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\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\begin{quote}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\small
Ein verwandtes Gefallen fand er an Eisblumen [\dots]. Ich m\"ochte
sagen: alles w\"are gut gewesen und man h\"atte dar\"uber zur
Tagesordnung \"ubergehen k\"onnen, wenn die Erzeugnisse sich, wie es
ihnen zukam, im Symmetrisch-Fig\"urlichen, streng mathematischen und
Regelm\"a\ss{}igen gehalten h\"atten. Aber da\ss{} sie mit einer
gewissen gaukelnden Unversch\"amtheit Pflanzliches nachahmten, aufs
wunderh\"ubschesten Farrenwedel, Gr\"aser, die Becher und Sterne von
Bl\"uten vort\"auschten, da\ss{} sie mit ihren eisigen Mitteln im
Organischen dilettierten, das war es, wor\"uber Jonathan nicht
hinwegkam, und wor\"uber seines gewisserma\ss{}en mi\ss{}billigenden,
aber auch bewunderungsvollen Kopfsch\"uttelns kein Ende war. Bildeten,
so lautete seine Frage, diese Phantasmagorien die Formen des
Vegetativen vor oder bildeten sie sie nach? Keines von beidem,
erwiderte er wohl sich selbst; es waren Parallelbildungen. Doch die
sch\"opferisch tr\"aumende Natur tr\"aumte hier und da dasselbe, und
durfte von Nachahmung die Rede sein, so gewi\ss{} nur von
wechselseitiger. Sollte man die wirklichen Kinder der Flur als die
Vorbilder hinstellen, weil sie organische Tiefenwirklichkeit
besa\ss{}en, die Eisblumen aber blo\ss{}e Erscheinungen waren? Aber
ihre Erscheinung war das Ergebnis keiner geringeren Kompliziertheit
stofflichen Zusammenspiels als diejenige der Pflanzen.
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\normalsize
\end{quote}
\begin{flushright}
   Thomas Mann \cite{Mann}
\end{flushright}

\chapter{Einf\"uhrung}
Wie ist es m\"oglich, da\ss{} in der Natur wie von au\ss{}en
bewu\ss{}t geordnete Strukturen entstehen, obwohl ihre Gesetze im
Kleinen wirken und f\"ur die gr\"o\ss{}ere Ordnung der Bestandteile
blind zu sein scheinen? In der {\em unbelebten\/} Natur erscheint
dieser Gegensatz besonders unverst\"andlich. Wir waren und sind
deshalb immer wieder geneigt, auch ihr Eigenschaften des Lebens
zuzusprechen.

Auch an Oberfl\"achen zwischen verschiedenen Medien beobachtet man
geordnete Strukturen: Eine Wasseroberfl\"ache bildet ein
Streifenmuster, wenn Wind \"uber sie hinwegbl\"ast, Sand im
seichten Wasser am Strand wird von den ankommenden Wellen zu einem
Rippenprofil zusammengeschoben, Schnee auf einer ebenen Fl\"ache
schmilzt nicht gleichm\"a\ss{}ig ab, sondern bildet getrennt von
scharfen Graten viele kleine Senken gleicher Gr\"o\ss{}e.

Physikalische Experimente zeigen Strukturbildung in allen
Gr\"o\ss{}en. Mit blo\ss{}em Auge sichtbar sind z.B.\
Konvektionszellen oder die Finger zwischen zwei Fl\"ussigkeiten
unterschiedlicher Viskosit\"at. In dieser Arbeit werden Strukturen
auf wachsenden Kristalloberfl\"achen untersucht, die sich nur \"uber
zehn bis einige hundert Atomradien erstrecken, wie das in Bild
\ref{carpetcloseup} gezeigte auf einer Platinoberfl\"ache gewachsene 
Muster aus Rippen und Buckeln.

\begin{figure}[htbp]
\unitlength1cm
\begin{center}
\begin{picture}(10,8.6)
  \special{psfile=c1.ps
    vscale=100 hscale=100 angle=-90 voffset=400 hoffset=-270}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Diese rastertunnelmikroskopische Aufnahme einer
    Pt(111)--Oberfl\"ache nach Homoepitaxie von f\"unf Monolagen bei
    $T \! = \! 400$ K zeigt exemplarisch Strukturen, deren Bildung und
    Wachstum in dieser Arbeit untersucht werden. Auf einer Makrostufe
    (geneigtes St\"uck einer Kristalloberfl\"ache mit geraden Stufen
    gleichen Abstands) haben sich Rippen und Buckel gebildet, auf
    einem St\"uck einer Hochsymmetriefl\"ache (oben links)
    gleichf\"ormige H\"ugel (mit freundlicher Genehmigung von T.\
    Michely, \protect \cite{Michely}).}
    \label{carpetcloseup}
\end{figure}

Wie in ihrer Bildung, so zeigt sich auch bei der weiteren Entwicklung
der Strukturen eine Ordnung im Makroskopischen, die von rein
mikroskopischen Regeln bedingt wird. Starke Auspr\"agung einer solchen
Ordnung ist die Skaleninvarianz, die in vielen Experimenten und
Simulationen beobachtet wird, und die als Hypothese vielen
theoretischen Auswertungen und Interpretationen zugrunde liegt. In
allgemeinster Formulierung und im Hinblick auf die in dieser Arbeit
untersuchten Systeme fordert die Skalenhypothese, da\ss{} die
Konfigurationen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ``gleich aussehen''
-- vor geeigneten L\"angenma\ss{}st\"aben und in geeignet
angepa\ss{}tem Zeitflu\ss{}.

Die genannten Beispiele zeigen eine Gemeinsamkeit der zu
untersuchenden Systeme: Sie befinden sich nicht im Gleichgewicht,
sondern sind von au\ss{}en getrieben. An den in dieser Arbeit 
behandelten wachsenden Kristallen ist das offensichtlich. Im
Formalismus ihrer Modellierung gleichen sie einer anderen Auspr\"agung
der Nichtgleichgewichtsdynamik, n\"amlich Spinsystemen mit sich 
entmischenden Phasen.

Die Vorgehensweise ist ph\"anomenologisch. Die Modelle sind
Kontinuumsgleichungen, die das Geschehen auf einer mesoskopischen
Skala erfassen. Ihre Konstruktion beruht auf
Plausibilit\"ats\"uberlegungen, etwa ob sie Symmetrien und
Erhaltungsgr\"o\ss{}en der zu beschreibenden Systeme
ber\"ucksichtigen. Ihre Rechtfertigung erhalten sie durch den
Vergleich mit Experimenten oder ``realistischeren'' Simulationen, in
die mehr der mikroskopischen physikalischen Eigenschaften eingehen.
Die Ergebnisse haben daher zweierlei Bedeutung: Sie sind einerseits
Vorhersagen f\"ur durchzuf\"uhrende detailliertere Untersuchungen. 
Andererseits reduziert die ph\"anomenologische Modellbildung die
Gesamtheit des Geschehens auf wenige vereinfachte Prozesse -- wie
jede physikalische Modellierung -- und tr\"agt so zum Verst\"andnis
der Vorg\"ange bei, wenn die Ph\"anomene des vereinfachten
Modells mit der Wirklichkeit \"ubereinstimmen.

\section{Gliederung}
Die Arbeit gliedert sich im weiteren Verlauf wie folgt: In einem
ersten Teil wird der theoretische Rahmen abgesteckt, in
dem Oberfl\"achendynamik untersucht wird (Kapitel
\ref{oberflaechendynamik} und \ref{kskap}). Ihm gegen\"uber steht ein
zweiter Teil, der mehr den experimentellen Hintergrund des
Kristallwachstums ber\"ucksichtigt.

Verschiedene Typen von Modellen zur Strukturbildung und
Oberfl\"achendynamik werden zusammen mit g\"angigen Methoden zur
Untersuchung und Beschreibung in Kapitel \ref{oberflaechendynamik}
vorgestellt. Im folgenden Kapitel \ref{kskap} werden sie auf zwei
Modelle angewandt, um deren theoretisch interessante Aspekte
herauszuarbeiten.

Daran schlie\ss{}t sich der zweite Teil an, der Oberfl\"achenmodelle 
auf theoretische Fragestellungen im Zusammenhang mit Kristallwachstum
unter Molekularstrahlepitaxie untersucht. Deren experimenteller
Hintergrund und Grundkonzepte theoretischer Modellierung der
herausragenden Ph\"anomene werden in Kapitel \ref{mbekap}
vorgestellt. Im Detail werden Kontinuumsmodelle, partielle
Differentialgleichungen und alle ihre Elemente zur Beschreibung der
Oberfl\"achendynamik, in Kapitel \ref{kontinuumsmodelle}
konstruiert. Charakteristische Nichtgleichgewichtseigenschaften und
ihr Beitrag zur Strukturbildung und -entwicklung auf Oberfl\"achen
wachsender Kristalle sind Gegenstand von Kapitel
\ref{stufenbarrierenimkontinuum}. Kapitel \ref{gitterimkontinuum}
schlie\ss{}t den zweiten Teil mit einem stochastischen Modell ab, das
den \"Ubergang zwischen schichtweisem und rauhem Wachstum beschreibt.
Der zweite, eher experimentell motivierte Teil, kann mit
gelegentlicher Bezugnahme auf die vorhergehenden rein theoretischen
Kapitel f\"ur sich allein gelesen werden.

Am Ende steht eine Zusammenfassung, gefolgt von einem
Anhang mit der Darstellung einiger Rechnungen, einigen
Definitionen und Erl\"auterungen zu an vielen Stellen der Arbeit
verwendeten Begriffen, sowie einer Skizze des verwendeten Algorithmus
zur numerischen Integration nichtlinearer partieller parabolischer
Differentialgleichungen. 

\chapter{Oberfl\"achendynamik in partiellen Differentialgleichungen}
\label{oberflaechendynamik}
In diesem Kapitel werden allgemeine Konzepte der theoretischen
Beschreibung der Oberfl\"achendynamik eingef\"uhrt, wie sie im
zweiten Teil der Arbeit zur Modellierung physikalischer Systeme
ben\"otigt werden. Der physikalische Hintergrund soll nur am Rande in
erl\"auternden Bemerkungen ber\"ucksichtigt werden.

Die erste Wahl einer geeigneten Parametrisierung einer Fl\"ache im
Raum
\begin{equation}
\mathbf{r} \; = \; \mathbf{r}(\mathbf{x},t),
\end{equation}
bezeichnet mit $\mathbf{x} \! \in \! \mathbb{R}^d$ eine innere
Koordinate der Fl\"ache, und mit $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^{d+1}$ die
Koordinate eines Oberfl\"achenpunktes im umgebenden Raum. Physikalische
Anwendungen bietet die Einbettung einer $d \! = \! 2$--dimensionalen
Fl\"ache in den $\mathbb{R}^3$, aber auch der Fall $d \! = \! 1$, etwa
zur Beschreibung einer Kristallstufe auf einer Oberfl\"ache.

Die Dynamik ist in allen physikalischen Anwendungen dieser Arbeit
\"uberd\"ampft. Effekte wie die einer Masse oder Tr\"agheit der
Oberfl\"ache sollen vernachl\"assigt werden. Stattdessen wird die
Dynamik hinreichend beschrieben, wenn man zu jedem Punkt
$\mathbf{r}(\mathbf{x},t)$ eine Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ kennt,
mit der er durch den umgebenden Raum verschoben wird. $\mathbf{v} =
\mathbf{v}_k \! + \! \mathbf{v}_e$ spaltet sich auf in einen {\em
konfigurationsabh\"angigen\/} und einen {\em externen\/}
Anteil. Ersterer ber\"ucksichtigt die Wirkung am Punkt $\mathbf{r}$,
die von der Konfiguration der Oberfl\"ache an anderen Punkten
$\mathbf{r}'$ ausgeht, etwa die Tendenz zur Relaxation nach
Verformungen, der zweite den Einflu\ss{} des umgebenden Mediums auf
die Oberfl\"ache, meist eine zuf\"allige Kraft, die einerseits
thermisch bedingt sein kann, andererseits auf Unordnung im umgebenden
Medium zur\"uckgeht. 
\begin{equation}
\label{allgemeindyn}
\partial_t \mathbf{r}(\mathbf{x},t) \; = \;
\mathbf{v}(\{\mathbf{r}(\mathbf{x},t)\},\mathbf{x},t) 
\end{equation}
w\"are die allgemeinste Form dieser Dynamik.

Eine g\"unstige Vereinfachung ergibt sich aus der {\em
Monge\/}--Darstellung der Oberfl\"ache: Hat sie eine Vorzugsrichtung,
bez\"uglich der es keine \"Uberh\"ange gibt, kann man jeden
Oberfl\"achenpunkt auf einen ``Grundfl\"achenpunkt'' $\mathbf{x}$
projizieren und ihm eine eindeutige H\"ohe $h(\mathbf{x},t)$
zuordnen. In diesem Fall ist die Oberfl\"ache 
\begin{equation}
\mathbf{r}(\mathbf{x},t) \; = \bigl( \mathbf{x},h(\mathbf{x},t) \bigr)
\end{equation}
der Graph der H\"ohenfunktion $h$. Die Dynamik wird angegeben durch die
jeweilige Verschiebung in $h$--Richtung \"uber einem Punkt $\mathbf{x}$:
\begin{equation}
\label{hoehendynamik}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) \; = \; v_k \{h\} +
  v_e(h(\mathbf{x},t),\mathbf{x},t). 
\end{equation}

Prinzipiell kann $v_k$ \"uber einem Fu\ss{}punkt $\mathbf{x}$ von der
gesamten Konfiguration $h$ im Raum abh\"angen, oft jedoch nur von $h$
in einer kleinen Umgebung um $\mathbf{x}$. Dann wird die Abh\"angigkeit
$v_k$ sinnvoll in r\"aumliche Ableitungen von $h$ entwickelt und
(\ref{hoehendynamik}) erh\"alt die Form einer parabolischen partiellen
Differentialgleichung.

Die Struktur der Gleichungen mu\ss{} die Symmetrien des
zugrundeliegenden physikalischen Problems widerspiegeln. Allen Formen
von Oberfl\"achendynamik gemein ist die Translationsinvarianz, sei es
unter einer diskreten Gruppe von Translationen, wenn man die
Gitterstruktur eines Kristalls ber\"ucksichtigt, oder andernfalls
auch f\"ur beliebige Verschiebungen. Alle Gleichungen vom Typ von
(\ref{hoehendynamik}) sind daher invariant unter der Translation $h
\to h + c$ mit $c \in \mathbb{R}$ bzw.\ mit $a$ einer Gitterkonstanten
$(c/a) \in \mathbb{Z}$. Die unten angef\"uhrte Gleichung
(\ref{ginzburglandau}) f\"allt {\em nicht} in diese Klasse, beschreibt
auch keine Oberfl\"achendynamik, weshalb die Konfigurationen hier mit
$\phi$ statt $h$ bezeichnet werden.

In den folgenden drei Abschnitten sind partielle
Differentialgleichungen f\"ur Oberfl\"achendynamik nach verschiedenen
Typen klassifiziert. Beispiele daf\"ur sind:
\begin{itemize}
\item Relaxierende deterministische Gleichungen wie die
  Diffusionsgleichung 
\begin{displaymath}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) \; = \; \Delta h(\mathbf{x},t)
\end{displaymath}
-- $\Delta$ bezeichnet in dieser Arbeit immer den Laplace--Operator
$\nabla^2$ -- oder die Ginzburg-Landau--Gleichung zur Relaxation des
$\phi^4$--Modells bei Temperatur $T \! = \! 0$ (Modell A)
\cite{Bray,HalperinHohenberg}, ein Standardbeispiel der
Strukturbildung und des Dom\"anenwachstums,
\begin{equation}
\label{ginzburglandau}
  \partial_t \phi(\mathbf{x},t) \; = \; \Delta \phi(\mathbf{x},t) +
  \phi(\mathbf{x},t) - \phi(\mathbf{x},t)^3. 
\end{equation}
Das Interesse liegt an der von einem ungeordneten Anfangszustand
ausgehenden Entwicklung solcher Gleichungen.

\item Gleichungen mit einer {\em zuf\"alligen\/} externen Kraft
  (Langevin\-gleichungen), wie \cite{EdwardsWilkinson} 
\begin{equation}
\label{ew}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) \; = \; \nu \; \Delta h(\mathbf{x},t) +
  \eta(\mathbf{x},t) 
\end{equation}
und die Kardar-Parisi-Zhang--Gleichung (KPZ) \cite{KardarParisiZhang} 
\begin{equation}
\label{kpz}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) \; = \; \nu \; \Delta h(\mathbf{x},t) + 
  \frac{\lambda}{2} \bigl( \nabla h(\mathbf{x},t) \bigr)^2 +
  \eta(\mathbf{x},t).
\end{equation}
Anders als beim letzten Typ von Gleichungen untersucht man hier die
Dynamik ausgehend von einer Anfangskonfiguration $h \! \equiv \! 0$,
also die Aufrauhung einer urspr\"unglich glatten Fl\"ache.

\item Chaotische deterministische Gleichungen wie
  \cite{Kuramoto,Sivashinsky}
\begin{equation}
\label{ks}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) \; = \; - \nu \; \Delta h(\mathbf{x},t)
  \; - K \; \Delta^2 h(\mathbf{x},t) \; + \; 
  \frac{\lambda}{2} \bigl( \nabla h(\mathbf{x},t) \bigr)^2,
\end{equation}
bei denen die sich aus einer Anfangskonfiguration entwickelnde
Struktur in st\"andiger Aufl\"osung und Erneuerung begriffen ist. Sie
verhalten sich auf gro\ss{}en Skalen in vielem \"ahnlich wie die
verrauschten Gleichungen \cite{Sneppen,ChowHwa,Teilchen} und stellen
ein Bindeglied zwischen den beiden erstgenannten Typen von Gleichungen
dar.
\end{itemize}

Gleichungen vom ersten Typ werden in den Kapiteln
\ref{kontinuumsmodelle} und \ref{stufenbarrierenimkontinuum}
behandelt, eine Langevingleichung in Kapitel
\ref{gitterimkontinuum}. Verallgemeinerungen von Gleichung (\ref{ks})
folgen im n\"achsten Kapitel. 

Zu ihrer Untersuchung n\"utzliche Konzepte, wie die Symmetrie unter
bestimmten Transformationen, Skaleninvarianz ihrer statistischen
Eigenschaften, und die Stabilit\"at oder Instabilit\"at einer
station\"aren Konfiguration und ihre Bedeutung f\"ur die
Strukturbildung, werden in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels
vorgestellt.

\section{Langevingleichungen}
\subsection{Einflu\ss{} des Rauschens}
Der Rauschterm in Langevingleichungen modelliert eine zuf\"allige auf
die Oberfl\"ache wirkende Kraft. Ausgehend von der glatten
Anfangskonfiguration $h(\mathbf{x},t\! = \! 0) \! \equiv \! 0$ rauht
sich die Oberfl\"ache unter dem Einflu\ss{} des Rauschens auf. Da in
die zum Zeitpunkt $t$ auf den Punkt $(h(\mathbf{x},t),\mathbf{x})$
einwirkende Kraft viele mikroskopische Details eingehen, nimmt man
allgemein gau\ss{}isches wei\ss{}es Rauschen an, zur Vereinfachung
meist mit Mittelwert $\langle \eta(\mathbf{x},t) \rangle \! = \!
0$. In dieser Arbeit sollen nur kurzreichweitige Korrelationen in Raum
und Zeit untersucht werden. Die Kovarianz des Rauschens wird
angenommen als
\begin{equation}
\label{deltakorr}
\big\langle \eta(\mathbf{x},t) \; \eta(\mathbf{x'},t') \big\rangle = 2
\; D \; \Delta^n \delta (\mathbf{x \! - \! x'}) \; \delta(t \! - \! t').
\end{equation}
Im Falle von $n \! = \! 1$ bleibt beim Rauschen das Volumen unter
der Oberfl\"ache $\int \! d^dx \; h$ erhalten, man spricht von
``erhaltendem Rauschen''. Mit dieser Kovarianz ist das Rauschen $\eta
\! = \! \nabla \! \cdot \! \mathbf{j}$ die Divergenz eines zuf\"alligen
Oberfl\"achenstroms. In der Anwendung in Kapitel
\ref{gitterimkontinuum} ist das Rauschen dagegen nicht
volumenerhaltend, $n \! = \! 0$, was aus der beschriebenen 
experimentellen Situation einsichtig ist: Der auf die
Kristalloberfl\"ache auftreffende Teilchenstrahl ist nicht homogen
sondern besteht aus zuf\"alligen Einzelereignissen, n\"amlich dem
Auftreffen einzelner Teilchen. Der Rauschterm ber\"ucksichtigt deshalb
die Schwankungen der insgesamt aufgedampften Masse um den jeweiligen
Mittelwert.

Das Rauschen steht im Wechselspiel mit der gl\"attenden Tendenz des
deterministischen (konfigurationsabh\"angigen) Anteils der
Dynamik. In den Gleichungen (\ref{ew}) und (\ref{kpz}) kann man den
Term $\Delta h$ als von einer Oberfl\"achenspannung getriebenes
Bestreben interpretieren, den Fl\"acheninhalt zu verringern (siehe
dazu auch Kapitel \ref{kontinuumsmodelle}). Ohne Rauschen w\"urde die
Oberfl\"ache in eine station\"are Konfiguration -- etwa eine Form
minimalen Fl\"acheninhalts -- relaxieren.

Wie dieses Wechselspiel die Form der Oberfl\"ache zeitlich ver\"andert,
sieht man z.B. in der mittleren Breite
\begin{equation}
\label{w(t)def}
  w(t) \; := \; \sqrt{ \langle h^2 \rangle - \langle h \rangle^2 },
\end{equation}
besser aber in der Verteilung der H\"ohendifferenzen \"uber zwei
verschiedenen Fu\ss{}punkten $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$. Ihr
zweites Moment 
\begin{equation}
\label{g2}
G_2(\mathbf{x},\mathbf{y},t) \; = \; \big\langle \bigl( h(\mathbf{x},t)
- h(\mathbf{y},t) \bigr)^2 \big\rangle
\end{equation}
wird dabei oft zur Auswertung verwendet. Mit der Wahl einer glatten
Anfangsbedingung und gleicher Rauschst\"arke an jedem Raumpunkt (s.o.)
bleibt $\langle h(\mathbf{x},t) \! - \! h(\mathbf{y},t) \rangle
\equiv 0$, so da\ss{} die Definition (\ref{g2}) sinnvoll ist. Die
Breite nimmt von $w(0) \! = \! 0$ ausgehend zu.

