94 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

× (\frac{Γ (\frac{n+1}{2} + 3m)}{(2m)!Γ (\frac{1}{2} + m)} − \frac{(4β/i)^{−3/2}Γ (\frac{n}{2} + 2 + 3m)}{(2m + 1)!Γ (\frac{3}{2} + m)})  (4.114)

finden läßt. Darstellungen für die beiden in der gleichförmigen Näherung zusätzlich benötigten Integrale erhält man daraus durch Ableiten nach α.

Im Grenzfall ε/b → −∞ bilden die beiden Satelliten einen Torus in weiter Entfernung zum zentralen Orbit. Es ist zur Diskussion dieses Falls nützlich, den Vorfaktor durch eine partielle Integration in die Form

A(φ′, I) = 1 + c′I + d′I^{3/2} cos 3φ′ (4.115)

zu bringen. Man sieht dann schnell, daß dies auf den weiter unten vorgestellten Beitrag eines einfach gebrochenen Torus und den isolierten Beitrag des zentralen Orbits führt.

Befindet man sich dagegen weit auf der anderen Seite der Bifurkation, so trägt nur noch der zentrale Orbit bei, da der Beitrag des zunächst relevanten Geists durch einen Stokesübergang ausgeblendet wurde.

4.7 Integrable Systeme

Für integrable Systeme ist die Erzeugende durch (3.57) gegeben. Dies stimmt mit der Form

U(t) = exp [−iJHt] (4.116)

des Zeitentwicklungsoperators eines autonomen Systems überein. In Winkel- und Wirkungsvariablen ist φ nur modulo 2π bestimmt. Dies hängt mit der Quantisierung der Wirkungsvariablen I zusammen, die nur diskrete Wert I = m/J mit m ∈ ℕ annimmt. Aus diesem Grund haben wir bisher bei der Auswertung des Integrals (4.39) in kartesischen Koordinaten gearbeitet. In der Winkelkoordinate muß man eigentlich das Integral ∫_{0}^{∞} dIf(I) durch die Summe ∑_{m=0}^{∞} f(I_{m})/J ersetzen. Mit der Poissonschen Summationsregel (4.12) kommt man aber wieder zu einem Integral zurück,

tr F^{n} = \frac{J}{2π} ∑_{m=−∞}^{∞} ∫_{0}^{2π} dφ′ ∫_{0}^{∞} dI exp [−iJ[nT H(I) − 2πmI] − i\frac{π}{2} μ̂] . (4.117)

Man integriert über φ′ und erhält ein Integral über I mit Punkten stationärer Phase bei

nω = mω_{0} . (4.118)