92 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

chungssystems aus den semiklassischen Amplituden bestimmen. Weiterhin erhält man bei der exakten Auswertung des Integrals nach Integration über p und einer Skalierung von q′ Integrale der Form

𝔎_{ν} = ∫_{−∞}^{∞} t^{ν} exp [−i(t^{4} + xt^{3} + yt^{2})] dt . (4.105)

Sie lassen sich durch das Pearceyintegral [84] und Ableitungen davon ausdrücken. Man kann diese eindimensionalen Integrale bequem numerisch auswerten, indem man die Integrationskonturen nach der Methode des stärksten Abklingens des Integranden konstruiert. Die drei Sättel liegen bei t = 0,

t = −\frac{3}{8}x ± \sqrt{\frac{9}{64}x^{2} − \frac{y}{4}} . (4.106)

Die Konturen über reelle Sättel tragen immer bei, die Kontur über den Geist mit Im S < 0 nur diesseits des Stokesüberganges, jene des anderen Geistes niemals. Es lassen sich auch Reihendarstellungen finden, indem man um x = 0, y = 0 herum entwickelt und

∫_{−∞}^{∞} t^{n} exp [−it^{m}] dt = [1 + (−1)^{n}] \frac{1}{m} exp [−iπ \frac{1 + n}{2m}] Γ (\frac{1 + n}{m}) (4.107)

verwendet.

4.6.2 Periodenverdopplung und Tangentenbifurkation

Die semiklassische Amplitude in lokaler Näherung wurde auf der Basis der Erzeugenden (3.168) von Main und Wunner untersucht [78]. Die gleichförmige Näherung erhält man mit

A(q′, p) = 1 + cq^{′2} + dq^{′4} . (4.108)

Die Koeffizienten sind wieder durch die Forderung nach dem richtigen asymptotischen Verhalten im Limes J → ∞ festgelegt. Es treten nun Integrale der Form

𝔎_{ν} = ∫_{−∞}^{∞} x^{ν} exp [i(αx^{2} + βx^{4} + x^{6})] dx (4.109)

mit ν = 0, 2, 4 auf. Für ν = 0 ist in [78] die Reihendarstellung

𝔎_{0} = \frac{1}{3} ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} \frac{α^{n}β^{m}}{n!m!} Γ (\frac{2n + 4m + 1}{6}) exp [i\frac{8n + 10m + 1}{12}π] (4.110)

angegeben, aus der die anderen beiden Integrale durch Ableiten nach iα folgen.