Invarianz der Dynamik unter bestimmten Tranformationen findet man
wieder in den Korrelationsfunktionen. Sind Anfangsbedingungen und
Rauschen invariant gegen Translation des Fu\ss{}punkts $\mathbf{x}$,
so ist die H\"ohendifferenzkorrelationsfunktion
\begin{displaymath}
  G_2(\mathbf{x},\mathbf{y},t) \; = \; G_2(\mathbf{x \! - \! y},t)
\end{displaymath}
nur von der {\em Differenz\/} $\mathbf{x \! - \! y}$ abh\"angig.

\subsection{Skalenverhalten}
\"Uber einen weiten Zeitbereich ist der Zustand des Systems nicht
station\"ar, z.B.\ w\"achst $w(t)$ an. Dennoch besteht in vielen
F\"allen eine \"Ahnlichkeit zwischen den Zust\"anden zu zwei 
aufeinanderfolgenden Zeiten, die man als {\em statistische
  Skaleninvarianz\/} bezeichnet. Sie besagt, da\ss{} die Oberfl\"ache
$h(\mathbf{x},t)$ und ihr reskaliertes Gegenst\"uck
\begin{equation}
\label{statskalinv}
  \tilde h(\mathbf{x},t) \; \; = \; \; b^{-\zeta} \; h(b\mathbf{x},b^z t)
\end{equation}
dieselben statistischen Eigenschaften besitzen. Dies gilt \"uber einen
weiten Bereich von L\"angenskalen zwischen der mikroskopischen L\"ange
der Oberfl\"ache (Gitterkonstante eines Kristalls, Persistenzl\"ange
einer Membran) $a$ und ihrer makroskopischen Ausdehnung $L \gg
a$. \"Uber die Skaleneigenschaften sind auch der Rauhigkeitsexponent
$\zeta$ und der dynamische Exponent $z$ definiert. Es folgt
inbesondere, da\ss{} $G_2$ eine Skalenform besitzt, denn
\begin{equation}
\label{g2skalform}
  G_2(\mathbf{x},t) \; = \; b^{-2 \zeta} G_2(b \mathbf{x},b^z t)
  \; = \; t^{2 \zeta/z} g_2(\mathbf{x}/t^{1/z}) 
\end{equation}
mit der speziellen Wahl $b \! = \! t^{-1/z}$ und der Definition
$g_2(x) \! := \! G_2(x,1)$. In das Argument der Skalenform geht die
r\"aumliche Abh\"angigkeit der Korrelationen im Verh\"altnis zu einer
zeitlich anwachsenden Korrelationsl\"ange $\xi(t) \sim t^{1/z}$ ein.

Bei Anwachsen von $G_2$ und der Form von $g_2$ unterscheidet man
{\em konventionelles\/} und {\em anomales\/} Skalenverhalten. Bei
konventionellem Skalenverhalten nimmt zur Zeit $t$ die Verteilung
der H\"ohendifferenzen auf Abst\"anden $|\mathbf{x \! - \! y}| <
\xi(t)$ einen station\"aren Zustand an. Bei anomalem
Skalenverhalten saturiert die Verteilung nicht, solange $\xi(t)$
anw\"achst (bis schlie\ss{}lich $\xi$ die Systemgr\"o\ss{}e
erreicht). In dieser Arbeit treten nur Beispiele konventionellen
Skalenverhaltens auf, f\"ur eine allgemeinere \"Ubersicht sei auf
\cite{Krug:Advances} verwiesen.

Aus der Zeitunabh\"angigkeit auf kleinen Abst\"anden bei
konventionellem Skalenverhalten folgt f\"ur $g_2(x)$
\begin{displaymath}
  g_2(x) \; \sim \; x^{2 \zeta}. \; \; \; \; \mbox{f\"ur} \; \; \; x
  \ll 1.
\end{displaymath}
Auf gro\ss{}en Abst\"anden sind die H\"ohen $h(\mathbf{x},t)$ und
$h(\mathbf{y},t)$ unkorreliert, und die Korrelationsfunktion
$G_2(\mathbf{x \! - \! y},t) \! = \! 2 \; w(t)^2$ h\"angt nicht weiter
vom Abstand der Fu\ss{}punkte $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ ab:
\begin{displaymath}
  g_2(x) \; \to \; const \; \; \; \; \mbox{f\"ur} \; \; \; x \to \infty.
\end{displaymath}

\subsection{Ein Beispiel: Die lineare Gleichung}
Verdeutlichen wir das Skalenverhalten am Beispiel der linearen
Gleichung (\ref{ew}). Man betrachtet sie nach Fouriertransformation
\begin{equation} 
\label{ewft}
  \partial_t h(\mathbf{q},t) \; = \; - \nu \; \mathbf{q}^2
  h(\mathbf{q},t) + \eta(\mathbf{q},t)
\end{equation}
mit dem transformierten H\"ohenprofil
\begin{displaymath}
  h(\mathbf{q},t) \; = \; \int d^dx \; e^{- i \mathbf{q \cdot x}}
  h(\mathbf{x},t).
\end{displaymath}
Die Transformierte des Rauschterms hat die Kovarianz
\begin{displaymath}
\big\langle \eta(\mathbf{q},t) \; \eta(\mathbf{q'},t') \big\rangle = 2
\; D \; \left( \mathbf{q}^2 \right)^n \; \delta (\mathbf{q \! + \! q'})
\; \delta(t \! - \! t'). 
\end{displaymath}
(F\"ur Gleichung (\ref{ew}) ist nat\"urlich $n \! = \! 0$.)
Nach der Anfangsbedingung $h \! \equiv \! 0$ ergibt sich die
H\"ohenkonfigration zu sp\"ateren Zeiten aus der Geschichte des
Rauschens 
\begin{equation}
\label{hsolv}
h(\mathbf{q},t) \; = \; \int_0^t \! ds \; e^{-\nu \mathbf{q}^2 (t-s)}
\eta(\mathbf{q},s),
\end{equation}
und daraus die Korrelationsfunktion
\begin{equation}
\label{hqkorrsolv}
\big\langle h(\mathbf{q},t) h(\mathbf{q'},t') \big\rangle \; = \;
\frac{D}{\nu \mathbf{q}^2} \left(1 - e^{-2\nu \mathbf{q}^2 t} \right)
\delta (\mathbf{q \! + \! q'}).
\end{equation}
Die Korrelationsfunktion der H\"ohendifferenzen im Ortsraum ergibt
die entsprechende R\"ucktransformation 
\begin{equation}
\label{g2ew}
G_2(\mathbf{x},t) = \frac{2}{(2 \pi)^{2d}} \int \! d^dq \; \bigl( 1 - \cos
\mathbf{q \! \cdot \! x} \bigr) \frac{D}{\nu \mathbf{q}^2} \left(1 -
  e^{-2\nu \mathbf{q}^2 t} \right).
\end{equation}
Die Skalenfunktion in  $G_2(\mathbf{x},t) = \xi(t)^{2-d}
g_2(\mathbf{x}/\xi(t))$ ist
\begin{equation}
g_2(\mathbf{x}/\xi) = \frac{2}{(2 \pi)^{2d}} \; \frac{D}{\nu} \int \!
d^d\kappa \; \Bigl( 1 - \cos \frac{\boldsymbol{\kappa} \! \cdot \!
  \mathbf{x}}{\xi} \Bigr)
\frac{1-e^{-\boldsymbol{\kappa}^2}}{\boldsymbol{\kappa}^2} 
\end{equation}
mit der Korrelationsl\"ange $\xi(t) = \sqrt{2 \nu t}$. Die im letzten
Abschnitt definierten Skalenexponenten liest man in diesem Beispiel
aus (\ref{g2ew}) ab:
\begin{equation}
\label{expew}
z \; = \; 2 \; \; \; \mbox{und} \; \; \; \zeta \; = \;
\frac{2-d}{2}.
\end{equation}
\subsection{Galilei--Invarianz}
Offensichtliche Invarianzen der Gleichungen (\ref{ew}) und (\ref{kpz})
betreffen Transformationen jeweils im Raum (Translation, Rotation,
Inversion) oder der Zeit (Translation). Gleichung (\ref{kpz}) ist
dar\"uber hinaus invariant unter einer Transformation, die Raum und
Zeit verkn\"upft. F\"ur das Vektorfeld $\mathbf{u}(\mathbf{x},t) \! =
\! -  \nabla h(\mathbf{x},t)/\lambda$ wird Gleichung (\ref{kpz}) zur 
Burgers--Gleichung mit Rauschen
\begin{equation}
\label{noisyburgers}
\partial_t \mathbf{u} + \bigl( \mathbf{u} \cdot \nabla \bigr) \mathbf{u} = 
\nu \; \Delta \mathbf{u} - \frac{1}{\lambda} \; \nabla \eta  .
\end{equation}
Die linke Seite bezeichnet die Zeitableitung des Feldes an mit
der Geschwindigkeit $\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$ mitflie\ss{}enden Punkten. 
Gleichung (\ref{noisyburgers}) ist daher invariant gegen 
Galilei--Transformationen
\begin{equation}
\label{galilei}
\mathbf{u}(\mathbf{x},t) \; \to \; 
\mathbf{u}(\mathbf{x} \! - \! t \mathbf{u}_0,t) + \mathbf{u}_0,
\end{equation}
au\ss{}er wenn die Korrelationen von $\eta(\mathbf{x},t)$ diese
Symmetrie brechen. Bei Korrelationen wie in (\ref{deltakorr}) sind alle
Raum- und Zeitpunkte gleichwertig und unkorreliert, und die Invarianz
erstreckt sich auch auf das Rauschen.

Das Gradientenfeld $\mathbf{u}$ wie in (\ref{galilei}) in einem
bewegten System zu betrachten ist \"aquivalent zu einer Verkippung
(genauer: Scherung) des H\"ohenprofils
\begin{equation}
\label{galileih}
h(\mathbf{x},t) \; \to \; h(\mathbf{x} \! - \! t\mathbf{u}_0,t) \; - \;
\frac{\mathbf{x \cdot u}_0}{\lambda} \; + \; \frac{1}{2\lambda} \; 
\mathbf{u}_0^2 \; t,
\end{equation}
mit zus\"atzlicher gleichm\"a\ss{}iger Erh\"ohung der mittleren
Wachstumsgeschwindigkeit. Das transformierte Feld in (\ref{galileih})
erf\"ullt ebenso wie $h$ Gleichung (\ref{kpz}). 

Galilei-Invarianz in Verbindung mit Skaleninvarianz hat eine wichtige
Konsequenz f\"ur die Exponenten $z$ und $\zeta$. Die Transformation
(\ref{galileih}) mu\ss{} auch f\"ur ein reskaliertes H\"ohenfeld
gelten, so da\ss{} unter Reskalierung (\ref{statskalinv}) der
Koeffizient $\lambda$ konstant bleibt. Der Vektor $\mathbf{u}_0$ hat
zwei Bedeutungen. Einerseits bezeichnet er eine Neigung, wird also
unter (\ref{statskalinv}) reskaliert wie
\begin{displaymath}
\mathbf{u}_0 \; \to \; b^{\zeta - 1} \mathbf{u}_0,
\end{displaymath}
andererseits hat er die Bedeutung einer Geschwindigkeit, was
\begin{displaymath}
\mathbf{u}_0 \; \to \; b^{1 - z} \mathbf{u}_0
\end{displaymath}
erfordert. Beide Skalenfaktoren m\"ussen identisch sein, weshalb die
Relation 
\begin{equation}
\label{skalrelgal}
z \; + \; \zeta \; \; = \; \; 2
\end{equation}
gilt \cite{KardarParisiZhang,ForsterNelsonStephen}. Daraus ergibt
sich (au\ss{}er f\"ur Dimension $d \! = \! 2$), da\ss{} Gleichung
(\ref{kpz}) andere Skalenexponenten besitzt als die der linearen
Gleichung (\ref{expew}). 

Die ``Verbindung'' von Raum und Zeit in der Galileitransformation
zeigt sich im Vergleich der Dynamik auf mit $\mathbf{u}_0/\lambda$
verkippten Oberfl\"achenst\"ucken gegen\"uber waagrechten
Teilen. Strukturen entwickeln sich gleich, nur auf der verkippten
Oberfl\"ache laufen sie mit der zus\"atzlichen Geschwindigkeit
$\mathbf{u}_0$ bergab. Gleichung (\ref{ks})besitzt dieselbe Symmetrie,
was im folgenden Kapitel eine wichtige Rolle spielen wird.

\section{Strukturbildung und -vergr\"oberung}
\label{phaseorderingsect}
Strukturbildung, wie sie an Kontinuumsgleichungen in dieser Arbeit
untersucht wird, setzt die Existenz eines instabilen Fixpunkts im
Kofigurationsraum voraus, bei Gleichung (\ref{ginzburglandau}) ist
dies $\phi(\mathbf{x},t) \! \equiv \! 0$. Man verfolgt die Dynamik
ausgehend von einer ``kleinen'' St\"orung dieses Fixpunkts, einer 
Anfangsbedinung $\phi_0(\mathbf{x})$ \"uberall ``nahe bei'' $0$, etwa
mit einer Gau\ss{}verteilung mit $\langle \phi_0(\mathbf{x}) \rangle
\! = \! 0$ und $\langle \phi_0(\mathbf{x}) \phi_0(\mathbf{y})\rangle
\! = \! D \, \delta(\mathbf{x \! - \! y})$ mit $D \! \ll \! 1$. Die
Allen-Cahn--Gleichung (\ref{ginzburglandau}) besitzt zwei stabile
Fixpunkte $\phi(\mathbf{x},t) \! \equiv \! \pm 1$, von denen $\phi$ an
jedem Punkt $\mathbf{x}$ zun\"achst einem zustrebt. Es entstehen durch
W\"ande getrennte Dom\"anen, in denen das Profil jeweils nahe bei
einem der stabilen Werte liegt.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0.0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{hac.ps}
    \caption{Relaxation nach Gleichung (\protect \ref{ginzburglandau})
    dargestellt durch die ``H\"ohenlinie'' $\phi \! = \! 0$ zu
    verschiedenen Zeiten: Oben links die anfangs entstandene Struktur,
    gut beschrieben durch Gl.\ (\protect \ref{linstabgl}). Sind die
    Dom\"anen angewachsen und deutlich gr\"o\ss{}er als die trennenden
    W\"ande (unten links und rechts), ist die Skalenannahme gut
    erf\"ullt.}
    \label{A-C-relaxation}
  \end{centering}
\end{figure}


Die Anf\"ange der Strukturbildung werden von einer Linearisierung um
den instabilen Fixpunkt erfa\ss{}t. Die Fouriertransformierte gehorcht
\begin{equation}
\label{linstabgl}
\partial_t \phi(\mathbf{q},t) \; = \; \bigl(1 - \mathbf{q}^2 \bigr)
\phi(\mathbf{q},t).
\end{equation}
Die Anteile in $\phi_0$ mit Wellenvektoren $\mathbf{q}^2 \! < \! q_c^2 \!
= \! 1$ wachsen (zun\"achst exponentiell) an, w\"ahrend kurzwelligere
Anteile wegged\"ampft werden. Die Dom\"anen der anfangs entstehenden
Strukturen haben daher eine Ausdehnung $L \! > \! 2 \pi/q_c$.

Die weitere Entwicklung besitzt ein Lyapunov-Funktional, die Freie
Energie einer Konfiguration $\phi$,
\begin{displaymath}
\mathcal{F} \{ \phi \} = \int \! d^d x \; \left[ \frac{1}{2} \;
  (\nabla \phi)^2 + V(\phi)\right],
\end{displaymath}
wobei $V(\phi) =  - \frac{1}{2} \phi^2 \! + \! \frac{1}{4} \phi^4$.
Gleichung (\ref{ginzburglandau}) ist glechbedeutend mit
\begin{equation}
\label{acrelax}
\partial_t \phi \; = \; - \; \frac{\delta \mathcal{F} \{ \phi \}}{\delta
\phi},
\end{equation}
bezeichnet also die von $\mathcal{F}$ getriebene Relaxation des
Systems in einen Zustand minimaler Freier Energie.

Selbst f\"ur sehr gro\ss{}e Dom\"anen, die man bei fortschreitender
Relaxation beobachtet, bleibt die Dicke der W\"ande endlich. Eine
spezielle station\"are L\"osung von (\ref{acrelax}) macht dies
deutlich, n\"amlich eine ``Stufe'', $\phi(\mathbf{x},t) \! = \! 0$ auf
der Hyperebene $x_1 \! = \! 0$ mit $\phi(\mathbf{x},t) \! \to \! \pm
1$ f\"ur $x_1 \to \pm \infty$. Fernab der Wand n\"ahert sich das
station\"are Profil wie $\exp \left( - x_1/V''(\pm 1)^{1/2} \right) $
den Minimalwerten an. Die Dicke der Wand ist daher von der
Gr\"o\ss{}enordnung $1$. F\"ur eine detailliertere Darstellung, auch
der nun folgenden Bemerkungen, verweisen wir auf \cite{Bray}.

Bei einer solchen Stufenkonfiguration ist der wesentliche Beitrag zu
$\mathcal{F} \{ \phi \}$ in der N\"ahe der Wand lokalisiert. Das System
relaxiert vor allem dadurch, da\ss{} es den Fl\"acheninhalt der
Dom\"anenw\"ande verringert. Wie f\"ur ein anderes Problem in Kapitel
\ref{kontinuumsmodelle} im Zusammenhang mit Gleichung
(\ref{nonlinedwardswilk}) hergeleitet wird, geschieht dies dadurch,
da\ss{} sich die W\"ande \"uberall entlang ihrer Normalen mit
einer Geschwindigkeit proportional zur Kr\"ummung verschieben. Bild
\ref{A-C-relaxation} zeigt die Relaxation von (\ref{ginzburglandau})
im Anfangsstadium, und zu drei sp\"ateren Zeiten, wo sie
haupts\"achlich durch Verschiebung der Dom\"anenw\"ande vorangetrieben
wird. Dargestellt ist jeweils die ``H\"ohenlinie'' $\phi \! \equiv \!
0$. Nimmt man nun an, da\ss{} in der Konfiguration 
der W\"ande nur eine L\"angenskala $\xi(t)$ bestimmend ist, was
Simulationen gut best\"atigen \cite{Bray}, so ist ein Richtwert f\"ur
die Kr\"ummung der W\"ande $1/\xi$, und
\begin{displaymath}
\dot \xi \sim \frac{1}{\xi} \; \; \mbox{bzw.} \; \; \; \xi \sim t^{1/2}
\end{displaymath} 

Zu sp\"aten Zeiten ist diese L\"angenskala viel gr\"o\ss{}er als die
Wanddicke, $\xi \! \gg \! 1$. Sie ist die einzige L\"ange, die in die
Verteilung der Oberfl\"achenkonfigurationen eingeht. Dies legt die
Annahme einer {\em Skalenhypothese} nahe, die durch Experimente und
Simulationen gerechtfertigt ist und f\"ur die weitere analytische
Behandlung hilfreich. Anschaulich bedeutet dies, da\ss{} die drei
letzten Konfigurationen in Abbildung \ref{A-C-relaxation} jeweils durch
Vergr\"o\ss{}erung um einen festen Faktor ineinander
\"ubergehen. Wie aus den Folgerungen des Ansatzes (\ref{statskalinv})
ergeben sich daraus f\"ur alle Korrelationsfunktionen Skalenformen, so
zum Beispiel f\"ur die gleichzeitige Zweipunktkorrelation
\begin{displaymath}
C(\mathbf{x},t) = \big\langle \phi(\mathbf{x+y},t) \; \phi(\mathbf{y},t)
\big\rangle = f(|\mathbf{x}|/\xi).
\end{displaymath}

Am Beispiel der Allen-Cahn--Gleichung haben wir die Punkte skizziert,
die wir im Kapitel \ref{stufenbarrierenimkontinuum} bei der
Modellierung von Kristalloberfl\"achen bei epitaktischem Wachstum
wiederfinden werden: Linearisierung um einen homogenen, instabilen
Anfangszustand liefert eine Vorhersage \"uber die zun\"achst
entstehenden Strukturen. Die Dynamik ist dissipativ insofern, als zu
jeder Konfiguration eine Freie Energie definiert ist, die ein
Lyapunov-Funktional der Dynamik ist. Im Limes gro\ss{}er Zeiten $t$
ist die Verteilung der Oberfl\"achenkonfigurationen offenbar nur
noch von einer L\"ange $\xi(t)$ abh\"angig, hier die Ausdehnung der
Dom\"anen konstanter Magnetisierung, bei wachsenden Kristallen die
Gr\"o\ss{}e der H\"ugel auf der Oberfl\"ache. Das Skalenverhalten ist
(au\ss{}er in Ausnahmef\"allen) nicht rigoros aus den Gesetzen der
Dynamik ableitbar, wenn auch empirisch beobachtet und wertvolle
Grundlage f\"ur weitere theoretische Vorhersagen.

\section{Chaotische Dynamik}
Grunds\"atzlich anders verhalten sich Systeme mit nichtdissipativer
Dynamik. Eine analog zum letzten Abschnitt definierte Freie Energie
nimmt hier nicht stetig ab, vielmehr gibt es ein Wechselspiel zwischen
Energie erzeugenden und dissipierenden Mechanismen. Von chaotischer
Dynamik spricht man, wenn das System folgende Eigenschaften
aufweist. Zwei Trajektorien im Konfigurationsraum, die zu einem
Zeitpunkt $t$ sehr nahe beieinander liegen, gehen im weiteren Verlauf
exponentiell auseinander. Den (endlich vielen) Lyapunovexponenten in
einem dynamischen System endlicher Dimension entspricht in r\"aumlich
ausgedehnten Systemen die Spektraldichte der Eigenwerte des Operators
der linearen Antwort ({\em linear response function}) auf eine externe
St\"orung \cite{HohenbergShraiman}. Wenn es so etwas wie ``typische''
Konfigurationen zu sp\"aten Zeiten gibt, liegen sie auf einem
chaotischen Attraktor im Konfigurationsraum und nicht auf einem
stabilen Grenzzyklus oder Fixpunkt wie im letzten Abschnitt. 

