Kollektive Beiträge zur Kodimension zwei 93

Abbildung 12: Integrationskonturen in der komplexen q–Ebene für die Abfolge eines Stokesüberganges mit dominantem Orbit der Länge eins und einer Tangentenbifurkation von Periode–zwei–Orbits. Der Beschreibung liegt die Normalform (3.168) zugrunde.

Aber auch durch Konturverschiebung in die komplexe Ebene lassen sich die Integrale bequem numerisch ausrechnen. In Abbildung 12 sind Integrationskonturen gezeigt, die sich ergeben, wenn man den Stokesübergang der Bahnen aus der Bifurkation [^{2}/_{1}]_{1} mittels der Normalform behandelt. Der dominante Orbit ist hier [^{2}/_{0}]^{(2)}. Der Übergang findet bei k ≈ 3.3 statt. Dadurch erhält die Kontur zwei weitere Abschnitte, auf denen die beiden Punkte des relevanten Geistes liegt. Mit der Bifurkation kommen zwei weitere Äste hinzu, da nun alle drei Bahnen reell und relevant sind.

4.6.3 Periodenverdreifachung und Tangentenbifurkation

Den kollektiven Beitrag der beiden Satelliten dreifacher Periodenlänge und des zentralen Orbits erhält man durch Einsetzen der Erzeugenden (3.171) und

A(φ′, I) = 1 + cI + dI^{2} (4.111)

in (4.39), wobei die Koeffizienten d und c wieder aus den semiklassischen Amplituden der Satelliten in der Näherung der stationären Phase folgen. Die gleichförmige Näherung lautet also

ℐ_{gleichf}^{(1+3)} = ∫ ∫ \frac{dφ′ dI}{2π/J} (1 + cI + dI^{2}) exp [\frac{i}{ℏ} [−εI − aI^{3/2} cos(3φ′) − bI^{2}] − i\frac{π}{2} ν] .

(4.112)

Nach Integration über φ′ wird man in der lokalen Näherung auf ein Integral der Form

𝔎(α, β) ≡ ∫_{0}^{∞} J_{0}(I^{3/2}) exp [i(αI + βI^{2})] dI (4.113)

geführt, für welches sich die Reihendarstellung

𝔎(α, β) = \frac{\sqrt{π}}{2} ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} \frac{(iα)^{n}}{n!m!} (−iβ)^{−(n+1)/2}(−4iβ)^{−3m}