Kollektive Beiträge zur Kodimension zwei 91

die Auskunft über den Einfluß einer endlichen Integrationsgrenze auf den Beitrag eines stationären Punktes liefert. Hier ist I^{∗} seine Lage, die möglicherweise auch außerhalb des Integrationsbereichs sein kann, Λ = |2J[f(0) − f(I^{∗})]|^{1/2} und β = sign f′′(I^{∗}). Wir werden diese Näherung später noch benötigen.

4.6 Kollektive Beiträge zur Kodimension zwei

Wie schon bei der Periodenvervierfachung mit Kodimension eins führen die Bifurkationen der Kodimension zwei auf lokale und gleichförmige Näherungen, die sich nicht mehr in geschlossener Form angeben lassen. Man bleibt auf der Stufe des Phasenraumintegrals stehen, für welches sich aber numerisch handhabbare Reihenentwicklungen finden lassen. Weiterhin lassen sich aber alle auftretenden Koeffizienten durch die charakteristischen Eigenschaften der periodischen Bahnen ausdrücken, auch wenn die Bestimmungsgleichungen teilweise nur numerisch lösbar sind. Dies wurde etwa in den Abschnitten 3.5.1 und 3.5.3 für die Koeffizienten der Normalformen für zwei benachbarte Tangentenbifurkationen und die Aufeinanderfolge einer Tangentenbifurkation und einer Periodenverdreifachung besprochen.

Bei den diskutierten Szenarien ist jeweils eine Periode–m–Bifurkation und eine Tangentenbifurkation der Satelliten im Spiel. Die gleichförmigen Näherungen beschreiben nicht nur die Abfolge dieser lokalen Bifurkationen in enger Nachbarschaft im Kontrollparameterraum. Die Normalformen erfassen auch den baldigen Stokesübergang eines an einer Tangentenbifurkation beteiligten Geistes mit Im S > 0 mit einem dominanten Orbit m–fach kürzerer Länge. Wie bei den lokalen Bifurkationen der Kodimension eins scheint man das Verhältnis der Perioden der beteiligten Bahnen zur Klassifikation verschiedener globaler Bifurkationstypen heranziehen zu können.

4.6.1 Zwei benachbarte Tangentenbifurkationen

Die Normalformen (3.150) oder (3.153) beschreiben demnach nicht nur zwei benachbarte Tangentenbifurkationen, sondern auch den baldigen Stokesübergang eines in einer Tangentenbifurkation involvierten Geistes mit einem eng benachbarten dominanten Orbit gleicher Periodenlänge [83]. Mit Gleichung (3.164) tritt er bei q̃^{2} = 1 + 2/\sqrt{3} auf. Der kollektive Beitrag (4.73) der Geister hat dann noch nicht seine asymptotische Form (4.48) angenommen, so daß sich die Näherung (4.51) nicht verwenden läßt. Als Amplitude verwenden wir

A(q′, p) = 1 + cq′ + dq^{′2} . (4.104)

Setzt man dies und (3.153) in (4.39) ein und führt ein Näherung der stationären Phase durch, so lassen sich die zusätzlichen Koeffizienten c und d mittels eines linearen Glei-