Mit diesen allegemeinen Eigenschaften bieten Oberfl\"achen mit
chaotischer Dynamik eine Verbindung zwischen den beiden Gruppen der
letzten Abschnitte. Die Forderung, da\ss{} sich benachbarte
Trajektorien voneinander entfernen sollen, bedeutet da\ss{} jeder
Fixpunkt der Dynamik instabil ist. Eine glatte, unter der Dynamik
invariante Oberfl\"ache sollte daher unter einer kleinen St\"orung
komplizierteren Strukturen weichen, gleich dem im letzten Abschnitt
beschriebenen Szenario zu fr\"uhen Zeiten. 

Im Sp\"atstadium gleicht die Dynamik oft der von
Langevingleichungen. Dem Rauschen entspricht die ``unvorhersehbare''
Entwicklung einer einzelnen Trajektorie im Konfigurationsraum, ihre
Bindung an einen Attraktor bewirkt eine globale Stabilisierung und
entspricht den gl\"attenden Termen der stochastischen Modelle. Man
versucht daher zu einer gegebenen chaotischen Gleichung eine {\em
effektive stochastische Beschreibung}, eine Langevingleichung mit
denselben makroskopischen Eigenschaften zu finden.

Die hier angesprochenen Analogien k\"onnen in dieser Allgemeinheit
nicht anders als vage sein, allein weil die Bezeichnung ``chaotische
Oberfl\"achendynamik'' ein weites Feld umfa\ss{}t. Pr\"azisere
Fragestellungen und Antworten ergeben sich am Einzelbeispiel, was im
n\"achsten Kapitel am Beispiel von Gleichung (\ref{ks}), der
sogenannten Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung (KS), unter den hier
angesprochenen Aspekten -- Fehlen eines Lyapunovfunktionals,
Strukturbildung im Fr\"uhstadium und effektive Dynamik im Sp\"atstadium
-- illustriert werden soll.



\chapter{Die Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung}
\label{kskap}
\section{Grundlegende Bemerkungen}
Die Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung (\ref{ks}) ist ein einfaches
Modell, das r\"aumlich ausgedehntes chaotisches Verhalten zeigt. In
seinen urspr\"unglichen Herleitungen beschreibt es z.B.\ oszillierende
chemische Reaktionen \cite{Kuramoto}, Flammenfronten in vorgemischten
reagierenden Gasen \cite{Sivashinsky} oder das Profil eines d\"unnen
viskosen Fl\"ussigkeitsfilms, wenn er eine Wand hinabflie\ss{}t
\cite{Siva2}. Im Falle einer Flammenfront ist die Modellierung
anschaulich: Das H\"ohenprofil $h(\mathbf{x},t)$, wie in Abbildung
\ref{kskonfig} dargestellt, beschreibt die H\"ohe der Flammenfront zur
Zeit $t$ \"uber einem Fu\ss{}punkt $\mathbf{x}$ am Boden des die
reagierenden Gase einschlie\ss{}enden Beh\"alters.

\subsection{Nichtdissipative Dynamik}
Ersetzen wir die H\"ohe, die laterale L\"ange und die Zeit durch die
dimensionslosen Raum- und Zeitvariablen $\sqrt{\nu/K} \mathbf{x}$,
$(\lambda/\nu)h$ und $(\nu^2/K)t$, so wird Gleichung (\ref{ks}) zu
\begin{equation}
\label{ksreskal}
\partial_t h = - \Delta^2 h - \Delta h + \frac{1}{2} \left( \nabla h
\right)^2.
\end{equation}
Wie beim \"Ubergang von (\ref{kpz}) zu (\ref{noisyburgers}) gilt
f\"ur das Gradientenfeld $\mathbf{u} \! = \! - \nabla h$
\begin{displaymath}
\partial_t \mathbf{u} + \bigl( \mathbf{u} \cdot \nabla \bigr)
\mathbf{u} = - \Delta^2 \mathbf{u} - \Delta \mathbf{u} ,
\end{displaymath}
eine Gleichung, die unter der Galileitransformation
\begin{displaymath}
\mathbf{u} (\mathbf{x},t) \to \mathbf{u} (\mathbf{x}\! - \!
t\mathbf{u}_0,t) + \mathbf{u}_0 
\end{displaymath}
invariant ist, wobei man wiederum $\mathbf{u} (\mathbf{x},t)$ als
Geschwindigkeitsfeld interpretiert. Diese Interpretation legt die Wahl
einer ``kinetischen Energie''
\begin{displaymath}
\mathcal{E}(t) = \frac{1}{2} \int \! d^d \! x \; \mathbf{u}
(\mathbf{x},t)^2 = \frac{1}{2} \int \! d^d \! x \; \left( \nabla h
  (\mathbf{x},t)\right)^2 
\end{displaymath}
nahe. Gleichung (\ref{ks}) in Fourierdarstellung zeigt, in welchem
Bereich Energie erzeugt und wo sie dissipiert wird,
\begin{equation}
\label{ksq}
\partial_t h(\mathbf{k},t) = (\mathbf{k}^2 - \mathbf{k}^4) \;
h(\mathbf{k},t) - \int \! \frac{d^d q}{(2 \pi)^d} \; \mathbf{q} \!
\cdot \! (\mathbf{k \! - \! q}) \; h(\mathbf{q},t) \; h(\mathbf{k \! -
  \! q},t) .
\end{equation}
Gro\ss{}skalige Fluktuationen mit $|\mathbf{k}| \! < \! 1$ werden
verst\"arkt, und so dem System Energie zugef\"uhrt. Der nichtlineare
Term $(\nabla h)^2$ koppelt \"uber das Faltungsintegral die einzelnen
Moden $ h(\mathbf{k},t)$ untereinander und transportiert die
Anregungen in den Bereich $|\mathbf{k}| \! > \! 1$, wo Energie
dissipiert wird. 

\subsection{Linearisierung und Strukturbildung}
L\"a\ss{}t man den Faltungsterm in (\ref{ksq}) weg, erh\"alt man eine
Linearisierung um den instabilen Fixpunkt $h \! \equiv \!
const$. Anders als bei der linearisierten Allen-Cahn--Gleichung in
(\ref{linstabgl}) w\"achst hier jede Mode mit der Rate $\mathbf{q}^2 
\! - \! \mathbf{q}^4$ an, am st\"arksten solche mit Wellenvektoren
$|\mathbf{q}| \! = \! q_m \! = \! 1/\sqrt{2}$. Beginnt die Dynamik in
der N\"ahe des instabilen Fixpunkts, so ist die lineare N\"aherung von
(\ref{ks}) gut, bis die maximalen Gradienten von der
Gr\"o\ss{}enordnung $(\nabla h)^2 \! \simeq \! 1$ werden. In dieser
Fr\"uhzeit der Dynamik sind vor allem die am meisten instabilen Moden
mit $|\mathbf{q}| \! = \! 1/\sqrt{2}$ angewachsen und bestimmen die
Struktur. Die erste Abbildung in \ref{kskonfig} zeigt eine solche
Konfiguration, die aus unregelm\"a\ss{}ig angeordneten Buckeln der
Gr\"o\ss{}e $\sim 2 \pi /q_m \! \simeq \! 9$ besteht.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{hks.ps}
    \caption{Zwei ``Schnappsch\"usse'' des H\"ohenprofils
    $h(\mathbf{x},t)$ der KS--Gleichung (\protect
    \ref{ksreskal}). Ausgehend von einer nahezu glatten Oberfl\"ache
    (siehe Text) wachsen zun\"achst Moden mit $q_m$ an, der
    nichtlineare Term bleibt noch ohne Einflu\ss{} (oben). Typische
    Konfigurationen im sp\"aten Stadium (unten) sind wesentlich von
    der Nichtlinearit\"at gepr\"agt: Die Symmetrie $h \to -h$ besteht
    nicht mehr. Zellen in Senken werden zusammengedr\"uckt, auf
    Erhebungen verbreitern sie sich und brechen wieder auf (vgl.\ auch
    Abbildung \protect \ref{trajektorien}).}
    \label{kskonfig}
  \end{centering}
\end{figure}


Die Moden der Wellenl\"ange $q_m$ bestimmen auch weiter die Struktur
der Oberfl\"ache, die zu einem sp\"ateren Zeitpunkt im zweiten
Teilbild von \ref{kskonfig} gezeigt ist. Qualitativ verl\"auft die
Dynamik der Oberfl\"ache auf mikroskopischer Skala wie folgt: Der
nichtlineare Term in (\ref{ks}) l\"a\ss{}t die Flanken der Buckel
st\"arker wachsen, die Buckel werden also breiter. Sie verbreitern
sich soweit, bis ihre Kappen eine Gr\"o\ss{}e erreichen, die im Bereich
der instabilen Wellenl\"angen liegt, und brechen dann auf.

\subsection{Verhalten auf gro\ss{}en Skalen}
\label{defectmediatedstability}
Unregelm\"a\ss{}igkeiten im Anwachsen und Aufbrechen der Buckel
f\"uhren zu Fluktuationen auf gro\ss{}en Skalen, die zudem vom
linearen Anteil der Dynamik verst\"arkt werden. Dem tritt folgender
gl\"attender Effekt entgegen: Von einer gro\ss{}skaligen W\"olbung
laufen, wie im letzten Abschnitt bei (\ref{galileih}) beschrieben
wurde, an den Seiten die Buckel {\em hinab}. Dadurch werden die Buckel
oben auf der W\"olbung gedehnt und in den Senken daneben
zusammengedr\"uckt \cite{ChowHwa}. In der Zone gedehnter Buckel ist
$\langle (\nabla h)^2 \rangle$ und damit die mittlere
Wachstumsgeschwindigkeit kleiner, gestauchte Buckel erh\"ohen dagegen
die Wachstumsgeschwindigkeit in einem Gebiet. Die zur\"uckgebliebenen
Senken k\"onnen daher die vorangegangenen W\"olbungen wieder
einholen. In $1 \! + \! 1$ Dimensionen ist die Stabilit\"at der
L\"osung von (\ref{ks}) auf einem endlichen Intervall mit periodischen
Randbedingungen bewiesen: Abh\"angig von der Systemgr\"o\ss{}e
existiert eine Schranke f\"ur $\langle (\nabla h)^2 \rangle$
\cite{Nicolaenko}.

Zu den oben beschriebenen Merkmalen von Langevingleichungen besteht
eine qualitative Verwandtschaft, wenn man (\ref{ks}) gegl\"attet, d.h.\
r\"aumlich gemittelt \"uber mehrere Zellen betrachtet. Das schnelle
Aufbrechen und Entstehen neuer Zellen \"ahnelt dann zuf\"alligem
Rauschen $\eta(\mathbf{x},t)$, der gl\"attende Effekt der
Wechselwirkung der Zellen entspricht in f\"uhrender Ordnung der
Relaxation durch eine effektive Oberfl\"achenspannung, $\nu \; \Delta
h$. 

Ein quantitativer Test f\"ur den Vergleich einer chaotischen
Oberfl\"ache mit einer ``effektiven'' stochastischen Beschreibung
durch eine Langevingleichung ist das Skalenverhalten im infraroten
Limes. Besteht eine Skaleninvarianz wie in Gleichung
(\ref{statskalinv}), und, wenn ja, bei welcher
Langevingleichung tritt sie mit denselben Exponenten auf? Mit der
Bezeichnung aus der Theorie der kritischen Ph\"anomene sucht man nach
der {\em Universalit\"atsklasse\/} der Oberfl\"ache.

Ein Indiz f\"ur eine Antwort liefert bei Gleichung (\ref{ks}) die
Galilei-Invarianz. Sie bedingt die Skalenrelation $z + \zeta = 2$ in
Gleichung (\ref{kpz})
\cite{KardarParisiZhang,ForsterNelsonStephen}. Insofern sind au\ss{}er
in Dimension $d \! = \! 2$ die Skalenexponenten (\ref{expew}) der
linearen Gleichung (\ref{ew}) verboten. Verschiedene Arbeiten
postulieren, da\ss{} die Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung zur
Universalit\"atsklasse von (\ref{kpz}) geh\"ort
\cite{Yakhot,Zaleski}. In $1 \! + \! 1$ Dimensionen ist dies durch
detaillierte Untersuchung der Dynamik auf gro\ss{}en Skalen
\cite{Sneppen} sowie der kurzskaligen Wechselwirkung der Zellen
\cite{ChowHwa} best\"atigt. 

Die Zahlreichen Ans\"atze auf der Grundlage einer
Renormierungsgruppenanalyse analog zu \cite{KardarParisiZhang}
scheinen zur theoretischen L\"osung dieses Problems ungeeignet
\cite{Yakhot,GolubovicBruinsma,CuernoLauritsen}. Zwei grunds\"atzliche
Schwierigkeiten bestehen: Die Ans\"atze sind perturbativ, auch wenn
sie im physikalisch interessanten Fall von einem {\em instabilen}
linearen Fixpunkt ausgehen m\"ussen. Daraus ergibt sich insbesondere
f\"ur eine Impulsschalenrenormierung das Problem, wie jene kritische
Wellenzahl zu behandeln ist, die den linear stabilen vom instabilen
Bereich trennt. Die zweite Schwierigkeit besteht darin, da\ss{} zur
Mittelung \"uber kurzwellige Fluktuationen ein zus\"atzlicher
Rauschterm angesetzt wird, obwohl unklar ist, ob er die
charakteristischen Eigenschaften der Dynamik erh\"alt, und obwohl
eigentlich \"uber ihr inh\"arentes raumzeitliches ``Rauschen'' (der
chaotischen Zellendynamik) gemittelt werden
m\"u\ss{}te. Gro\ss{}skalige Stabilit\"at und Unordnung der
KS--Oberfl\"ache sind wesentlich nichtlineare Effekte, die im
Renormierungsgruppensinn von einem Fixpunkt starker Kopplung bestimmt
sind, der mit oben angef\"uhrten Methoden nicht zug\"anglich ist.

Im folgenden Abschnitt wird auf die Frage der makroskopischen Dynamik
im Rahmen eines Modells f\"ur die Wechselwirkung der Zellen
eingegangen. In $2 \! + \! 1$ Dimensionen ist diese Frage mehrfach
untersucht und kontrovers aber nicht befriedigend beantwortet
\cite{Lvov,Hayot}. Ein interessanter Ansatzpunkt zur L\"osung dieses
Gegensatzes bietet sich in der Verallgemeinerung auf eine anisotrope
Gleichung, die im \"ubern\"achsten Abschnitt \ref{anisokskap}
behandelt wird.

\section{Ein Teilchenmodell}
\label{teilchenkap}
\subsection{Definition des Modells}
Die Dynamik der Kuramoto-Siva\-shinsky--Gleichung kann, wie im letzten
Abschnitt skizziert, \"uber die Wechselwirkung der Zellen verstanden
werden \cite{ChowHwa}. Ihre Anzahl in einem endlichen System
entspricht der effektiven Anzahl von Freiheitsgraden
\cite{HohenbergShraiman}. Es liegt daher nahe, ein dynamisches System
zu konstruieren, in dem jede Zelle durch eine (zeitlich
ver\"anderliche) Variable repr\"asentiert wird. Hier soll dies durch
ein System von wechselwirkenden klassischen Teilchen geschehen.

Bild \ref{trajektorien} zeigt die Entwicklung von Gleichung (\ref{ks})
in $1 \! + \! 1$ Dimensionen und die Trajektorien der Minima zwischen
den Zellen, die wir als ``Teilchen'' auffassen wollen. Die
Wechselwirkung benachbarter Zellen zeigt sich auch in den
Trajektorien, sie beeinflussen sich gegenseitig. Wenn sich eine Zelle
spaltet, entsteht ein neues Teilchen zwischen zwei bereits
bestehenden, wenn eine Zelle verschwindet, verschmelzen zwei Teilchen
zu einem.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \epsfxsize 10cm
    \epsfbox{trajektorien.ps}
    \caption{Zeitliche Entwicklung der KS--Gleichung (\protect
    \ref{ksreskal}) in $1 \! + \! 1$ Dimensionen. H\"ohenprofile
    $h(x,t)$ zu Zeiten $t \! = \! 1,2,\dots,200$ in gemeinsamer
    Darstellung zeigen die Zellendynamik (oben): Sie teilen sich auf
    Erhebungen, verschinden in Senken, und laufen an Flanken
    bergab. Trajektorien der Minima zwischen Zellen (unten) \"ahneln
    den Trajektorien im Teilchenmodell (Bild \protect \ref{history}).}
    \label{trajektorien}
  \end{centering}
\end{figure}


Ein wichtiger Anhaltspunkt zur Modellierung einer Teilchendynamik ist
die Galilei-Invarianz von (\ref{ks}). Neigt man die Oberfl\"ache
gleichm\"a\ss{}ig, ver\"andert sich die Dynamik nur insofern, als zur
Bewegung aller Zellen dieselbe Geschwindigkeit addiert wird, nicht
aber ihre Relativbewegungen. Daher mu\ss{} die Teilchendynamik
galileiinvariant formuliert werden: Die Teilchen besitzen eine tr\"age
Masse, die aufeinander ausge\"ubten Kr\"afte bewirken
Beschleunigungen. Bezeichnen wir die Position der Teilchen (Minima
zwischen Zellen) mit $x_i(t)$ und ihre Geschwindigkeit (bzw.\ Impuls,
wenn man ihnen die Masse $m \! = \! 1$ gibt) mit $p_i(t)$, so
ist die Dynamik in allgemeinster Form
\begin{eqnarray}
\label{teildyn1}
\dot x_i & = & p_i \nonumber \\
\dot p_i & = & F(x_{i+1} \! - \! x_i,x_i \! - \! x_{i-1}).
\end{eqnarray}
Eine Vereinfachung besteht in der Annahme {\em lokaler}
Wechselwirkungen. Die Translationsinvarianz erfordert dann, da\ss{}
die auf ein Teilchen wirkende Kraft nur von den Abst\"anden zu den
n\"achsten Nachbarn abh\"angt, wie in (\ref{teildyn1}) angegeben. Sich
teilende und verschwindende Zellen werden wie folgt modelliert:
Sto\ss{}en zwei benachbarte Teilchen 
zusammen, werden sie durch ein einzelnes am Ort $x = x_i = x_{i-1}$
ersetzt, sind sie ``zu weit'' voneinander entfernt, $x_i \! - \!
x_{i-1} = 1$, wird ein neues am Ort $x = (x_i \! + \! x_{i-1})/2$
erzeugt. Mit dieser Definition wird die minimale instabile Wellenl\"ange auf
$1$ festgelegt. Die den neuen Teilchen zugeordneten Impulse $p$
m\"ussen sinnvoll gew\"ahlt werden. Wegen der Galileiinvarianz mu\ss{}
$p$ ein gewichteter Mittelwert aus den Impulsen der kollidierenden
bzw.\ erzeugenden Teilchen sein, die einzig m\"ogliche Wahl werden wir
nach einigen \"Uberlegungen treffen.

Aus den Geschwindigkeiten $p_i$ der Teilchen definiert man ein
makroskopisches Geschwindigkeitsfeld
\begin{displaymath}
        u(x,t) \; \; \; \mbox{mit} \; \; \; u(x_i(t),t) = p_i(t),
\end{displaymath}
dessen gro\ss{}skalige Eigenschaften mit (\ref{ks}) verglichen
werden. Eine nat\"urliche Wahl besteht in einer st\"uckweise konstanten
(Stufen-) Funktion
\begin{equation}
\label{defu}
        u(x,t) := p_i \; \; \; \mbox{f\"ur} \; \; \; x \in \Bigl[
        \frac{x_{i-1} \! + \! x_i}{2}, \frac{x_i \! + \! x_{i+1}}{2}
        \Bigr). 
\end{equation}
Das Geschwindigkeitsfeld ist der Gradient eines zugeh\"origen
H\"ohenprofils $\partial_x h(x,t) = - u(x,t)$, das daher aus einem Zug
geneigter Geradenst\"ucke mit Neigungen $-p_i$ und Eckpunkten bei
$(x_i \! + \! x_{i+1})/2$ besteht.

Die Eigenschaft von $h$ als H\"ohenprofil bedeutet eine wichtige
Einschr\"ankung f\"ur die Teilchendynamik, f\"ur die Kraft $F$ und
f\"ur die Regeln nach denen neue Teilchen erzeugt und kollidierende
Paare durch ein einzelnes Teilchen ersetzt werden. Die Dynamik soll
invariant unter einer Verschiebung $h \to h \! + \! const$ sein, es
ist also
\begin{displaymath}
        \partial_t h \; = \; \Phi (\partial_x h, \partial_x^2 h, \dots).
\end{displaymath}
Weil dies \"aquivalent ist zu
\begin{displaymath}
        \partial_t u + \partial_x \Phi (u, \partial_x u, \dots) \; =
        \; 0, 
\end{displaymath}
ist das Geschwindigkeitsfeld eine erhaltene Gr\"o\ss{}e. Auf jedem
Intervall h\"angt die \"Anderung von $\int_a^b u(x,t) = h(a,t) \! - \!
h(b,t)$ nur lokal von der Konfiguration bei $a$ und $b$ ab, in einem
endlichen System mit periodischer Randbedingung ist
\begin{equation}
\label{hoehenerhaltung}
\int_0^L \! dx \;  u(x,t) = \frac{1}{2} \; \sum_i (x_i - x_{i-1}) (p_i
+ p_{i-1})
\end{equation}
eine Konstante der Dynamik.

Dies ist gew\"ahrleistet, wenn die neuen Geschwindigkeiten bei einer
Kollision von den Abst\"anden zu den Nachbarn abh\"angt. Mit der
Bezeichnung $\xi_i := x_i \! - \! x_{i-1}$ ist dies
\begin{displaymath}
p \; = \; \frac{\xi_{i+1} p_i + \xi_{i-1} p_{i-1}}{\xi_{i+1} +
\xi_{i-1}} .
\end{displaymath}
Bei einer Erzeugung eines neuen Teilchens gen\"ugt 
\begin{displaymath}
p \; = \; \frac{p_i + p_{i-1}}{2}
\end{displaymath}
obiger Bedingung. Auch f\"ur die Kraft $\Phi(\xi_{i+1}, \xi_i)$ in
(\ref{teildyn1}) besteht wegen der Erhaltung von $u$ eine
Einschr\"ankung, n\"amlich 
\begin{equation}
\label{allgkraft}
\Phi(\xi_{i+1}, \xi_i) \; = \; \frac{\varphi(\xi_{i+1}) -
\varphi(\xi_i)}{\xi_{i+1} + \xi_i} 
\end{equation}
mit einer beliebigen ``Potentialfunktion'' $\varphi$. Man pr\"uft
leicht nach, da\ss{} (\ref{hoehenerhaltung}) damit erhalten
bleibt.

