzt man wieder (4.104). Wir werden diese Situation in Abschnitt 5.4.2 beispielshalber anhand des Falls der reinen Torsion genauer beleuchten.

4.8 Beinahe integrable Systeme

Den Beitrag eines einfach gebrochenen rationalen Torus, der durch eine stabile und eine instabile periodische Bahn der Periode n gebildet, haben Tomsovic, Grinberg und Ullmo angegeben [85,86]. Man erhält ihn aus der Erzeugenden (3.84) und der Amplitude

A(I, φ′) = 1 + c cos(nφ′) . (4.120)

Der Koeffizient c ist durch das Verhältnis

c = \frac{ΔA}{Ā} (4.121)

der Differenz ΔA = \frac{1}{2}(A_{+} − A_{−}) und des Mittelwertes Ā = \frac{1}{2}(A_{+} + A_{−}) der semiklassischen Amplituden der periodischen Bahnen gegeben. Es sei S_{+} > S_{−} und somit ν_{±} = ν̄ ± 1/2. Wir gehen davon aus, daß der Radius I des Torus sehr groß ist und wir so die untere Grenze der Integration über I nach −∞ verschieben können. Für J → ∞ macht man dabei keinen Fehler. Die Integrale über I und φ′ lassen sich dann durchführen und ergeben

ℐ_{gleichf}^{(gebr. Torus)} = \sqrt{2πJΔS} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄] [ĀJ_{0}(JΔS) + iΔAJ_{1}(JΔS)] . (4.122)

Hier haben wir im Vergleich zum Resultat von Tomsovic, Grinberg und Ullmo einen Term vernachlässigt, der von Ordnung 1/J kleiner als die angegebenen ist. Nähern wir uns mit verschwindender Störung ε → 0 dem integrablen System, so wird |2−tr M_{±}| → |ω′nT ΔS|, JΔS → 0, ΔA → 0, und man kehrt zum Ausdruck (4.119) zurück. Im entgegengesetzten Fall JΔS → ∞ zerfällt der Ausdruck in die isolierten Beiträge der beiden Bahnen.