90 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

und erhalten

∫_{0}^{∞} x^{ν}J_{0}(x^{2}) exp [iγx + iαx^{2}] dx = \begin{matrix}√ & \overline{2^{ν}} \\ √ & \overline{8π} \end{matrix} ∑_{n,m=0}^{∞} \frac{(\sqrt{2}iγ)^{n}α^{2m}}{m!n!}  (4.100)

× [sin (\frac{1+n+ν}{4} π) \frac{Γ^{2} (\frac{1+n+ν}{4} + m)}{Γ (\frac{1}{2} + m)} + iα cos (\frac{1+n+ν}{4} π) \frac{Γ^{2} (\frac{3+n+ν}{4} + m)}{Γ (\frac{3}{2} + m)}] .

4.5.5 Höhere Periode–m–Bifurkationen

Für Periode–m–Bifurkationen mit m ≥ 5 ist die Wirkungsdifferenz der beiden Satelliten von größerer Ordnung in ε als die Differenz zum zentralen Orbit. Sie bilden daher eine Art gebrochenen Torus. Die gleichförmige Näherung hat Martin Sieber gefunden [37] und lautet

ℐ_{gleichf}^{(m)} = Θ(ε̂)\sqrt{2πJΔS} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄] [ĀJ_{0}(JΔS) + iΔAJ_{1}(JΔS)]

+i sign(ε̂)β exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν_{0}] Ā\sqrt{J|ΔS|} ∫_{Λ}^{∞} \frac{dX}{X^{2}} exp [i\frac{β}{2} X^{2}]

+A_{0} exp [iJS_{0} − i\frac{π}{2} ν_{0}]  (4.101)

mit β = sign(S_{0} − S̄), Λ = \sqrt{2Jβ(S_{0} − S̄)}, ν̄ = \frac{1}{2}(ν_{+} + ν_{−}),

S̄ = \frac{S_{+} + S_{−}}{2} , ΔS = \frac{S_{+} − S_{−}}{2} , Ā = \frac{A_{+} + A_{−}}{2} , ΔA = \frac{A_{+} − A_{−}}{2} . (4.102)

Der Parameter ε̂ ist positiv, wenn die Satelliten reelle Koordinaten haben, ansonsten ist er negativ. Ferner sind die Satelliten ± so bezeichnet, daß für reelle Koordinaten ΔS > 0 ist. Der erste Term der gleichförmigen Näherung entspricht dem Beitrag eines Satellitentorus. Die Heavisidesche Stufenfunktion Θ(ε̂) sorgt dafür, daß Geister nicht beitragen. Der letzte Term ist der isolierte Beitrag des zentralen Orbits, dessen Größen oben mit dem Index 0 versehen sind. Hinzu kommt ein Interferenzterm, der unter anderem dafür sorgt, daß sich die Divergenz des letzten Terms für ε → 0 weghebt.

In der Herleitung verwendet man die Näherung [15,17,37]

J ∫_{0}^{∞} g(I)e^{iJf(I)} dI = −\frac{g(0)}{if′(0)} exp[iJf(0)]  (4.103)

+g(I^{∗})\sqrt{\frac{i2πJ}{f′′(I^{∗})}}e^{iJf(I^{∗})} \{Θ(I^{∗}) + \sqrt{\frac{iβ}{2π}} sign I^{∗} ∫_{Λ}^{∞} \frac{dX}{X^{2}} exp [iβ \frac{X^{2}}{2} ]\} ,