Je nach Form von $\varphi(\xi)$ ist eine periodische Folge von
Teilchen mit Abst\"anden $a$ stabil oder instabil gegen
St\"orungen. Linearisierung der Bewegungsgleichungen (\ref{teildyn1})
ergibt die Wachstumsrate $\omega(k)$ einer St\"orung mit Wellenzahl
$k$, 
\begin{displaymath}
\omega(k)^2 = \frac{\varphi'(a)}{a} \; \bigl( 1 - \cos ak \bigr).
\end{displaymath}
Eine periodische Abfolge von Zellen ist stabil, wenn $\varphi'(a) \! <
\! 0$. In diesem Fall reagiert das System mit Schallwellen auf eine
St\"orung. Der analoge Fall tritt auch bei der
Kura\-moto-Siva\-shinsky--Gleichung auf. Bei bestimmten
Zellengr\"o\ss{}en reagieren die Muster elastisch auf Verzerrungen
\cite{FrischSheThual}.

Im folgenden wird ein System untersucht, das {\em keinen} stabilen
Bereich besitzt, um die chaotischen Eigenschaften der Dynamik
deutlicher hervorzuheben. Die Wahl $\varphi(\xi^2) = \xi^2$ f\"uhrt zu
besonders einfachen linearen Gleichungen der Teilchendynamik,
\begin{eqnarray}
\label{teildynlin}
\dot x_i & = & p_i \nonumber \\
\dot p_i & = & 2 x_i - x_{i+1} - x_{i-1},
\end{eqnarray}
mit denen die im folgenden pr\"asentierten Simulationen ausgef\"uhrt
wurden. In Abbildung \ref{history} sind die Trajektorien bei linearer
Kraft zwischen benachbarten Teilchen dargestellt. Sie \"ahneln den
Trajektorien der Minima zwischen Zellen in Bild \ref{trajektorien}.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 10cm
    \epsfbox{history.ps}
    \caption{Trajektorien der Teilchen mit linearen Kr\"aften
    (\protect \ref{teildynlin}).}
    \label{history}
  \end{centering}
\end{figure}


In den Simulationen wurde als Anfangskonfiguration f\"ur alle
Teilchen $p_i \equiv 0$ mit zuf\"alligen Abst\"anden $\xi_i \in(0,1)$
gew\"ahlt, letztere unabh\"angig und in gleicher Weise mit konstanter
Verteilung. Die Integration der linearen Dynamik zwischen
den St\"o\ss{}en und Paarerzeugungen wurde sowohl in erster als auch
in zweiter Ordnung im Zeitschritt $\tau$ gen\"ahert. Symbolisch
geschrieben wurde bei der Dynamik $\dot X \! = \! AX$ der Propagator $\exp
\tau A \simeq 1 + \tau A (+ (1/2) (\tau A)^2 )$ angen\"ahert, wobei
sich zwischen linearer und quadratischer N\"aherung keine nennenswerten
Abweichungen ergaben. Empfindlicher ist die Dynamik gegen die
Genauigkeit, mit der die Zeitpunkte vor allem der Kollisionen
erfa\ss{}t werden. Es erwies sich als angemessen, den Zeitschritt
nicht gr\"o\ss{}er als $\tau \! = \! 0.01$ zu w\"ahlen, damit die
makroskopischen Gr\"o\ss{}en, die im n\"achsten Abschnitt betrachtet
werden, verl\"a\ss{}lich bestimmt werden konnten.


\subsection{Statistik des Teilchenmodells auf gro\ss{}en Skalen}
Die Annahme statistischer Skaleninvarianz der Teilchendynamik bedeutet
f\"ur den \"uber (\ref{defu}) definierten H\"ohenzug zun\"achst,
da\ss{} mit Reskalierung (\ref{statskalinv})
\begin{displaymath}
\big\langle \bigl( \tilde h(x,t) - \tilde h(0,t) \bigr)^2 \big\rangle =
b^{-2 \zeta} \big\langle \bigl( h(bx,b^z t) - h(0,b^z t) \bigr)^2
\big\rangle .
\end{displaymath}
Andererseits geht in die H\"ohe ein Produkt aus lateraler L\"ange und
Geschwindigkeit ein, also $\tilde h(x,t) = b^{z-2} h(bx,b^z t)$,
weshalb die Korrelationsfunktion auch skaliert wie 
\begin{displaymath}
\big\langle \bigl( \tilde h(x,t) - \tilde h(0,t) \bigr)^2 \big\rangle =
b^{2(z-2)} \big\langle \bigl( h(bx,b^z t) - h(0,b^z t) \bigr)^2
\big\rangle .
\end{displaymath}
Direkter Vergleich ergibt wie schon bei Gleichung (\ref{kpz}) die
Skalenrelation $z + \zeta = 2$.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{g2neu.ps}
    \caption{Korrelationsfunktion der H\"ohendifferenzen im System der
    Gr\"o\ss{}e $L \! = \! 1000$. Ab $t \! = \! 1000$ zeigt sich
    KPZ--Verhalten: $G_2(r,t) \! = \! (D/\nu) |r|$ f\"ur $|r| \! \ll
    \! \xi$ und das Plateau jenseits von $\xi$ nimmt wie $t^{2/3}$ zu.}
    \label{g2bild}
  \end{centering}
\end{figure}


Statistische Skaleninvarianz zeigt sich bei der
Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung (\ref{ks}) erst ab einer L\"angenskala
von ungef\"ahr dreihundert Zellen \cite{Sneppen,ChowHwa}, im
Teilchenmodell schon ab einer lateralen L\"ange $x \! \sim \! 50$, was 
knapp hundert mittleren Teilchenabst\"anden entpricht.
Abbildung \ref{g2bild} zeigt die Korrelationsfunktion der
H\"ohendifferenzen $G_2$ (\ref{g2}) zu Zeiten $10^{1,\dots,5}$ in
einem System der L\"ange $L \! = \! 1024$. Die Daten wurden \"uber
f\"unfzig L\"aufe gemittelt. F\"ur kleine Abst\"ande $x \! < \! 10$
und fr\"uhe Zeiten $t \! < \! 10$ ist das System eindeutig nicht in
einem skaleninvarianten Bereich. Zu sp\"aten Zeiten w\"achst $G_2$ mit
dem Abstand wie $G_2(x,t) \sim x^{2 \zeta}$, wobei $\zeta$ nahe bei
$1/2$ liegt, dem Wert der KPZ--Universalit\"atsklasse
\cite{KardarParisiZhang}. Auf Abst\"anden jenseits der lateralen
Korrelationsl\"ange $\xi(t)$ erreicht $G_2$ ein Plateau, das zu
sp\"aten Zeiten $t \! \ge \! 10^3$ wie $t^{2\zeta/z} \! = \! t^{2/3}$
anw\"achst.

Bestimmen wir nun die effektiven Parameter $\nu$, $\lambda$ und $D$,
mit denen Gleichung (\ref{kpz}) die Teilchendynamik auf gro\ss{}en
Skalen wiedergibt. Aufgrund der Konstruktion der H\"ohenlinie aus
einer galileiinvarianten Dynamik ist $\lambda \! = \! 1$. Das
Verh\"altnis $D/\nu$ bestimmt in $d \! = \! 1$ den station\"aren
Zustand in einem endlichen System: F\"ur das statistische Gewicht
einer Konfiguration gilt $\mathcal{P} \{ h \} \sim \exp [ - (\nu/2D)
\int \! dx \; (\partial_x h)^2/2 ]$. Der Strukturfaktor des
station\"aren Zustands ergibt sich daraus zu
\begin{equation}
\label{strukturkpz}
\big\langle | h(k,t) |^2 \big\rangle \; = \; \frac{D}{L k^2 \nu}.
\end{equation}
Im gro\ss{}skaligen Limes des Teilchenmodells ist diese Gr\"o\ss{}e
ungef\"ahr $1.0 \times 10^{-2}/(Lk^2)$, wie in Bild
\ref{teilchenspektren} f\"ur Systeme verschiedener G\"o\ss{}en $L =
64,128,256,512$ dargestellt ist.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 10cm
    \epsfbox{spektren.ps}
    \caption{Die station\"aren Fluktuationen der Oberfl\"ache des
    Teilchenmodells f\"ur verschiedene Systemgr\"o\ss{}en. Im
    skaleninvarianten Bereich kleiner $k$ ist $L k^2 \langle | h(k,t)
    |^2 \rangle \equiv D/\nu$ konstant.}
    \label{teilchenspektren}
  \end{centering}
\end{figure}


Die Struktur auf kurzen Skalen (f\"ur gro\ss{}e $k$) zeigt einen
Abfall, der von der willk\"urlichen mikroskopischen Definition der
H\"ohenlinie herr\"uhrt. Der deutlich ausgepr\"agte Buckel ist
vergleichbar mit der Beobachtung der typischen Zellengr\"o\ss{}e der
Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung (\ref{ks}) im Strukturfaktor
\cite{Zaleski}. Da die Teilchen in jeweils benachbarten Paaren
aufeinander zulaufen (siehe Bild \ref{history}) entsteht bei der
verwendeten Konstruktion des H\"ohenprofils eine Zickzackline mit der
Periode des doppelten mittleren Zellenabstands $2 \bar \xi$.

Der Quotient $D/\nu$ ist auch im Anstieg der
H\"ohendifferenz-Kor\-rela\-tions\-funktion enthalten:
\begin{displaymath}
G_2(x,t) \; = \; \frac{D}{\nu} \; | x |, \; \; \; \mbox{f\"ur} \; \; \bar
\xi \ll | x | \ll \xi(t),
\end{displaymath}
woraus sich mit den Daten in Bild \ref{g2bild} derselbe Wert wie aus
dem Strukturfaktor des station\"aren Zustands ergibt.

Mit der Kenntnis von $\lambda$ und $D/\nu$ l\"a\ss{}t sich das
Anwachsen der mittleren Breite im transienten Zustand $\bar \xi \ll
\xi(t) \ll L$ vorhersagen,
\begin{equation}
        w(t)^2 = c_2 \left( \frac{D^2}{\nu^2} \lambda t \right)^{2/3},
\end{equation}
wobei $c_2 \! \simeq \! 0.40$ eine universelle Konstante ist
\cite{KrugMeakinTim}. Die Entwicklung der Breite der H\"ohenlinie des
Teilchenmodells folgt genau dieser Vorhersage (Bild
\ref{wtbild}). Auff\"allig ist, da\ss{} sich kein deutliches
\"Ubergangsverhalten von einem Regime, in dem die Statistik von der
linearen Gleichung (\ref{ew}) beschrieben wird, zum asymptotischen
Bereich mit dem hier beschriebenen KPZ--Verhalten zeigt. Anders die
Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung in $1 \! + \! 1$ Dimensionen: Hier
w\"achst $w(t)^2$ \"uber etwa zwei Dekaden in der Zeit wie $t^{1/2}$
an, um dann erst zum asymptotischen Anwachsen mit $t^{2/3}$
\"uberzugehen.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 10cm
    \epsfbox{breite.ps}
    \caption{Zunahme der Breite des im Teilchenmodell definierten
    H\"ohenprofils. Die Aufrauhung zeigt KPZ--Verhalten $w^2 = 0.4
    ((D^2 \lambda/\nu^2) t)^{2/3}$.}
    \label{wtbild}
  \end{centering}
\end{figure}


Beenden wir die statistische Auswertung des Teilchenmodells mit einer
Absch\"atzung der ``nackten'' Kopplungskonstanten
\begin{equation}
\label{bareg}
g \; = \; \frac{\lambda^2 D}{\nu^3},
\end{equation} die in eine
effektive Modellierung mit Gleichung (\ref{kpz}) eingehen m\"u\ss{}te.
Die Kopplung $g$ hat in $d \! = \! 1$ die Dimension einer inversen
L\"ange, die wir mit der Wellenzahl $k_{max} =: 2 \pi/\ell$ des
Buckels im Spektrum (Bild \ref{teilchenspektren}) vergleichen.

Aus dem Verh\"altnis der lateralen Korrelationsl\"ange der KPZ--Gleichung
(\ref{kpz}) 
\begin{displaymath}
\xi(t) = \sqrt{D\nu} \bigl( \lambda t \bigr)^{2/3}
\end{displaymath}
zur intrinsischen L\"angenskala $\ell$ ergibt sich eine intrinsische
Zeitskala 
\begin{displaymath}
\tau := t \bigl( \ell/\xi(t) \bigr)^{3/2} = \frac{\ell^{3/2}}{\lambda
\sqrt{D/\nu}}.
\end{displaymath}
Mit den oben bestimmten effektiven Parametern hat das Teilchenmodell
$\tau \! \approx \! 36.3$. Da KPZ--Skalenverhalten deutlich ab $t \! =
\! 1000$ oder $t/\tau \! = \! 27.5$ beobachtet wird, sch\"atzt man die
effektive KPZ--Kopp\-lungs\-konstante auf mikroskopischer Skala zu
$\ell g \approx 3.5$. Das Teilchenmodell liegt auf seiner
mikroskopischen Skala ``n\"aher'' am Fixpunkt starker Kopplung der
KPZ--Gleichung als die KS--Gleichung (\ref{ks}), f\"ur die man $\ell g
\! \approx \! 0.53$ findet \cite{ChowHwa,Sneppen}.

\subsection{Zusammenfassende Bewertung}
Chaotisches Verhalten in einem r\"aumlich ausgedehnten System wurde am
Beispiel eines Gases wechselwirkender Teilchen vorgestellt. Das Modell
wurde mit den Symmetrien der KS--Gleichung, gegen Verschiebung in
$h$--Richtung und Galilei-Invarianz, und mit elementaren Eigenschaften
der Dynamik der Zellen einer chaotischen L\"osung von (\ref{ks})
konstruiert. Man findet, da\ss{} diese beiden Eigenschaften gen\"ugen
auf gro\ss{}en Skalen stochastisches Verhalten der
Burgers-KPZ--Universalit\"atsklasse zu erzeugen.

Ein Ansatz dieser Art dient dazu, die chaotische Dynamik ausgedehnter
Systeme konzeptuell besser zu verstehen. Interessant ist der Gegensatz
zwischen der mikroskopisch instabilen Dynamik und einer Stabilit\"at
auf gro\ss{}en Skalen, die sich in einer Effektiven Oberfl\"achenspannung
$\nu$ \"au\ss{}ert. Am Beispiel der
Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung wurde dieser Vorgang im Abschnitt
\ref{defectmediatedstability} des letzten Kapitels qualitativ
betrachtet. In diesem Zusammenhang wurde der Begriff der durch Defekte
vermittelten Stabilit\"at \cite{ChowHwa} gepr\"agt. Im Teilchenmodell
dieses Kapitels sind die ``Defekte'' der chaotischen
Oberfl\"achendynamik unmittelbar greifbar, n\"amlich die Teilchen
selbst. Ihre ungeordnete Bewegung bewirkt eine effektive Dissipation.
Die Analogie zu Boltzmanns Herleitung der thermodynamischen
Gesetze des idealen Gases, insbesondere zum Sto\ss{}zahlansatz f\"allt
auf: Die Irreversibilit\"at der Dynamik aus einem
Nichtgleichgewichtszustand heraus, hydrodynamisch gesprochen die
Viskosit\"at, wird erzeugt von der Unordnung. Die inelastischen 
St\"o\ss{}e der Teilchen erzeugen dagegen keine Viskosit\"at bzw.\
Oberfl\"achenspannung. Man leitet leicht her, da\ss{} das
Geschwindigkeitsfeld des Teilchenmodells ohne beschleunigende
Kr\"afte, also $F \equiv 0$ in (\ref{teildyn1}), der
Burgers--Gleichung ohne Viskosit\"at folgt \cite{Teilchen}.
Abbildung \ref{inviscid} zeigt eine Simulation dieses Modells mit den
typischen Schockfronten. Dies gilt auch in h\"oheren Dimensionen, was
in $d \! = \! 3$ zur Modellierung des Zusammenklumpens von Gas- und
Staubwolken im Universum verwendet wurde. Deren Verdichtungen
entsprechen den Schockfronten, und ihre Gr\"o\ss{}enverteilung
l\"a\ss{}t eine Statistik, wie sie in der Burgers-Dynamik entsteht,
plausibel erscheinen \cite{FrischVergassola}.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 9cm
    \epsfbox{burger0.ps}
    \caption{Geschwindigkeitsprofil $u(x,t)$ nach (\protect
    \ref{defu}) des Teilchenmodells ohne Kr\"afte zwischen den
    Teilchen, d.h.\ $F \! \equiv \! 0$ in (\protect
    \ref{teildyn1}), das Burgers' Gleichung ohne Viskosit\"at gen\"ugt
    \protect \cite {Teilchen}.}
    \label{inviscid}
  \end{centering}
\end{figure}

Zus\"atzliche Terme, die die Symmetrie von Gleichung (\ref{ks})
brechen, zerst\"oren oft die chaotischen Eigenschaften der
Dynamik. Leicht einzusehen ist dies f\"ur einen linearen
D\"ampfugnsterm $\dot p_i = - \kappa p_i$. Inwieweit Resultate f\"ur
(\ref{ks}) verwandte Gleichungen in einem Teilchenmodell reproduziert
werden k\"onnen, w\"are zu untersuchen
\cite{TohKawahara,ChateManneville}.

\section{Die anisotrope KS--Gleichung}
\label{anisokskap}
\subsection{Einf\"uhrung}
Die Stabilisierung einer linear instabilen Oberfl\"ache durch von
nichtlinearen Effekten vermittelte Wechselwirkung wurde im Abschnitt
\ref{defectmediatedstability} und in letzten Kapitel
vorgestellt. In diesem Kapitel soll eine Ver\"anderung von Gleichung
(\ref{ks}) untersucht werden, die einen \"Ubergang vom chaotischen
zu global instabilem Verhalten vermittelt, bei dem zudem ein der
Phasenordnung verwandtes Ph\"anomen beobachtet wird (vgl.\ Abschnitt
\ref{phaseorderingsect} im letzten Kapitel).

Eine naheliegende Verallgemeinerung von Gleichung (\ref{ks}) in $2 \!
+ \! 1$ Dimensionen ist die Einf\"uhrung einer Anisotropie
\begin{equation}
\label{fullaniso}
\partial_t h = - \Bigl[ \nu_x \partial_x^2 + \nu_y \partial_y^2 + K
\Delta^2 \Bigr] \; h + \frac{1}{2} \Bigl[ \lambda_x \bigl( \partial_x
h \bigr)^2 + \lambda_y \bigl( \partial_y h \bigr)^2 \Bigr].
\end{equation}
Diese Gleichung wurde zuerst hergleitet zur Beschreibung der Erosion von 
Oberfl\"achen unter Ionenbeschu\ss{} \cite{CuernoBarabasi}. Man
erh\"alt sie ebenfalls f\"ur die Modellierung von epitaktischem
Wachstum auf vizinalen Oberfl\"achen in der Entwicklung kleiner
Gradienten der Fluktuationen auf der Oberfl\"ache, was detailliert im
Kapitel \ref{stufenbarrierenimkontinuum} dargestellt ist. In diesem
Zusammenhang gehen anisotrope partielle Differentialgleichungen
zur\"uck auf \cite{Villain} und \cite{Wolf:Aniso}. Weitere
Anisotropien in den linearen Termen, etwa anstelle des Terms $K
\Delta^2 h$ (siehe Kapitel \ref{kontinuumsmodelle}) oder ein Term der
Form $\partial_x^3 h$ \cite{PierreLouis} werden hier vernachl\"assigt.

Durch Reskalierung wie bei (\ref{ksreskal}) wird in (\ref{fullaniso})
nur je einer der $\nu$- und der $\lambda$-Koeffizienten zu eins, der
andere erh\"alt den Wert, $\nu_y/\nu_x$ bzw.\
$\lambda_y/\lambda_x$. Existiert mindestens eine linear instabile
Richtung, z.B.\ ist $\nu_x \! > \! 0$, und verschwindet der
nichtlineare Term dieser Richtung nicht, also $\lambda_x \! \neq \!
0$, erh\"alt man durch entsprechende Reskalierung 
\begin{equation}
\label{anisoalpha}
\partial_t h = - \Bigl[ \partial_x^2 + \alpha \partial_y^2 + 
\Delta^2 \Bigr] \; h + \frac{1}{2} \Bigl[ \bigl( \partial_x
h \bigr)^2 + \beta \bigl( \partial_y h \bigr)^2 \Bigr].
\end{equation}

Anisotropie besteht, wenn immer $\alpha \! \neq \! 1$ oder $\beta \!
\neq \! 1$, besonders ausgepr\"agt wenn einer der Koeffizienten
negativ ist. In den n\"achsten Abschnitten wird dies sowohl am
linearen ($\alpha$) als auch am nichtlinearen Term ($\beta$)
untersucht.

\subsection{Anisotropie im linearen Term}
Die Anisotropie im linearen Term beeinflu\ss{}t zun\"achst die
anf\"angliche Instabilit\"at der glatten Oberfl\"ache. Folgt man den
\"Uberlegungen zu (\ref{linstabgl}) und (\ref{ksq}) in Kapitel
\ref{oberflaechendynamik}, so gehorchen kleine Fluktuationen um einen
homogenen Zustand
\begin{equation}
\partial_t h (\mathbf{q},t) = \bigl( q_x^2 + \alpha q_y^2 -
|\mathbf{q}|^4 \bigr) \; h (\mathbf{q},t) =: \sigma(\mathbf{q}) \; h
(\mathbf{q},t) .
\end{equation}
Alle Moden mit $\sigma(\mathbf{q}) \! > \! 0$ -- dieser Bereich ist
in Abbildung \ref{hantel} f\"ur mehrere $\alpha \! < \! 1$ skizziert --
wachsen exponentiell an. Bestimmend f\"ur die zuerst entstehende
Struktur sind die $\mathbf{q}$, bei denen $\sigma(\mathbf{q})$ maximal
wird. Bei $\alpha \! = \! 1$ sind dies alle $\mathbf{q}^2 \! = \!
q_{max}^2 \! = \! 1/2$, es entsteht ein Muster aus Zellen ohne
Vorzugsrichtung (siehe Kapitel \ref{oberflaechendynamik}). F\"ur
$\alpha \! < \! 1$ ist dies das Paar $\mathbf{q}_{max} = (\pm \!
1,0)$, f\"ur $\alpha \! > \! 1$ das Paar $\mathbf{q}_{max} = (0, \pm
\! \sqrt{\alpha/2})$. Im ersten Fall entstehen Rippen in $y$-, im
zweiten in $x$-Richtung, jeweils mit Abstand $2 \pi/
|\mathbf{q}_{max}|$. Das Verh\"altnis $\nu_x/\nu_y$ bestimmt also die
Orientierung der durch die lineare Instabilit\"at entstehenden
Rippen. Bei Erosion durch Ionenbeschu\ss{} (auch {\em Sputtern}) kehrt
sich diese Relation mit der \"Anderung des Einfallwinkels des
Ionenstrahls um. Man beobachtet einen Wechsel in der 
Orientierung der Rippen \cite{CuernoBarabasi,BradleyHarper}.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 8cm
    \epsfbox{hantel.ps}
    \caption{Parameterbereich von Gl.\ (\protect
    \ref{anisoalpha}). Der instabile Bereich $\beta \! < \!
    \min(0,\alpha)$ ist grau unterlegt. Das eingef\"ugte Bild zeigt
    das Stabilit\"atskriterium in einem Quadranten der Ebene der
    Wellenvektoren. Durchgezogene Kurven begrenzen die linear
    instabilen Bereiche $q_x^2 \! + \! \alpha q_y^2 \! - \!
    |\mathbf{q}|^4 > 0$ f\"ur verschiedene $\alpha$. Die Strichlinie
    zeigt die ``freien Moden'' f\"ur ein $\beta \! < \! 0$. Instabile
    freie Moden existieren, wenn sie den schattierten Bereich schneidet,
    hier f\"ur $\alpha \! = \! 0,0.2,$ und $1$.}
    \label{hantel}
  \end{centering}
\end{figure}

Die f\"ur $\alpha \! < \! 1$ in $y$-Richtung verlaufenden Rippen
k\"onnen auch dann noch die Oberfl\"ache bestimmen, wenn die obige
lineare N\"aherung nicht mehr g\"ultig ist. Betrachten wir als
Beispiel den Fall starker Anisotropie im linearen Term mit einem
isotropen nichtlinearen Term, also $\alpha \to - \infty$ und $\beta
\! = \! 1$. Unter Reskalierung der $y$--Richtung um einen Faktor
$1/\sqrt{\alpha}$ mit unver\"anderter $x$-Richtung erh\"alt man
\begin{displaymath}
\partial_t h = - \partial_x^2 h - \partial_x^4 h + \frac{1}{2} \bigl(
\partial_x h \bigr)^2 + \partial_y^2 h,
\end{displaymath}
wenn man alle Terme der Ordnung $\alpha^{-1}$ vernachl\"assigt. Dies
ist eine entlang der $y$-Richtung elastisch gekoppelte Kette von
eindimensionalen KS-Systemen. Sind die Anfangsbedingungen an zwei
verschiedenen Schnitten parallel zur $x$-Achse, $h(x,y_1)$ und
$h(x,y_2)$, leicht verschieden, so werden sie von der chaotischen
eindimensionalen Dynamik weiter auseinandergetrieben. Andererseits
wirkt der Term $\partial_y^2 h$ entlang $y$ gl\"attend bis zu
Abst\"anden von der Gr\"o\ss{}enordnung $1$, oder in der originalen
L\"angenskala von der Gr\"o\ss{}enordnung $\sqrt{\alpha}$. Zu sp\"aten
Zeiten schn\"uren sich die Rippen auf der Oberfl\"ache auf Abst\"anden
von etwa $\sqrt{\alpha}$ ab.

\subsection{Anisotropie im nichtlinearen Term}
Unter bestimmten Bedingungen entwickelt die L\"osung von Gleichung
(\ref{anisoalpha}) auch Rippen mit einer anderen nichttrivialen
Orientierung. Ist n\"amlich $\beta \! < \! 0$, so k\"onnen sich die
beiden Teile des nichtlinearen Terms gegenseitig
aufheben. H\"ohenprofile der Form $h(x,y,t) = f(x \! - uy,t)$, die
entlang der Linien $x = s \! + \! uy$ konstant sind, ergeben in
(\ref{anisoalpha}) eingesetzt
\begin{equation}
\partial_t f = - (1 + \alpha u^2 ) \partial_s^2 f - (1 + u^2)^2
\partial_s^4 f + \frac{1}{2} \; ( 1 + \beta u^2 ) (\partial_s f )^2.
\end{equation}
Die Nichtlinearit\"at veschwindet, wenn $u = u_c = \pm
\sqrt{-1/\beta}$. Das Oberfl\"acheprofil kann exponentiell anwachsen,
au\ss{}er wenn $1 \! + \! \alpha u_c^2 = 1 \! - \! \alpha/\beta <
0$. Mit anderen Worten w\"achst solch ein Profil nur dann an, wenn die
Moden verschwindender Nichtlinearit\"at (im folgenden als {\em freie
Moden} bezeichnet) auch einen Anteil im instabilen Bereich
$\sigma(\mathbf{q}) \! > \! 0$ haben. Der instabile Bereich ist
gegeben durch $\beta < \min (0,\alpha)$ und in Abbildung \ref{hantel}
graphisch dargestellt.

Die freie Mode mit der h\"ochsten Wachstumsrate $\tau^{-1} =
\frac{1}{4} (\alpha \! - \! \beta)^2/(1 \! - \! \beta)^2$ bildet ein
Rippenmuster mit Wellenl\"ange $\ell = 2 \pi \sqrt{2(1 \! - \!
\beta)/(\alpha \! - \! \beta)}$, die in einem Winkel $\pm \arctan
\sqrt{-\beta}$ in bezug zur $x$-Achse liegen.

Im generischen Fall, wenn Gleichung (\ref{anisoalpha}) zu einer
zuf\"alligen Anfangsbedingung kleiner Amplitude gel\"ost wird,
sind verschiedene freie Moden angeregt. Numerische Simulationen
zeigen folgendes Szenario: Existieren instabile Freie Moden ($\beta <
\min (0,\alpha)$), so bilden sich aus einem chaotischen Hintergrund
nach einiger Zeit Dom\"anen mit parallel liegenden Rippen in der
Orientierung der Freien Moden, $\pm \arctan \sqrt{-\beta}$. Sie dehnen
sich ann\"ahernd linear in der Zeit aus, bis Bereiche der beiden
Orientierungen das gesamte System bedecken. In Konkurrenz zueinander
vergr\"o\ss{}ern sich die Bereiche, \"ahnlich dem
Phasenordnungsproze\ss{} von Gleichung (\ref{ginzburglandau}), was in
Abbildung \ref{rippenwachstum} gezeigt ist. Bisher unternommene
Versuche einer numerischen Auswertung haben folgende Gestalt: Man
definiert einen ``Ordnungsparameter'', der an jeder Stelle die
Rippenorientierung angibt. Dazu legt man um jeden Gitterpunkt ein
Fenster, etwa der Gr\"o\ss{}e $16 \! \times \! 16$, und betrachtet die
Fouriertransformierte des H\"ohenprofils $h_{i,j}^F$ in diesem
Fenster. Die relative St\"arke des Spektrums in (1,1)--Richtung, 
$s := (s_/ \! - \! s_\backslash)/(s_/ \! + \! s_\backslash)$ mit $s_/
= \sum_{i=1}^8 (h_{i,i}^F)^2$ und $s_\backslash$ aus einer Summe
\"uber $(i,-i)$ dient als Ordnungsparameter, der an jedem Punkt den
Werten $\pm 1$ zustrebt. Allerdings ist es hier numerisch wesentlich
aufwendiger, das Dom\"anenwachstum quantitativ zu erfassen, so da\ss{}
die genaue Art dieses Wachstums ungekl\"art ist.


\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{rippen.ps}
    \caption{Entwicklung von Gleichung (\protect \ref{anisoalpha}) mit
    $\alpha \! = \! 1$ und $\beta \! = \! -1$ in einem System der
    Gr\"o\ss{}e $500 \! \times \! 500$ (Teilansicht). Auf dem
    chaotischen Hintergrund (a) nukleieren Dom\"anen
    zusammenh\"angender Rippen (b), wachsen (c) und bedecken
    schlie\ss{}lich das gesamte System (d). An Maximum und Minimum der
    Oberfl\"ache angepa\ss{}te Grauskalendarstellung.} 
    \label{rippenwachstum}
  \end{centering}
\end{figure}


\subsection{Vorzeichenwechsel von $\beta$}
Eine genaue Analyse der anisotropen Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung
k\"onnte auch zur Kl\"arung der Frage der effektiven stochastischen
Theorie beitragen, deren widerspr\"uchliche Beantwortung in Abschnitt
\ref{defectmediatedstability} erw\"ahnt wurde. Die anisotrope
Verallgemeinerung der KPZ--Gleichung (\ref{kpz}) in $2 \! + \! 1$
Dimensionen zeigt einen \"Ubergang beim Vorzeichenwechsel von $\beta
\! = \! \lambda_y/\lambda_x$ \cite{Wolf:Aniso}. F\"ur $\beta \! < \!
0$ ist die nichtlineare Kopplung irrelevant, und das Skalenverhalten
der Oberfl\"ache entspricht dem der linearen Gleichung (\ref{ew}) mit
den Exponenten (\ref{expew}). Der logarithmischen Rauhigkeit ($\zeta
\! = \! 0$) bei entgegengesetztem Vorzeichen steht f\"ur $\beta \! >
\! 0$ algebraische Rauhigkeit ($\zeta \! > \! 0$) wie in der isotropen
KPZ--Gleichung gegen\"uber.

Eine global stabile L\"osung mit anisotroper Nichtlinearit\"at hat
Gleichung (\ref{fullaniso}) bzw.\ (\ref{anisoalpha}) bei $\alpha \! <
\! \beta \! < \! 0$, im wei\ss{}en Bereich links unten in Figur
\ref{hantel}. Es w\"are sinnvoll, diesen Parameterbereich mit Punkten
oberhalb der Achse $\beta \! = \! 0$ zu vergleichen, um zu sehen, ob
fundamentale Unterschiede bestehen, wie in der anisotropen
Langevingleichung (\ref{kpz}). Mikroskopische Details der Dynamik
unterst\"utzen eine solche Vermutung. $\beta \! > \! 0$ bewirkt,
da\ss{} sich Fluktuationen auf der Oberfl\"ache, etwa durch die
lineare Instabilit\"at entstehende Buckel, in beide Richtungen lateral
ausdehnen (siehe Abschnitt \ref{defectmediatedstability}). Ist $\beta
\! < \! 0$, so breiten sie sich in $x$--Richtung zwar aus, ziehen sich
in $y$--Richtung aber zusammen. 

Im kollektiven Zusammenspiel der Oberfl\"achenstrukturen ausgehend vom
zun\"achst entstandenen Rippenmuster mit Defekten und Abschn\"urungen
beobachtet man zwei Szenarien, die in Abbildung \ref{anisodynamik}
dargestellt sind: 

\begin{figure}[htbp]
  \begin{minipage}[b]{.5\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \epsfxsize 6cm
       \epsfbox{zus_neg.ps}
    \end{centering}
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[b]{.5\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \epsfxsize 6cm
       \epsfbox{zus_pos.ps}
    \end{centering}
  \end{minipage}
  \caption{Vorzeichenwechsel von $\beta$. Teilansichten eines Systems
    der Gr\"o\ss{}e $250 \! \times \! 250$, jeweils zu Zeiten $t = 84,
    88, 92, 94$, mit $\beta \! = \! -1$ (links) und $+1$
    (rechts). $\alpha \! = \! 50$ in beiden Bilderfolgen. Deutliche
    Unterschiede im Ablauf der Dynamik fallen auf, links verschieben
    sich bevorzugt die Endpunkte der Rippen, rechts verbreitern sich
    die Rippen und bewirken so st\"arkere Aufrauhung.} 
  \label{anisodynamik}
\end{figure}


Im einen Fall hat jede Zelle die Tendenz, sich in beide Richtungen zu
verbreitern. Gro\ss{}e Zellen wachsen auf Kosten ihrer Nachbarinnen
und brechen auf, wenn sie eine kritische Gr\"o\ss{}e \"uberschritten
haben. Die Dynamik \"ahnelt insofern der der isotropen Gleichung
(\ref{ks}). 

Im anderen Fall ziehen sich die Zellen in $y$--Richtung
zusammen. Hat sich als Defekt im Rippenmuster eine Rippe zwischen zwei
anderen gebildet, so zieht sich ihr Endpunkt aus der Spalte zwischen
den beiden anderen zur\"uck. Folgende Anschauung macht dies deutlich:
Auf einem Schnitt parallel zur $y$--Achse durch den Endpunkt der Rippe
ist die H\"ohe im wesentlichen konstant, nur auf der Flanke direkt am
Endpunkt ist $(\nabla h)^2 \! \approx \! (\partial_y h)^2 \! \neq \!
0$, weshalb dort die H\"ohe mit $\beta (\partial_y h)^2 \! < \! 0$
abnimmt, sich das Ende der ``eingeklemmten'' Rippe also mit konstanter
Geschwindigkeit $v \approx \beta | \partial_y h |$ zur\"uckzieht.

Beide Szenarien wirken grunds\"atzlich veschieden, und deuten darauf
hin, da\ss{} auch bei der Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung ein
Vorzeichenwechsel im Quotienten der Koeffizienten des nichtlinearen
Terms einen Einflu\ss{} auf die Rauhigkeit und das statistische
Verhalten auf gro\ss{}en Skalen hat. Die genauere Untersuchung des
\"Ubergangs bei $\beta \! = \! 0$ w\"are daher ein m\"oglicher Ansatz
zur Kl\"arung der Frage anch dem effektiven stochastischen Modell zur
Beschreibung von Gleichung (\ref{ks}) auf gro\ss{}en Skalen.

\section{Zusammenfassung}
In diesem Kapitel wurden Spezialf\"alle r\"aumlich
ausgedehnter Systeme mit komplexer Dynamik vorgestellt. Sie sind
einerseits im Zusammenhang mit der Klassifizierung im Kapitel
\ref{oberflaechendynamik} zu sehen: Sie ber\"uhren die gemeinsamen
Eigenschaften von chaotischen und stochastischen Modellen. Bestimmte
\"Anderungen zerst\"oren das chaotische Verhalten und pr\"agen den
Systemen eine Dynamik sich ordnender Strukturen auf (siehe Abschnitt
\ref{phaseorderingsect}). 

Andererseits dient dieses Kapitel wegen der vorgestellten Methoden des
Umgangs mit Oberfl\"achendynamik als Vorbereitung auf den nun
folgenden zweiten Teil der Arbeit. Die Modellierung mit partiellen
Differentialgleichungen, die Auswertung mit statistischen Methoden
werden hier zur theoretischen Beschreibung von Kristallwachstum unter
Molekularstrahl\-epi\-taxie angewandt. Dieser physikalische Aspekt war
auch -- an verschiedenen Zwischenbemerkungen erkennbar, aber ohne
da\ss{} n\"aher darauf eingegangen wurde -- Grundlage
der zuvor behandelten Modelle. 

\chapter{Molekularstrahlepitaxie}
\label{mbekap}
Molekularstrahlepitaxie (abgek\"urzt MBE vom englischen {\em molecular
beam epitaxy}) bezeichnet die Kristallisierung durch Kondensation
eines Dampfes im Hochvakuum. Seit ihrer Entwicklung um die Mitte der
siebziger Jahre \cite{ChoArthur} wurde sie zu einer weit verbreiteten
Technik, die es erlaubt Kristallwachstum pr\"azise zu kontrollieren
und damit z.B.\ komplizierte Halbleiterelemente zu entwickeln.

Bild \ref{mbeapparat} zeigt eine MBE--Anlage: In der Mitte einer
Ultrahochvakuumkammer (UHV--Kammer) befindet sich ein drehbarer
Tr\"ager, auf 
dem mehrere Substrate ({\em wafer}) angebracht werden k\"onnen. Eine
Heizung kontrolliert ihre Temperatur, und sie k\"onnen durch den
Drehmechanismus abwechselnd dem aus den Evaporationsquellen
austretenden Molekularstrahl ausgesetzt werden.


\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{mbe.ps}
    \caption{Eine von einem kommerziellen Anbieter (Riber)
    erh\"altliche MBE--Anlage \protect \cite{Tsao}: (A) UHV--Kammer,
    (B) Verschlu\ss{} ({\em shutter}) vor einer Evaporationsquelle
    (C), (D) drehbare Plattenstation f\"ur mehrere {\em Wafer\/},
    (E)--(H) Vorrichtungen zur Pr\"aparation und zum Transport der
    Substrate, (I) und (L) Kryopumpen, (J) Ionenpumpen.} 
    \label{mbeapparat}
  \end{centering}
\end{figure}


In den Quellen befindet sich die aufzudampfende Materie in der
Gasphase, etwa wie im Inneren eines Ofens. \"Offnet man die
Verschl\"usse ({\em shutter}), tritt ein Strahl aus mit entsprechend
der Temperatur in 
den Quellen (nach Maxwell) verteilten Geschwindigkeiten. Die Teilchen
treffen ballistisch auf das Substrat auf, kollidieren und reagieren
nicht w\"ahrend des Flugs. Teilchen, die nicht sofort auf das Substrat
treffen, werden durch die Vakuumpumpen abgesaugt. Die Menge der
austretenden Materie 
l\"a\ss{}t sich genau durch die \"Offnungszeit des Verschlusses
steuern. So lassen sich Schichten von der Dicke eines Atoms,
Multilagen mit atomar scharfen Schichtgrenzen herstellen, was bei
Wachstum aus einem diffusen oder viskosen Flu\ss{} unm\"oglich
w\"are.

Eine Ionenpumpe und verschiedene Kryopumpen sorgen f\"ur ein
Ultrahochvakuum von weniger als $5 \times 10^{-11}$ Torr. Das
Hintergrundgas besteht gr\"o\ss{}tenteils aus Wasserstoff, einem zur
Erhaltung der Reinheit von Oberfl\"achen ``gutartigen'' Stoff. Die
Partialdr\"ucke von Stoffen, die zu Verunreinigungen im Kristall
f\"uhren, etwa verschiedener Kohlenstoffverbindungen, liegen unterhalb
der Nachweisgrenze eines zur Kontrolle in die Anlage eingebauten
Quadrupolmassenspektrometers, also unter $10^{-14}$ Torr.

Mittels Elektronenstreuung ({\em RHEED, reflection high energy
electron diffraction}) wird die Menge der aufgedampften Materie
\"uberwacht. Haupts\"achlich an den Stufen werden Elektronen getreut,
die Abschw\"achung des spekul\"aren Strahls ist daher ein Ma\ss{}
f\"ur die Stufendichte auf der Oberfl\"ache. Im Fall schichtweisen
Wachstums beobachtet man typische Oszillationen im {\em RHEED}--Signal
(siehe Bild \ref{rheedoszi}) mit Maxima bei kompletter F\"ullung einer
Schicht (kaum Stufen auf der Oberfl\"ache) und Minima bei halber
F\"ullung (maximaler Stufendichte). So lassen sich die aufgedampften
Schichten w\"ahrend des Wachstums ``abz\"ahlen''.

Die hohe Reinheit des wachsenden Kristalls und die genaue Kontrolle
der Wachstumsbedingungen erlauben die Untersuchung {\em intrinsischer}
Effekte des Kristallwachstums. Auftretende Instabilit\"aten sind
inh\"arent und nicht auf Verunreinigungen und dadurch bedingte
St\"orungen der Kristallstruktur
zur\"uckzuf\"uhren. Wachstumsexperimente unter MBE stellen daher
die Grundlage und bieten die \"Uberpr\"ufungsm\"oglichkeit von
Vorhersagen der in dieser Arbeit untersuchten Wachstumsmodelle.

\section{Homoepitaxie}
Anders als die genaue Kontrolle der Wachstumsstruktur in vertikaler
Richtung beim schichtweisen Aufdampfen, stellt die Erzeugung lateraler
Strukturen eine Herausforderung dar. Wachstumsinstabilit\"aten
erzeugen lateral variierende Strukturen und bieten m\"oglicherweise einen
L\"osungsweg. Eine solches Beispiel sind elastische Verspannungen bei
Heteroepitaxie, die bereits nach wenigen aufgedampften Monolagen zur
Bildung ausgepr\"agter Inseln mit einer scharfen
Gr\"o\ss{}enverteilung f\"uhrt, wenn sich die Gitterkonstante des
aufgedampften Materials von der des Substrats unterscheidet
\cite{ZangwillDobbsVvedensky}.

Aber auch unter {\em Homoepitaxie}, wenn
das aufgedampfte gleich dem Substratmaterial ist, treten generisch
Instabilit\"aten auf, wie im folgenden Abschnitt dargestellt wird. Der
theoretischen Beschreibung ist Homoepitaxie 
leichter zug\"anglich, weshalb sich Modelle der Homoepitaxie zur
Charakterisierung und zum grundlegenden Verst\"andnis der Ph\"anomene
des instabilen Wachstums anbieten.

Bei Homoepitaxie bilden sich in der ersten auf einer atomar glatten 
Fl\"ache wachsenden Lage Inseln, wenn diffundierende Adatome
aufeinandertreffen und einen stabilen Keim f\"ur eine Insel bilden.
Sie spielen eine wesentliche Rolle bei instabilem Wachstum,
wie im n\"achsten Abschnitt dargestellt wird.
Man beobachtet diese Keime, und damit auch die Inseln
der ersten Lage in einem typischen Abstand $l_D$ voneinander, 
der als {\em Diffusionsl\"ange} bezeichnet wird. Dies ist die
Entfernung, die ein einzelnes Adatom in seiner Diffusionsbewegung
auf der Kristalloberfl\"ache im Mittel
zur\"ucklegt, bevor es auf ein anderes trifft. Ist die gesamte
Substratfl\"ache mit Inseln bedeckt, die im Mittel den Abstand $l_D$
voneinander haben, k\"onnen alle Adatome zu den R\"andern der bereits
bestehenden Inseln gelangen ohne auf andere Einzelatome zu treffen, und
keine weiteren Inseln nukleieren. Es entsteht bei einer relativen
F\"ullung der ersten Lage von 0.2 bis 0.5 das typische Bild von
etwa gleich gro\ss{}en Inseln mit einheitlichen Abst\"anden zueinander
(Abbildung \ref{inseln_mit_l_D}).

\begin{figure}
  \begin{minipage}[b]{.52\linewidth}
    \centering\epsfig{file=ld_sim.ps,width=\linewidth, bbllx=130,
    bblly=200, bburx=415, bbury=605}
   \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{.40\linewidth}
    \centering\epsfig{file=ld_exp.ps, width=\linewidth, bbllx=145,
    bblly=232, bburx=302, bbury=558}
  \end{minipage}
  \begin{centering}
    \caption{Die Diffusionsl\"ange $l_D$ entspricht dem mittleren
    Abstand der auf einer singul\"aren Oberfl\"ache nukleierten
    Inseln. Links zwei Konfigurationen einer (kinetischen
    Monte-Carlo--) Simulation bei einer Bedeckung von $0.2$
    Monolagen, oben mit niedriger, unten mit hoher Diffusionsrate im
    Verh\"altnis zur Aufdampfrate \protect \cite{Ratsch}. Rechts eine
    STM--Aufnahme eines $(4000 \mbox{\AA})^2$ gro\ss{}en St\"ucks einer
    Pt(111)--Oberfl\"ache. Niedrige Diffusionsrate bei niedriger
    Temperatur (425 K, oben) f\"uhrt mit $l_D = 540 \! \pm \! 4
    \mbox{\AA}$ zu einer niedrigeren Diffusionsl\"ange als unten (628
    K, $l_D = 1700 \! \pm \! 250 \mbox{\AA}$) \cite{Bott}.}
    \label{inseln_mit_l_D}
  \end{centering}
\end{figure}


Eine detaillierte Darstellung der Dichte der Nukleationspunkte von
Inseln und ihrer Korrelationen \"uber mehrere Kristallschichten findet
sich in \cite{Wolf:Cambridge}. Eine einfache Absch\"atzung
der Abh\"angigkeit der Diffusionsl\"ange $l_D$ von der Intensit\"at
des einfallenden Strahls und der Diffusionsrate $D$ auf der
Oberfl\"ache sei hier kurz erw\"ahnt
\cite{Politi,VillainPimpinelli}. Dazu leitet man zun\"achst die
Wahrscheinlichkeit $P(l)$ her, da\ss{} auf einem Oberfl\"achenst\"uck
$S_l$ der linearen Ausdehnung $l$ (alle L\"angen in dieser Betrachtung sind 
in Einheiten der Gitterkonstanten $a$ angegeben) pro
Zeiteinheit eine Insel nukleiert. Der typische Abstand der Inseln
$l_D$ ist dann gegeben durch die Beziehung $P(l_D)/F = 1$, den im
entsprechenden Fl\"achenst\"uck findet w\"ahrend des Wachstums einer
Monolage im Mittel eine Nukleation statt.

$P(l)$ ist gegeben durch die Rate, mit der Atome auftreffen, $F l^d$ mal der
Wahrscheinlichkeit $p$, da\ss{} ein Atom ein anderes in $S_l$
trifft. $p$ ist ungef\"ahr gleich der Anzahl der in $S_l$ w\"ahrend
einer Diffusionsbewegung besuchten Gitterpl\"atze -- bis auf
logarithmische Korrekturen $l^{\hat d}$ mit $\hat d = \min(2,d)$ --
mal der mittleren Adatomdichte, also $p = l^{\hat d} \langle \rho
\rangle$. Die Inseln, die die diffundierenden Adatome absorbieren,
liegen im Abstand $l_d$, also ist die Adatomdichte zwischen den Inseln
$\langle \rho \rangle = F l_D^2 /D$. Daraus folgt
\begin{displaymath}
  P(l) = \frac{F^2}{D} \; l^{d + \hat d} \; l_D^2
\end{displaymath}
und schlie\ss{}lich
\begin{equation}
\label{l_D}
  l_D \simeq \left( \frac{D}{F} \right)^{\frac{1}{2+d+\hat d}}.
\end{equation}
Der Abstand der Nukleationspunkte h\"angt also ab vom Verh\"altnis
$D/F$. Je gr\"o\ss{}er $F$, desto n\"aher liegen die Nukleationspunkte
beisammen.


\section{Stufenbarrieren}
Ehrlich und Hudda untersuchten als erste die Selbstdiffusion einzelner
Wolframatome auf verschiedenen Oberfl\"achen eines Wolframkristalls
im Feldionenmikroskop \cite{EhrlichHudda,Mueller}. Am Emitter wurde
ein Kristall mit atomar flachen Oberfl\"achen niedriger Miller--Indizes
pr\"apariert, auf denen sich von einem geheizten Wolframdraht
ausgetretene Atome anlagern. Das zun\"achst regelm\"a\ss{}ige Muster
der Feldionenmikroskopaufnahme weicht teilweise ungeordneten Punkten,
die von den Adatomen auf den Facetten des Emitters herr\"uhren
(Bild \ref{Feldionenmikroskop}).

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 6cm
    \epsfbox{feldion.ps}
    \caption{Feldionenmikroskopische Aufnahme einer Wolframspitze. Auf
    den atomar glatten Facetten (oben) sind nach einiger Zeit von
    einem geheizten Draht ausgetretene Wolframatome aufgetroffen, die
    als zus\"atzliche helle Punkte im unteren Bild erscheinen \protect
    \cite{EhrlichHudda}.}
    \label{Feldionenmikroskop}
  \end{centering}
\end{figure}

Die Aufnahmen werden bei einer Temperatur gemacht (20 K), die weit 
unter der Aktivationsenergie f\"ur Adatomspr\"unge auf benachbarte
Gitterpl\"atze der Oberfl\"ache liegt. Merkliche Diffusion berichten
die Autoren erst bei 288 K auf der 211-- und bei 337 K auf den
110-- und 321--Oberfl\"achen. Sie nutzen dies zur Beobachtung einzelner
Spr\"unge der Adatomdiffusion: Zwischen den einzelnen Aufnahmen einer
Serie wird jeweils die Probe f\"ur einige Minuten \"uber die
Aktivationsschwelle der Diffusion geheizt. Ist die Wartezeit nicht
zu lang, lassen sich beim Vergleich aufeinanderfolgender Bilder die
Bewegungen einzelner Atome identifizieren. In der Mitte der Facetten,
weit genug entfernt von den R\"andern, f\"uhren die Adatome Irrfahrten
({\em random walks}) aus, und man kann die Diffusionskonstante ihrer
Bewegung bestimmen.

Ein wichtiges Ergebnis der Messung betrifft die R\"ander der Terrassen:
Die Autoren messen die Rate, mit der die Adatomdichte auf den Facetten
abnimmt und vergleichen sie mit der Vorhersage, die sich aus der
L\"osung der Diffusionsgleichung mit absorbierenden R\"andern ergibt.
Absorbierende Stufen f\"ur Adatome sowohl auf der oberen als auch
auf der unteren Terrasse wurden von Burton, Cabrera und Frank
\cite{BurtonCabreraFrank} zur Modellierung von Kristallwachstum
angenommen. Die von Ehrlich und Hudda gemessene Rate liegt deutlich
{\em unter} der Vorhersage. Die Stufen m\"ussen also (zumindest
teilweise) Adatome auf der oberen Terrasse reflektieren und somit dort
``gefangen'' halten, oder anders ausgedr\"uckt: Abw\"artsspr\"unge
\"uber eine Stufekante ben\"otigen eine h\"ohere Aktivierungsenergie
als Spr\"unge zwischen zwei Pl\"atzen auf der Terrasse. Eine qualitative
Erkl\"arung liefert ein einfaches Kugelmodell des Kristalls: Rollt man
eine (ein Adatom repr\"asentierende) Kugel \"uber eine Stufenkante
hinab, ist sie in einer Zwischenstellung  von ihren Nachbarinnen im
Kristall weiter entfernt als beim \"Ubergang zwischen zwei
Pl\"atzen auf der Terrasse. Die Konsequenzen 
dieses Effekts f\"ur Kristallwachstum liegen auf der Hand und wurden
bereits von Ehrlich und Hudda erkannt:
\begin{quote}
\dots at low temperatures atoms do not roll over the edge of a plane
-- instead they are reflected. A growing step can therefore only
acquire atoms from one side. [ \dots ] it is in this regime that
growth would be most affected.
\end{quote}
Die charakteristischen Merkmale von Kristallwachstum mit Stufenbarrieren
sind Gegenstand des n\"achsten Abschnitts.

\section{Wachstum mit Stufenbarrieren}
\label{wachstummitstufen}
\subsection{Oberfl\"achen mit schwacher Neigung}
Ehrlich und Hudda erkannten die Stufenbarrieren daran, da\ss{} sie
diffundierende Atome auf einer Insel in der obersten Kristallage
gefangen halten. Inseln k\"onnen bei epitaktischem Wachstum entstehen,
wenn die Terrassenst\"ucke zu Beginn hinreichend Platz bieten also bei
gen\"ugend kleiner mittlerer Neigung, $| \nabla h| \ll
a/l_D$. Andernfalls ist der urspr\"ungliche Stufenabstand kleiner als
$l_D$ und Adatome werden von den bereits vorhandenen Stufen
absorbiert, bevor Inseln nukleieren k\"onnen.
\subsubsection{Pyramidenwachstum}
Unter Wachstumsbedingungen, wenn ein st\"andiger
Teilchenstrom auf die Oberfl\"ache trifft, werden bevorzugt auf bereits
bestehenden Inseln neue kleinere Inseln nukleieren. Dort ist die 
Ad\-atom\-dichte gr\"o\ss{}er als auf tieferen Terrassen, von denen 
aufw\"artsgerichtete Stufen die Adatome absorbieren. Eine urspr\"unglich
glatte Oberfl\"ache ist also instabil gegen die Bildung von
pyramidenartigen Strukturen aus mehreren  \"ubereinanderliegenden Inseln, oft
als {\em wedding cake instability} bezeichnet. 


Der Limes unendlich starker Stufenbarrieren, in dem {\em keine} Materie
Stufen nach unten \"uberquert, kann in relativ einfachen Modellen
beschrieben werden. Hier ein Beispiel:

Die Stufenbarrieren halten die Materie in jeder Lage fest, unter idealen
MBE--Bedingungen (ohne Evaporation) kann die
Bedeckung der $n$--ten Lage $\theta_n$ also nicht abnehmen. Sie
nimmt zu in dem Ma\ss{}e wie die darunterliegende Terrasse (Lage
$n-1$) dem einfallenden Teilchenstrahl -- seine Intensit\"at sei $F$ 
-- ausgesetzt ist,
\begin{equation}
   \label{weddingcake}
   \frac{\partial}{\partial t} \theta_n = F \; ( \theta_{n-1}
   -\theta_n ).
\end{equation}
Das Wachstum soll auf einer perfekten Kristalloberfl\"ache beginnen,
bei $t \! = \! 0$ seien alle Lagen unterhalb der ersten gef\"ullt und
oberhalb leer, also $\theta_n \! = \! 1 \; (0)$ f\"ur $n \! \leq \! 0$
($n \! > \! 0$).

Die Wahrscheinlichkeit, da\ss{} der Kristall \"uber einem beliebigen
Fu\ss{}punkt zur H\"ohe  $n$ (in Einheiten der Gitterkonstanten $a$)
gewachsen ist, wird bezeichnet mit $p_n = \theta_n - \theta_{n+1}$.
Mit obiger Anfangsbedingung, $p_n = \delta_{n \, 0}$ bei $t \! = \! 0$
ist $p_n$ zu sp\"ateren Zeiten {\em poissonverteilt}
\begin{equation}
   \label{poisson}
   p_n (t) = \frac{(Ft)^n}{n !} e^{-Ft \, n}.
\end{equation}
Die mittlere gewachsene H\"ohe nimmt linear mit der Zeit zu,
wie zu erwarten ist bei konstantem \"au\ss{}erem Teilchenstrom:
\begin{displaymath}
h(t) = \sum_{n=0}^{\infty} n \; p_n(t) = F\;t.
\end{displaymath}
Die unendlichen Stufenbarrieren bewirken jedoch eine andere Entwicklung
der mittleren Breite der Oberfl\"ache, als wir sie aus Kapitel 
\ref{oberflaechendynamik} kennen. Da die H\"ohen poissonverteilt
sind, ist
\begin{displaymath}
w(t)^2 = \sum_{n=0}^{\infty} n^2 \; p_n(t) - h(t)^2 = h(t) = F\;t.
\end{displaymath}
Die mittlere Breite der Oberfl\"ache nimmt also wie die Wurzel der Zeit
zu, $w(t) \sim t^{1/2}$, und damit {\em schneller} als in den in 
Kapitel \ref{oberflaechendynamik} vorgestellten Modellen. Die Stufenbarrieren
beschleunigen die Aufrauhung.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{poissoncakes.ps}
    \caption{Simulation des im Text beschriebenen $1 \! + \!
    1$-dimensionalen Gittermodells mit unendlich hohen
    Stufenbarrieren. Die Breite der S\"aulen in der $n$-ten
    Kristallebene ist durch (\protect \ref{poisson}) gegeben. Mit
    freundlicher Genehmigung von M.\ Schimschak \protect
    \cite{KrugSchimschak}.}
    \label{poissoncakes}
  \end{centering}
\end{figure}

Dasselbe Aufrauhungsverhalten zeigt folgendes stark vereinfachte
Wachstumsmodell: Der ($d+1$--dimensionale) Kristall bestehe aus
W\"urfeln, die auf Gitterpl\"atze \"uber der ($d$--dimensionalen)
Substrat(hyper)ebene in einem Poissonproze\ss{} mit Rate $F$
``hinabregnen'' und dann dort liegenbleiben, egal ob sie auf eine
Spitze oder in eine Mulde treffen. Jede S\"aule w\"achst unabh\"angig,
die mittlere Breite der Oberfl\"ache folgt aus der Varianz der
zuf\"alligen Bewegungen der S\"aulenh\"ohen, nimmt also auch zeitlich
zu wie $w^2 \sim h \sim t$.

Gleich den S\"aulen sind bei epitaktischem Wachstum mit vollst\"andig
reflektierenden Stufenbarrieren die in der ersten Lage entstandenen
Inseln unabh\"angig voneinander, insofern als sie keine Materie mehr
austauschen k\"onnen. Die Aufrauhung der Oberfl\"ache wird auch hier
bestimmt von den Schwankungen im Wachstum der einzelnen Pyramiden,
die sich auf den Inseln der ersten Lage gebildet haben.

Die F\"ullung der einzelnen Lagen ist im oben beschriebenen Modell
(\ref{weddingcake},\ref{poisson}) leicht zu erfassen, nicht so jedoch die
Morphologie der entstehenden Pyramiden. In h\"oheren Dimensionen,
$d \! + \! 1$ mit $d \! > \! 1$ k\"onnen die Stufen zwischen den Lagen
vielf\"altige
Formen einnehmen, die davon abh\"angen, wie Adatome zu den Stufen
und an ihnen entlang diffundieren k\"onnen. Insbesondere k\"onnen
also die H\"ohenlinien der Pyramiden oder die R\"ander ihrer
Kristallschichten fraktal oder kompakt sein. Einzig in $d \! = \! 1$
tragen die Stufen selbst keine Freiheitsgrade sondern sind
punktf\"ormig, bzw.\ die Pyramiden haben keine laterale Struktur.
Die Form der Pyramiden h\"angt direkt mit dem F\"ullungszustand der
Lagen zusammen \cite{Krug:Weddingcakes}: Die Flanken der Pyramiden
bestehen aus Terrassenst\"ucken, deren L\"angen gerade die
$p_n$ aus Gleichung (\ref{poisson}) sind. Zu sp\"aten Zeiten, wenn
$Ft \! \gg \! 1$, n\"ahern sich die $p_n$ einer Gau\ss{}verteilung
an, was den Flanken die Form der zugeh\"origen Verteilungsfunktion,
der Fehlerfunktion gibt. Diese Form besitzt eine Symmetrie, die Spitzen
der Pyramiden haben dieselbe Form wie die sie trennenden Gr\"aben,
insbesondere werden beide unendlich d\"unn (Siehe Bild
\ref{poissoncakes}).



\subsubsection{Lagenwachstum}
\label{lagenwachstum}
Anders als in den zuletzt besprochenen Modellen sind im Experiment
die Stufenbarrieren nicht unendlich hoch. So k\"onnen singul\"ar
d\"unne, hohe Spitzen nicht entstehen. Tats\"achlich ist es sogar
m\"oglich, die Oszillationen im {\em RHEED}--Signal, also das
schichtweise Wachstum der Oberfl\"ache (auf englisch {\em layer by
  layer growth}) \"uber viele Lagen
aufrechtzuerhalten. Ausgehend von einer zun\"achst glatten Oberfl\"ache
bedeutet dies, da\ss{} auf den in der ersten Lage dar\"uber gebildeten
Inseln (fast) keine erneuten Inseln nukleieren, bevor sich die erste
Lage vollst\"andig geschlossen hat.

Durch einen Trick in der Steuerung des einfallenden Teilchenstroms
l\"a\ss{}t sich Nukleation auf Inseln zus\"atzlich
unterdr\"ucken \cite{Comsa}: Auf die glatte Terrasse treffen die
Teilchen mit hoher Intensit\"at (gro\ss{}em $F$). Dadurch liegen die
Inseln in der ersten Lage nahe beieinander ($l_D$ ist klein). Nachdem
sie \"uberall auf dem Substrat nukleiert sind, drosselt man den
Teilchenstrom (kleines $F$), so da\ss{} die Diffusionsl\"ange dadurch
deutlich gr\"o\ss{}er wird als der Abstand und der Durchmesser der
Inseln. Wenn sich die
erste Lage in gr\"o\ss{}eren Bereichen geschlossen hat erh\"oht man
wiederum den Teilchenstrom und erh\"alt in der zweiten Lage erneut
Inseln mit geringem Abstand. 

Auch ohne Stufenbarrieren sind Nukleationen in der zweiten Lage vor
Vollendung der ersten m\"oglich und treten unter generischen
Bedingungen so h\"aufig auf, da\ss{} sich die wachsende Oberfl\"ache
nach einer bestimmten Zeit aufrauht und \"uber {\em mehrere}
Kristallschichten erstreckt. Im {\em RHEED}--Signal verschwinden
die Oszillationen und die Intensit\"at des spekul\"aren Strahls
nimmt monoton ab. Wie lange schichtweises Wachstum
bestehen kann, h\"angt ab von der Gr\"o\ss{}e der Probe, ihrer
Temperatur und damit der Diffusionsrate der Adatome, sowie von
der Einfallrate der Teilchen \cite{KallabisBrendelWolfKrug}, siehe
auch Kapitel \ref{gitterimkontinuum} dieser Arbeit.

\subsection{Oberfl\"achen mit starker Neigung}
\label{stepflow}
Auf vizinalen Oberfl\"achen mit Neigung $|\nabla h| \gg a/l_D$ ist der
mittlere Stufenabstand kleiner als $l_D$, und auf den
Terrassenst\"ucken finden keine Nukleationen statt. Die
Stufenbarrieren bewirken, da\ss{} Adatome bevorzugt von {\em unten} zu
den Stufen diffundieren. Indem sie Adatome absorbieren, bewegen sich
die Stufen gleichm\"a\ss{}ig in Richtung der tieferliegenden
Terrasse. Ist es m\"oglich, da\ss{} bei diesem Wachstum mit
flie\ss{}enden Stufen, {\em step flow growth}, eine Konfiguration mit
geraden Stufen gleichen Abstands stabil ist?

Die Antwort ist unterschiedlich f\"ur Fluktuationen der
Stufenabst\"ande und Fluktuationen ihrer Form. Vernachl\"assigen wir
zun\"achst Fluktuationen der Stufenform, wie etwa M\"aanderungen, und
betrachten nur die mittlere Position der Stufen auf einer Koordinatenachse in
Richtung der Oberfl\"achenneigung. Je gr\"o\ss{}er die unter einer Stufe
liegende Terrasse ist, umso mehr Materie wird sich an ihr anlagern und
umso schneller wird sie sich beim Wachsen vorw\"artsbewegen. Bleibt
durch eine Fluktuation eine Stufe zur\"uck, vergr\"o\ss{}ert sich ihr
Einzugsgebiet und sie holt ihren R\"uckstand auf. Umgekehrt f\"allt
eine weiter vorgedrungene Stufe zur\"uck. Diese Stabilisierung der
Abst\"ande zwischen den Stufen wurde zuerst von Schwoebel und Shipsey
\cite{SchwoebelShipsey} und sp\"ater in einem gr\"o\ss{}eren
Zusammenhang  von Villain \cite{Villain} beschrieben. Es ist jedoch
leicht einzusehen, da\ss{} eine Folge von Stufen gleicher Abst\"ande
nur eine metastabile Konfiguration ist: Entsteht durch eine
Fluktuation ein Terrassenst\"uck der Gr\"o\ss{}e $l_D$, so wird dort
eine Insel nukleieren. Die Insel zieht Adatome an und bremst so die
Bewegung der dahinterliegenden Stufe. Dieser Mechanismus f\"uhrt damit
letztlich zur Bildung von Pyramiden wie auf einer Oberfl\"ache
schwacher Neigung \cite{KrugSchimschak}.

Gegen\"uber transversalen Fluktuationen ist eine Folge gerader,
paralleler Stufen instabil \cite{BalesZangwill}. An jede Stufe lagern
sich Adatome aus einer diffusiven Bewegung heraus an. Auf ein durch
eine Fluktuation vorgeschobenes Stufenst\"uck, eine ``Halbinsel'',
werden daher mehr Teilchen treffen als auf ein gerades St\"uck, auf ein
zur\"uckgesetztes Stufenst\"uck, eine ``Bucht'', entsprechend
weniger. Diese Instabilit\"at h\"angt wesentlich von den
Stufenbarrieren ab, da sich bei beidseitiger Anlagerung der \"Uberschu\ss{} an
Adatomen von der einen Seite und der Mangel von der Anderen
ausgleichen w\"urden. Diffusion entlang der Stufen gl\"attet diese
Fluktuationen aus, allerdings nur unterhalb einer bestimmten
Wellenl\"ange. Ausgleichender Massentransport entlang der Stufe ist
\"uber zu gro\ss{}e Entfernungen nicht wirksam. Aus den zun\"achst
geraden Stufen wird so eine Folge von gewellten Stufen, das
Oberfl\"achenprofil gleicht einem Wellblechdach mit Rinnen in Richtung
der Neigung, wie in Abbildung \ref{carpetcloseup} zu sehen ist.

Fassen wir noch einmal die hier beschriebenen Ph\"anomene
homoepitaktischen Wachstums mit Stufenbarrieren zusammen: Die
``stabilen'' Wachstumsformen, also Lagenwachstum auf singul\"aren und
gleichm\"a\ss{}ig flie\ss{}ende Stufen auf vizinalen Oberfl\"achen
sind nur transiente Erscheinungen. Auf hinreichend gro\ss{}en
Terrassenst\"ucken und insbesondere auf singul\"aren Oberfl\"achen
entstehen Pyramiden, parallele Stufen einer ebenen geneigten
Oberfl\"ache verformen sich zu Wellen. Beides ist in Bild
\ref{carpetcloseup} zu sehen.

Der Rest dieser Arbeit behandelt nun die weitere Entwicklung der
Wachstumsinstabilit\"aten f\"ur lange Zeiten. Man beobachtet eine
Vergr\"oberung der Oberfl\"achenstrukturen zu weit gr\"o\ss{}eren
Skalen als $l_D$. Aus den Pyramiden werden ``Berge'', f\"ur die wir
die Bezeichnung {\em H\"ugel} gebrauchen werden. Zu ihrer Beschreibung
sind kontinuierliche Modelle angemessen, also partielle
Differentialgleichungen, die im n\"achsten Kapitel eingef\"uhrt
werden. Die Stufenbarrieren geben der Diffusion der Adatome eine 
Vorzugsrichtung, was in diesem Rahmen einem {\em
  Nichtgleichgewichtsstrom\/} auf der Oberfl\"ache entspricht. Auf der
Grundlage des Kontinuumsansatzes werden in Kapitel
\ref{stufenbarrierenimkontinuum} 
quantitative Vorhersagen \"uber die Vergr\"oberung der Strukturen,
sowie in Kapitel \ref{gitterimkontinuum} eine theoretische
Vorhersage des \"Ubergangs von schichtweisem zu rauhem Wachstum
gemacht.


\chapter{Kontinuumsmodelle f\"ur Oberfl\"achen}
\label{kontinuumsmodelle}
Kontinuumsmodelle als L\"osungsansatz f\"ur Vielteilchenprobleme haben
eine lange und erfolgreiche Geschichte. Ein herausragendes Beispiel
ist die Hydrodynamik: Bei der Herleitung hydrodynamischer Gleichungen,
z.B.\ der Navier--Stokes--Gleichungen, werden einige fundamentale
Annahmen gemacht, die auch zur Beschreibung von Oberfl\"achen sinnvoll
sind und hier einf\"uhrend dargestellt werden sollen.

Jedem Kontinuumsmodell zugrunde liegt das Konzept der
Skalentrennung. In die Kontinuumsgleichungen gehen gemittelte
Gr\"o\ss{}en ein, wie etwa Dichte, Temperatur, Druck, Strom, oder
anderes. Gemittelt werden sie aber nur \"uber einen {\em
  mesoskopischen} Bereich, \"uber Volumen- oder Fl\"achenelemente der
linearen Ausdehnung $l_m$, die
viel kleiner als das gesamte (makroskopische) System, aber viel
gr\"o\ss{}er als die mikroskopischen Volumina oder Fl\"achen sind, die
z.B.\ von der Gr\"o\ss{}enordnung der mittleren freien Wegl\"ange
eines Fluids oder der Gitterkonstante eines Kristalls sind.

Ferner ist wichtig, da\ss{} die gemittelten
Gr\"o\ss{}en eine vollst\"andige Beschreibung der Vorg\"ange auf
mesoskopischer Skala liefern, wie etwa die Zustandsgr\"o\ss{}en in der
Thermodynamik, die alle ``wesentlichen Freiheitsgrade'' eines Systems
erfassen. Dazu dient die Hypothese des {\em lokalen Gleichgewichts},
nach der die gemittelten Gr\"o\ss{}en lokal durch thermodynamische
Beziehungen verkn\"upft sind. In Abschnitt \ref{lokgleich} werden wir
mit dieser Voraussetzung Parameter herleiten, die in die
Kontinuumsgleichung eingehen. Das makroskopische System als gesamtes
ist hingegen nicht im Gleichgewicht. Die mesoskopisch gemittelten Gr\"o\ss{}en
variieren daher r\"aumlich und zeitlich, z.B. die Dichte $\rho \equiv
\rho(\mathbf{x},t)$. Das makroskopische System entwickelt sich zeitlich,
weil die mesoskopischen Volumenelemente aneinander gekoppelt
sind. Dem Konzept der r\"aumlichen Skalentrennung entspricht die
Annahme der Existenz einer mesoskopischen Zeitskala $\tau_m$,
innerhalb derer sich die Einfl\"usse durch Kopplung nur auf
benachbarte Volumenelemente erstrecken. Die Dynamik erh\"alt damit die
Form von partiellen Differentialgleichungen, in denen $l_m$ als
infinitesimale Gr\"o\ss{}e $dx$ und $\tau_m$ als $dt$ aufgefa\ss{}t werden.

F\"ur Kristalloberfl\"achen, den Hauptgegenstand dieser Arbeit,
verf\"ahrt man bei der mesoskopischen Mittelung wie folgt: Nehmen wir
an, der Kristall sei mit einer seiner Hauptsymmetrieachsen entlang der
$z$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems orientiert. Die
\"ubrigen 2 (im allgemeinen $d$) Koordinatenachsen spannen eine
Hyperebene auf, die als {\em Substrat} bezeichnet
wird. Vernachl\"assigt man Leer- und Fehlstellen im Kristall, so ist
die Oberfl\"ache zur Zeit $t$ durch eine H\"ohe $h_\mathbf{x}(t)$ \"uber jedem
Gitterpunkt $\mathbf{x}$ in der Substratebene $S \subset {\mathbb R}^d$
gegeben. Gl\"attet man die diskrete H\"ohenkonfiguration durch einen
Faltungskern mit typischer Breite $l_m$, so ergibt sich daraus ein
gemitteltes H\"ohenprofil
\begin{equation}
\label{mittel_lm}
  h(\mathbf{x},t) := \sum_{\mathbf{x'} \in S} \chi^{l_m} (\mathbf{x - x'})
  h_\mathbf{x'} (t).
\end{equation}
Als Argument von $h(\mathbf{x},t)$ wird $\mathbf{x} \in {\mathbb R}^d$
nunmehr als {\em kontinuierliche} Variable aufgefa\ss{}t. Das
H\"ohen{\em feld} $h$ ist variiert nur auf Skalen, die gr\"o\ss{}er
sind als $l_m$.

Die diskrete Darstellung $h_\mathbf{x}$ unter Vernachl\"assigung von
Fehlstellen und \"Uberh\"angen spielt ebenfalls eine wichtige Rolle bei der
Modellierung von Kristallstrukturen an Oberfl\"achen. Man stellt sich
dabei vor, da\ss{} die Einheitszellen des Kristalls ohne Leerr\"aume
``aufeinandergestapelt'' sind, daher die Bezeichnung
Solid-on-solid--Modell oder SOS--Modell. Zu den hier einzuf\"uhrenden
Kontinuumsmodellen verhalten sich SOS--Modelle wie ein Ising--Modell
zur Ginzburg-Landau--$\phi^4$--Theorie: Trotz unterschiedlicher
mikroskopischer Natur erwartet und findet man bei geeigneter Wahl der
Parameter dasselbe universelle Verhalten auf gro\ss{}en Skalen.


\section{Oberfl\"achen im lokalen Gleichgewicht}
\label{lokgleich}
Lokales Gleichgewicht bedeutet hier, da\ss{} Oberfl\"achenst\"ucke
auf der oben definierten mesoskopischen L\"angenskala $l_m$ \footnote{Im
folgenden wird $l_m$ als ganze Zahl in Einheiten der Gitterkonstanten $a$
aufgefa\ss{}t.} im Gleichgewicht
sind. Unter dieser Voraussetzung definiert man die
Oberfl\"achenspannung in ihrer Abh\"angigkeit von der lokalen Neigung
der Oberfl\"ache wie folgt \cite{KrugSpohn}: F\"ur 
ein einfach kubisches Kristallgitter (andere Gitterformen lassen sich
analog konstruieren) betrachtet man ein SOS--Modell, dessen
H\"ohenkonfigurationen gegeben sind durch $h_\mathbf{x} \in {\mathbb Z}$ \"uber dem
Substrat $S_m := [-l_m,l_m]^d \ni \mathbf{x}$. Die mittlere Neigung ${\bf
u}$ wird \"uber helikale Randbedingungen vorgegeben: 
Die H\"ohen \"uber zwei einander gegen\"uberliegenden Fu\ss{}punkten
$\mathbf{y} := (y_1, \dots, +l_m, \dots, y_d)$ und $\mathbf{y'} := (y_1,
\dots, -l_m, \dots, y_d)$ sind verkn\"upft durch die Beziehung 
$h_\mathbf{y} - h_\mathbf{y'} \equiv 2 l_m \; \mathbf{u \cdot e}_i$, wobei
$\mathbf{e}_i \in {\mathbb R}^d$ der Einheitsvektor der Komponenten mit 
$y_i \! = \! l_m$ und $y'_i \! = \! -l_m$ ist. Diese Definition verlangt,
da\ss{} in allen Komponenten $2 l_m u_i$ eine ganze Zahl ist. Das
Konzept der Skalentrennung beinhaltet jedoch $l_m \gg 1$, und die Wahl
von $\mathbf{u}$ ist daher praktisch nicht eingeschr\"ankt. Helikale
Randbedingungen f\"ur die H\"ohenkonfiguration bedeuten periodische
Randbedingungen in den lokalen H\"ohendifferenzen.

Der Hamiltonian $H$ f\"uhrt \"uber die zugeh\"orige
Gibbsverteilung zu einer Zustandssumme \"uber die Konfigurationen
dieses endlichen Systems $Z_m 
(\mathbf{u}):= \sum_{\{h\}} \exp -\beta H[h]$, und damit zur Freien
Energie $F_m (\mathbf{u}):= - \beta^{-1} \log Z_m (\mathbf{u})$. Dividiert
durch den Fl\"acheninhalt der gegl\"atteten Oberfl\"ache $h_g := {\bf
u \cdot y}$, erh\"alt man die Oberf\"achenspannung
\begin{equation}
  \label{spannung}
  \gamma(\mathbf{u}) := \frac{1}{\sqrt{1+\mathbf{u}^2}} \; \frac{1}{(2 l_m
  \! - \! 1)^d} \; F_m (\mathbf{u}), \; \; \; \; \mbox{mit} \; \; l_m
  \to \infty
\end{equation}
Die Darstellung der Oberfl\"ache als H\"ohenkonfiguration im SOS- oder
Kontinuumsmodell bietet die Definition der Oberfl\"achenspannung als
Freie Energie pro {\em Substrats}fl\"ache an, in der Literatur oft als
$\hat \gamma$ bezeichnet. Wir werden im Folgenden jedoch Definition
(\ref{spannung}) verwenden.

In der Dynamik der Oberfl\"achenmodelle unterscheidet man zwei
verschiedene F\"allen. Im einen ist die gesamte Masse des
Systems $M_m[h] := \sum_{\mathbf{x} \in S_m} h_\mathbf{x}$ erhalten,
im anderen kann sie frei fluktuieren, wird aber durch die
Randbedingungen im Mittelwert festgehalten. Im ersten Fall wird
Materie entlang der Oberfl\"ache durch {\em Oberfl\"achendiffusion}
transportiert, im zweiten durch {\em Evaporation} und {\em
Kondensation} im Austausch zwischen Oberfl\"ache und dem
dar\"uberliegenden Raum.

Die Lineare Antwort des Systems auf eine infinitesimal kleine
treibende Kraft definiert die zur Kraft geh\"orige Mobilit\"at des Systems. 
Um diese {\em dynamische} Gr\"o\ss{}e zu fassen, f\"uhrt man zun\"achst
\"Ubergangsraten $w_{h \to h'}$ zwischen den Konfigurationen des
Systems ein. Sie stellen ein detailliertes Gleichgewicht zwischen den
Konfigurationen $h$ bez\"uglich der Gibbsverteilung her,
\begin{equation}
  \label{detbal}
  w_{h \to h'} \exp -\beta H[h] \equiv  w_{h' \to h} \exp -\beta H[h'].
\end{equation}
Ihre genaue Form, etwa als Metropolisraten, und die Auswahl der erlaubten
\"Uberg\"ange, etwa nur solche, bei denen ein einziges Teilchen bewegt
wird, w\"are noch zu definieren,
soll aber in die allgemeine Betrachtung an dieser Stelle nicht
eingehen. Die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts f\"uhrt zu
einer nat\"urlichen Konstruktion der \"Ubergangsraten {\em mit}
treibender Kraft.

Eine treibende Kraft unter Evaporations-Kondensations-Dynamik ist eine
Erniedrigung oder Erh\"ohung des chemischen Potentials f\"ur Atome im
Kristall $\delta \! \mu_0$ im Vergleich zum chemischen Potential in der
Dampfphase \"uber dem Festk\"orper. Betrachten wir den Fall der
Erniedrigung, $\delta \! \mu_0 \! < \! 0$, die den Kristall wachsen
l\"a\ss{}t: \"Uberg\"ange, bei denen die Gesamtmasse $M_m$ erh\"oht
wird, erhalten eine h\"ohere, solche mit Verminderung der Masse eine
niedrigere Rate. Dies geschieht derart, da\ss{} die Raten das detaillierte
Gleichgewicht der Energie\"anderungen ber\"ucksichtigen, n\"amlich
\begin{equation}
  \label{mytreiben}
  w_{h \to h'}^{\delta \! \mu_0} = w_{h \to h'} \; \exp \beta (M_m[h] \! -
 \! M_m[h']) \delta \! \mu_0.
\end{equation}

Bei Oberfl\"achendiffusion interessiert eine treibende Kraft, die den
Spr\"ungen der Adatome eine Vorzugsrichtung aufpr\"agt. Experimentell
intensiv untersucht \cite{Arzt} ist das Ph\"anomen der
Elektromigration: Durch den Kristall flie\ss{}ender elektrischer Strom
bewirkt \"uber Streuung der Elektronen an den Adatomen eine
Vorzugsrichtung in deren den Diffusionsspr\"ungen. Ph\"anomenologisch
ordnet man den Adatomen eine effektive 
Ladung zu, entsprechend ihrer Reaktion auf das den Strom erzeugende
elektrische Feld. Diese Vorstellung entspricht auch der theoretischen
Modellierung des Problems \cite{KrugDobbs}, bei der der Sprung eines
Adatoms um $\delta \mathbf{x}$ neben der \"Anderung der inneren
Wechselwirkungsenergie eine Energie\"anderung um $- q \; \delta \mathbf{x}
\cdot \mathbf{E}$ bewirkt. Bezeichnen $h$ ($h'$) die Konfigurationen vor
(nach) dem Sprung, so \"andern sich analog zu (\ref{mytreiben}) die
Raten 
\begin{equation}
  \label{Etreiben}
  w_{h \to h'}^{\mathbf{E}} = w_{h \to h'} \; \exp \beta q \; \delta \mathbf{x
  \cdot E}.
\end{equation}
Um die lineare Antwort auf kleine Felder zu fassen, gen\"ugt die
einfachste Wahl, n\"amlich die Projektionen von $\delta \mathbf{x}$ und
$\mathbf{E}$ auf die Substratebene.

\"Andert man zum Zeitpunkt $t \! = \! 0$ die Raten $w_{h \to h'}$ gem\"a\ss{}
(\ref{mytreiben}), so nimmt zur Zeit $t \! > \! 0$ die mittlere H\"ohe
mit der Geschwindigkeit $v(\delta \! \mu_0,t) := (d/dt) \langle M_m
\rangle/(2l_m \! + \! 1)^d$ zu. Analog findet man f\"ur die erhaltene
Dynamik einen mittleren Strom $\mathbf{j}(\mathbf{E},t)$ entlang der
Oberfl\"ache. Die jeweiligen linearen Anteile definieren die
\begin{itemize}
\item Adatommobilit\"at
\begin{equation}
  \label{mob1}
  {\boldsymbol \sigma } := \nabla_{\mathbf{E}} \lim_{t \to \infty} \mathbf{j}({\bf
  E},t) \Bigg\vert_{\mathbf{E} = 0},
\end{equation}
eine wegen der Anisotropie einer vizinalen Oberfl\"ache im allgemeinen
tensorielle Gr\"o\ss{}e. Auf Oberfl\"achen mit vier- und
sechsz\"ahliger Symmetrie (in $d=2$ Dimensionen) wird $\boldsymbol{\sigma}$
skalar. Zur nichterhaltenen Dynamik geh\"ort die
\item Oberfl\"achenmobilit\"at
\begin{equation}
  \label{mob2}
  \sigma_\perp  := \lim_{\delta \! \mu_0 \to 0} \lim_{t \to \infty}
  \frac{v(\delta \! \mu_0,t)}{\delta \! \mu_0}.
\end{equation}
\end{itemize}
Die die Dynamik auf mesoskopischer Skala bestimmenden Gr\"o\ss{}en,
Oberfl\"achenspannung und Mobilit\"aten, lassen sich also auf
nat\"urliche Weise aus den zugrundeliegenden mikroskopischen Modellen
definieren, allerdings nur f\"ur Oberfl\"achen im lokalen Gleichgewicht.

\section{Bemerkungen zum Nichtgleichgewicht}
Kristallwachstum unter f\"ur Molekularstrahlepitaxie typischen
Bedingungen findet fern vom Gleichgewicht statt. Zu den beweglichen
Adatomen kommen st\"andig neue aus dem \"au\ss{}eren Teilchenstrom
hinzu, was ausgeglichen wird durch ``Verlust'' bei Nukleation von
Inseln, wenn zwei oder mehr diffundierende Teilchen zusammentreffen,
oder bei Anlagerung an bereits vorhandene Kristallstufen. Fern vom
Gleichgewicht ist das System, weil dieser Durchsatz mit einer so
gro\ss{}en Rate erfolgt, da\ss{} der Zustand der Adatome und der
Oberfl\"ache bei weitem nicht der Gleichgewichtsverteilung entspricht,
wie sie im letzten Abschnitt definiert wurde. Dies \"au\ss{}ert sich
auch quantitativ: Die mittlere Adatomdichte $n_0$ ist viel g\"o\ss{}er
als der entsprechende Gleichgewichtswert $n_eq$.

Ein thermodynamischer Formalismus f\"ur Systeme au\ss{}erhalb
oder gar fern vom Gleichgewicht ist nicht ann\"ahernd so weit
entwickelt wie f\"ur den Gleichgewichtsfall. Ein Kontinuumsmodell,
wie es sich f\"ur letzteren mikroskopisch herleiten lie\ss{},
kann in diesem Fall nur ein ph\"anomenologischer Ansatz sein.
Seine Berechtigung erh\"alt es durch Vergleich mit Experimenten
oder Simulationen von elementaren Modellen des wachsenden Kristalls.

Bereits ein station\"arer Zustand, das Analogon zum Gleichgewichtszustand,
ist beim wachsenden Kristall nicht notwendig gegeben. Ein Beispiel
daf\"ur, das schichtweise Wachstum ({\em layer by layer growth}),
werden wir noch eingehend untersuchen. Direkt \"ubertragbar w\"are
die Herleitung der Nicht\-gleich\-ge\-wichts-Oberfl\"achendynamik mit
verallgemeinerter Oberfl\"achen\-span\-nung oder Freier Energie des
Systems, wenn ein station\"arer Zustand eine Gibbsverteilung im
Konfigurationsraum der Oberfl\"ache w\"are. Dies ist keinesfalls
gew\"ahrleistet, auch wenn Gibbsverteilungen in getriebenen
Systemen mit station\"arem Zustand eine besondere Rolle spielen
\cite{EyinkLebowitzSpohn}.

%zum H-theorem

\section{Chemisches Potential f\"ur Adatome}
Die mesoskopische Definition der neigungsabh\"angigen
Oberfl\"achenspannung f\"uhrt zur funktionalen Abh\"angigkeit der
Freien Energie der Oberfl\"ache von einer gegebenen
Oberfl\"achenkonfiguration
\begin{equation}
   \label{freieenergie}
   {\mathcal F}\{ h \} = \int_{V} d^dx \; \gamma(\nabla h(\mathbf{x},t))
                    \sqrt{1 + \nabla h(\mathbf{x},t)^2},
\end{equation}
indem man \"uber die Beitr\"age der einzelnen Oberfl\"achenelemente
integriert. Das chemische Potential ist die Energie\"anderung des
Systems unter Zugabe eines Teilchens. Im Kontinuumsbild erscheint
dies wie folgt: Variiert man die
H\"ohenfunktion $h(\mathbf{x},t) \to h(\mathbf{x},t) + \varepsilon
(\mathbf{x},t)$, so wird \"uber dem Fu\ss{}punkt $\mathbf{x}$ die Menge
$\rho \, \varepsilon(\mathbf{x},t) d^d\!x$ an Materie zugef\"ugt, wobei
die inverse Dichte $\rho^{-1}$ das atomare Volumen des Stoffes
bezeichnet. Die Zugabe eines {\em einzelnen} Atoms entspricht einer
infinitesimalen \"Anderung, so da\ss{} das chemische Potential durch
die Funktionalableitung
\begin{equation}
   \label{chempot}
   \mu(\mathbf{x},t) = (\rho d^d\!x)^{-1} \frac{\delta{\mathcal F}\{h\}}{\delta h}
   (\mathbf{x},t)
\end{equation}
gegeben ist. Mit der Gestalt von Gleichung (\ref{freieenergie}) folgt
\begin{equation}
   \label{varabl}
   \frac{\delta{\mathcal F}\{h\}}{\delta h} = - \nabla \cdot \left[
   \frac{\gamma(\nabla h)}{\sqrt{1+(\nabla h)^2}} \; \nabla h + 
   \sqrt{1+(\nabla h)^2} \; \; \nabla_\mathbf{u}
   \gamma\Big\vert_{\mathbf{u}=\nabla h} \right], 
\end{equation}
wobei $\nabla_\mathbf{u} \gamma$ nur die Ableitung nach dem Argument von
$\gamma$ (an dieser Stelle als differenzierbar angenommen)
bezeichnet. Oft betrachtet man Oberfl\"achen mit kleinen 
lokalen Steigungen $(\nabla h)^2 \! \ll \! 1$, und n\"ahert daher
linear in $\nabla h$
\begin{equation}
   \label{varablnaeh}
   \frac{\delta{\mathcal F}\{h\}}{\delta h} \approx - \partial_i \left[
   \delta_{ij} \gamma(0) + \partial^2_{ij} \gamma(0) \right]
   \partial_j h.
\end{equation}
Bei Oberfl\"achen mit vier- oder sechsz\"ahliger Symmetrie ist die
Hessesche der Oberfl\"achenspannung skalar, $\partial^2_{ij} \gamma(0)
\! = \! \delta_{ij} \gamma''(0)$, und (\ref{varablnaeh}) vereinfacht
sich zu
\begin{equation}
   \label{varablnaehiso}
   \frac{\delta{\mathcal F}\{h\}}{\delta h} \approx - \tilde \gamma \;
   \Delta h,
\end{equation}
mit der Definition $\tilde \gamma \equiv \gamma(0) \! + \gamma''(0)$
f\"ur die {\em Steifigkeit} (englisch {\it stiffness}) der
Oberfl\"ache. Die letzte Gleichung macht deutlich, da\ss{} diese
Herleitung  auf eine Gibbs-Thomson-Formel f\"ur Kristalloberfl\"achen
f\"uhrt: An einer Grenzfl\"ache h\"angt das lokale chemische Potential
von ihrer K\"ummung ab.

Der eigenen Erw\"ahnung verdient der Fall, da\ss{} $\gamma$ f\"ur
bestimmte Orientierungen eine Singularit\"at, etwa eine ``Ecke''
besitzt. In diesen Orientierungen divergiert $\partial^2_{ij} \gamma$
und daher auch die Steifigkeit in (\ref{varablnaehiso}). Solch ein
Fall tritt auf bei Temperaturen unterhalb des Rauhigkeits\"ubergangs
in diesen Oberfl\"achenorientierungen: Der Singularit\"at in $\gamma$
entspricht nach der Wulff--Konstruktion eine makroskopische Facette in
der Gleichgewichtsform des Kristalls \cite{Wulff,KrugSpohn}. In der
Sprache der Gleichungen (\ref{varabl}) bis (\ref{varablnaehiso})
bedeutet dies, da\ss{} auf einer Facette ein ``unendlich hohes''
chemisches Potential f\"ur Adatome herrscht. Tats\"achlich wird sich
ein auf die Facette aufgebrachtes Adatom an eine Stufe an ihrem Rand
anlagern. Bei Wachstum des Kristalls bestehen jedoch keine
Rauhigkeits\"uberg\"ange \cite{NozieresGallet,RostSpohn} (siehe auch
Kapitel \ref{gitterimkontinuum}). Das ph\"anomenologische \"Aquivalent zu
$\gamma$ fern vom Gleichgewicht ist also glatt und die Steifigkeit endlich.

\section{Dynamik der Oberfl\"ache}
Die Dynamik wird getrieben durch das Bestreben, die Freie Energie der
Oberfl\"ache zu verringern. Dem ``Weg'' von $h$ im Raum der
Konfigurationen hin zu niedrigeren Freien Energien entspricht der
Transport von Materie entlang dem negativen Gradienten des chemischen
Potentials, bzw.\ nach (\ref{varablnaehiso}) der mittleren Kr\"ummung
der Oberfl\"ache. Dabei k\"onnen unterschiedliche Relaxationsmechanismen,
d.h.\ unterschiedliche Wege des Materietransports, auf unterschiedlichen
Zeitskalen ablaufen. In der Relaxationsdynamik sind dann bestimmte
Freiheitsgrade ``eingefroren'', was verdeutlicht wird beim Vergleich
von Evaporations--Kondensations--Dynamik mit Oberfl\"achendiffusionsdynamik.

\subsection{Oberfl\"achendiffusion}
Ein Beispiel eingeschr\"ankter Relaxationsdynamik haben wir bereits
kennengelernt: Unter f\"ur Molekularstrahlepitaxie typischen
Bedingungen bleibt jedes Teilchen auf der Oberfl\"ache haften und wird
in den wachsenden Kristall eingebaut. Zun\"achst wenden wir uns einer
vergleichbaren Situation unter lokalem Gleichgewicht zu. Die
Unterdr\"uckung der Evaporation hat eine wichtige Konsequenz f\"ur die
Relaxation. Ist in der Gasphase \"uber der Oberfl\"ache das chemische
Potential $\mu_0$ niedriger als $\mu({\mathbf x},t)$ an einer Stelle
auf der Oberfl\"ache, so kann dennoch nicht Materie von diesem Ort
sublimieren, und umgekehrt kann der umgebende Raum nicht als
Teilchenreservoir zur Rekondensation dienen. Der entsprechende
Freiheitsgrad ist unter diesen Bedingungen der Relaxation nicht
zug\"anglich. Dynamik {\em mit} erlaubter Evaporation und
Rekondensation wird im n\"achsten Abschnitt untersucht.

Vernachl\"assigen wir ferner Leerstellen im Innern des Kristalls,
entspricht dem {\em Massen}erhalt ein Volumenerhalt:
\begin{equation}
  \int_S d^dx \; h({\mathbf x},t) = \rho^{-1} M = const.
\end{equation}
Die Dynamik wird daher durch eine Kontinuit\"atsgleichung beschrieben.
In Normalenrichtung verschiebt sich die Oberfl\"ache entsprechend der
lokal sich akkumulierenden oder entfernenden Masse, also um die
Divergenz eines (tangentialen) Oberfl\"achenstroms. In lokalen
Koordinaten ist dies
\begin{equation}
  \label{vn}
  \rho \mathbf{ v}_n = \mathbf{ \hat{n}} \; \frac{1}{\sqrt{|g|}} \;
  \partial_i \! \left( \! \sqrt{|g|} J^i \right)
\end{equation}
Der Strom selbst ist die lineare Antwort auf einen Gradienten im
chemischen Potential auf der Oberfl\"ache,
\begin{equation}
  \label{ji}
  J^i = {\sigma^i}_j \; g^{jk} \; \partial_k \mu.
\end{equation}
Stellt man die Oberfl\"ache als Graphen einer Funktion
$h(\mathbf{x},t)$ dar, so ist der metrische Tensor gegeben durch
$g^{ij} = \delta^{ij} + \partial^i h \; \partial^j h$
und $|g| = 1 + \nabla h^2$. Die Mobilit\"at ${\sigma^i}_j$
ist definiert in (\ref{mob1}). Die Wachstumsgeschwindigkeit in
$h$--Richtung h\"angt mit der Normalengeschwindigkeit zusammen \"uber
$\partial_t h = \sqrt{1 \! + \! (\nabla h)^2} \; | \mathbf{ v}_n
|$. Zusammen mit (\ref{chempot}) und (\ref{varabl}) erh\"alt man
daraus eine partielle Differentialgleichung f\"ur $h$.
\begin{multline}
  \label{nonlinmullins}
  \partial_t h = - \nabla \cdot \Biggl[ \sqrt{1 + \nabla h^2}
    \; \; \boldsymbol{\sigma}(\nabla h) \; \mathbf{g}(\nabla h) \; \; \\
    \nabla \; \; \nabla \cdot \left[
      \frac{\gamma(\nabla h)}{\sqrt{1+(\nabla h)^2}} \; \nabla h + 
      \sqrt{1+(\nabla h)^2} \; \; \nabla_\mathbf{u} \gamma
    \Big\vert_{\mathbf{u}=\nabla h} \right] \Biggr]
\end{multline}
Sie l\"a\ss{}t sich einfach verstehen in einer linearen N\"aherung
f\"ur kleine Neigungen $(\nabla h)^2 \ll 1$, die auf Mullins
zur\"uckgeht \cite{Mullins}. Die zweite Zeile in
(\ref{nonlinmullins}) wird angen\"ahert nach (\ref{varablnaehiso}). F\"ur
eine {\em lineare} Gleichung vernachl\"assigen wir in den Vorfaktoren
(in der ersten Zeile) alle Terme von $O(|\nabla h|)$ und erhalten mit
$\boldsymbol{\sigma}(\nabla h) \simeq \boldsymbol{\sigma}(0) = \sigma
\mathbb{I}$, $\sqrt{1+(\nabla h)^2} \simeq 1$ und $\mathbf{g}(\nabla
h) \simeq \mathbf{g}(0) = \mathbb{I}$ die Gleichung
\begin{equation}
  \label{mullins}
  \partial_t h = - K \; \Delta^2 h
\end{equation}
mit $K := \sigma \tilde \gamma$.

Weisen $\gamma$ und $\sigma$ eine Singularit\"at bei $\nabla h \!
= \! 0$ auf, also f\"ur Kristalloberfl\"achen bei Temperaturen
unterhalb des Rauhigkeits\"ubergangs, so kann die Dynamik nicht in der
Form (\ref{nonlinmullins}) dargestellt werden. Insbesondere w\"urde
$K$ in (\ref{mullins}) divergieren, oder  -- wenn $\sigma(\nabla
h \!= \! 0) = 0$ -- k\"onnte $K$ formal endlich sein, Gleichung
(\ref{mullins}) aber dennoch nicht die korrekte Beschreibung der
Dynamik liefern. Spohn \cite{Spohn} modelliert die Dynamik in $1+1$
Dimensionen, indem er umgekehrt $u = \partial_x h$ als Funktion von
$\tilde \gamma$ auffa\ss{}t und eine Zeitentwicklung von $\partial_t
\tilde \gamma$ herleitet. Nicht f\"ur jede Anfangsbedingung beschreibt
diese Methode die Relaxation korrekt \cite{SelkeDuxbury}, insbesondere
ist die Wahl von $\sigma(\nabla h \!= \! 0) = 0$ nicht durch die
Herleitung festgelegt. Die Relaxation in facettierte
Gleichgewichtszust\"ande ist in der Kontinuumsbeschreibung ein offenes
Problem.

Wie anschaulich zu erwarten d\"ampft Oberfl\"achendiffusion
kurzskalige Variationen besonders schnell aus. Nach Gleichung
(\ref{mullins}) nimmt ein Profil mit typischer Wellensl\"ange
$k$ wie $\exp(-Ktk^4)$ ab. Die D\"ampfung langwelliger Variationen
des Profils wird dadurch behindert, da\ss{} Masse \"uber entsprechend
gro\ss{}e Entfernungen transportiert werden mu\ss{}. Von der
vierfachen Ableitung $\Delta^2$ in (\ref{mullins}) r\"uhren zwei vom
chemischen Potential $\mu$ her (siehe (\ref{varablnaehiso})), und zwei
daher, da\ss{} die H\"ohen\"anderung die Divergenz eines vom
Gradienten von $\mu$ getriebenen Stromes ist. Von Relaxation mit
Evaporation und Kondensation erwarten wir daher in der zu
(\ref{mullins}) analogen Gleichung zwei Ableitungen weniger, was
Gegenstand des n\"achsten Abschnitts ist.

\subsection{Evaporation und Kondensation}
Der wesentliche Relaxationsmechanismus l\"a\ss{}t sich am einfachsten
an einer Oberfl\"ache darstellen, die im Mittel weder w\"achst noch
sublimiert. Das chemische Potential auf einer ebenen Oberfl\"ache
$\mu_0$ ist also gleich dem im umgebenden Raum. Einzige treibende
Kraft der Relaxation sind also die Variationen im chemischen Potential
gem\"a\ss{} (\ref{varabl}), die Materie evaporieren ode kondensieren
lassen. Die Oberfl\"ache wird also in ihre Normalenrichtung
verschoben mit einer Geschwindigkeit $v_n = - \sigma (\mu -
\mu_0)$. Die zugeh\"orige Mobilit\"at $\sigma$ ist in (\ref{mob2})
definiert. Die Dynamik des H\"ohenprofils $h(\mathbf{x},t)$ folgt
damit der partiellen Differentialgleichung
\begin{multline}
  \label{nonlinedwardswilk}
  \partial_t h = - \sqrt{1+\nabla h^2} \; \; \sigma(\nabla h) \times \\
      \nabla \cdot \left[ 
      \frac{\gamma(\nabla h)}{\sqrt{1+(\nabla h)^2}} \; \nabla h + 
      \sqrt{1+(\nabla h)^2} \; \; \nabla_\mathbf{u} \gamma
    \Big\vert_{\mathbf{u}=\nabla h} \right].
\end{multline}
Wie nach den \"Uberlegungen des vorangegangenen Unterabschnitts zu
erwarten besitzt die analog zu (\ref{mullins}) linearisierte Form von
(\ref{nonlinedwardswilk}) 
\begin{equation}
  \label{edwardswilkinson}
  \partial_t h \; = \; \nu \; \Delta h
\end{equation}
nur zwei Ortsableitungen mit dem Vorfaktor $\nu \! := \! \sigma \tilde
\gamma$. Die letzte Gleichung beruht auf demselben Prinzip wie die
Grenzfl\"achendynamik bei spinodaler Entmischung ohne Erhaltung der
mittleren Magnetisierung (Modell A \cite{HalperinHohenberg}). Die
Grenzfl\"achen verschieben sich lokal mit einer Geschwindigkeit
proportional zum Vektor der mittleren Kr\"ummung
\cite{Bray}. Massenerhaltung auf der Oberfl\"ache f\"uhrt zu
einer Modell B \cite{HalperinHohenberg} verwandten Relaxation. Die
Verschiebung der Fl\"ache ist bestimmt durch die Divergenz des
Gradienten des chemischen Potentials \cite{Bray}. Diese grundlegende
Analogie wird im n\"achsten Kapitel zur Modellierung der
Vergr\"oberung der Oberfl\"achenstrukturen ({\em mounds}) benutzt.

\chapter{Stufenbarrieren im Kontinuumsbild}
\label{stufenbarrierenimkontinuum}
\section{Nichtgleichgewichtsstrom}
\subsection{Thermodynamische Grund\"uberlegung}
Eine wachsende Oberfl\"ache ist ein System au\ss{}erhalb des
Gleichgewichts, bei Wachstum unter MBE sogar sehr weit vom
Gleichgewicht entfernt. Folgen wir der Onsagerschen Theorie der
Nichtgleichgewichtsthermodynamik \cite{Onsager}, wie sie in Kapitel 14
von \cite{Callen} dargestellt ist. In der Sprache dieser Theorie
bewirkt eine {\em Affinit\"at}, d.h.\ die Differenz einer intensiven
Gr\"o\ss{}e an verschiedenen Stellen im System -- in einem
kontinuierlichen System der Gradient des Feldes einer intensiven
Gr\"o\ss{}e --, die Nichtgleichgewichtseigenschaft des Systems.
Einfache Beispiele sind ein r\"aumlich variierendes Temperaturfeld auf
der Oberfl\"ache, oder ein variierendes chemisches Potential, wie wir
es im letzten Kapitel kennengelernt haben. Jede Affinit\"at bewirkt
einen Strom in den extensiven Gr\"o\ss{}en. Der
Zusammenhang kann f\"ur kleine Affinit\"aten linear angen\"ahert
werden
\begin{equation}
\label{onsagerrelation}
  \mathbf{J}_k = \sum_j L_{jk} \nabla F_j.
\end{equation}
Entscheidend ist nun, da\ss{} die Matrix der kinetischen (oder Onsager-)
Koeffizienten im allgemeinen nicht diagonal ist. Eine Affinit\"at in
einer intensiven Gr\"o\ss{}e kann also durchaus einen Strom einer
anderen als der zugeh\"origen extensiven Gr\"o\ss{}e induzieren. F\"ur
die wachsende Oberfl\"ache bedeutet dies insbesondere, da\ss{} eine
Differenz zwischen den chemischen Potentialen auf der Oberfl\"ache und
im umgebenden Raum (die Affinit\"at) nicht nur einen Massenstrom auf
den wachsenden Kristall (Strom der zugeh\"origen extensiven
Gr\"o\ss{}e) sondern auch entlang seiner Oberfl\"ache (Strom einer
{\em anderen} extensiven Gr\"o\ss{}e) bewirken kann. Bei Wachstum mit
Stufenbarrieren l\"a\ss{}t sich der induzierte Oberfl\"achenstrom
elementar herleiten. Im Folgenden werden wir sehen, da\ss{} auf einer
gleichm\"a\ss{}ig geneigten wachsenden Oberfl\"ache (parallele Stufen
gleichen Abstands) ein (Nichtgleichgewichts--)Oberfl\"achenstrom
$\mathbf{J}_{NG}$ induziert wird. Aber auch in anderen Wachstumsmodellen
ohne erkennbare Asymmetrie auf elementarem Niveau kann ein
Nichtgleichgewichtsstrom auf geneigten Oberfl\"achen auftreten und
wurde tats\"achlich beim Wolf-Villain--Modell \cite{WolfVillain}
beobachtet \cite{KrugPlischkeSiegert}.

Umgekehrt folgt aus (\ref{onsagerrelation}), da\ss{} im Gleichgewicht,
wenn alle Affinit\"aten verschwinden, kein Strom einer extensiven
Gr\"o\ss{}e herrschen kann. Auf einer gleichm\"a\ss{}ig geneigten
Oberfl\"ache, in Kontinuumsdarstellung $h(\mathbf{x},t) \! = \!
\mathbf{m \cdot x}$, flie\ss{}t im Gleichgewicht {\em kein}
Oberfl\"achenstrom. $\mathbf{J}_{NG}$ ist ein reiner
Nichtgleichgewichtseffekt.

\subsection{Neigungsabh\"angigkeit des Oberfl\"achenstroms}
Wenden wir uns nach diesen allgemeinen \"Uberlegungen der elementaren
Modellierung des Oberfl\"achenstroms zu. Die Symmetrie der
Oberfl\"ache wird gebrochen von den Stufen. Deren bevorzugte
Orientierung h\"angt ab von der mittleren Neigung, so da\ss{} eine
Neigungsabh\"angigkeit des Oberfl\"achenstroms zu erwarten ist.

Burton, Cabrera und Frank \cite{BurtonCabreraFrank} beschreiben die
diffundierenden Adatome auf der Kristallobefl\"ache durch das Feld
ihrer lokalen Dichte $\rho(\mathbf{x},t)$. Liegen die Stufen dicht
genug beisammen, findet auf den Terrassenst\"ucken der Oberfl\"ache
keine Nukleation statt. Der nat\"urliche Ansatz bei konstanter
Aufdampfrate $F$, Sprungrate $D$ und Gitterkonstante $a$ ist damit
\begin{equation}
\label{adatom1}
  \partial_t \rho \; = \; a^2 D \; \Delta \rho \; + \; F.
\end{equation}
Verluste in der Adatomdichte durch Nukleation w\"urden (in $d \! = \!
1$) beschrieben
durch einen Term $\sim - \rho^2$, der bei kleinen $\rho$ gegen die
\"ubrigen Terme in (\ref{adatom1}) vernachl\"assigt werden
kann. Adatome werden also nur an den Stufen aus dem System genommen,
w\"ahrend sie auf den Terrassenst\"ucken mit Rate $F$ je
Fl\"acheneinheit hinzugef\"ugt werden. Burton et al.\
\cite{BurtonCabreraFrank} argumentieren nun, da\ss{} die
Stufenbewegung durch Massenanlagerung auf einer wesentlich langsameren
Zeitskala erfolgt, als die Diffusion auf der Terrasse. Zu gegebener
Stufenkonfiguration kann man also $\rho(\mathbf{x},t)$ quasistatisch
berechnen.

Die Absorptionseigenschaften der Stufen bestimmen dabei die
Randbedingungen. Ideal reflektierende R\"ander f\"uhren zu
van-Neumann--Randbedingungen, $\hat \mathbf{n} \! \cdot \! \nabla \rho
= 0$, ideal absorbierende R\"ander zu Dirichlet--Randbedingungen $\rho
= 0$. Die gemischten Randbedingungen bei endlichen Stufenbarrieren
lassen sich mit folgender einfachen \"Uberlegung herleiten.

Im Kontinuumsansatz (\ref{adatom1}) wird die Gitterstruktur der
Kristalloberfl\"ache vernachl\"assigt. Insbesondere geht dabei die
Struktur entlang  der Kristallstufen verloren. Zur Herleitung der
Randbedingung an Stufen gen\"ugt daher eine Betrachtung in $1 \! + \!
1$ Dimensionen. Wir weisen jedoch darauf hin, da\ss{} die
Ber\"ucksichtigung der Gitteranisotropie zu anderen Randbedingungen an
Stufen als den hier hergeleteten f\"uhrt. 

Der ``Strom'' oder besser die Durchsatzrate zwischen zwei benachbarten
Gitterpl\"atzen ist das Produkt ihrer Besetzungsdichte und der
Sprungrate. Auf der Terrasse ist die Sprungrate $D$, \"uber die
Stufenkante nach unten ist sie erniedrigt um einen Arrheniusfaktor, in
den die Erh\"ohung der Energiebarrieren an den Stufen gegen\"uber
denen zwischen benachbarten Gitterpl\"atzen auf der Terrasse eingeht,
$r_- := \exp - E_B/k_b T =: a/l_-$. Er wird ausgedr\"uckt als das
Verh\"altnis der Gitterkonstanten $a$ zu einer L\"ange $l_-$, der
sogenannten {\em Schwoebell\"ange}. Sie kann interpretiert werden als
``Fluchtweite'', n\"amlich die Entfernung von der Stufe, die ein 
Teilchen maximal in seiner Diffusionsbewegung in einer unendlich
gedachten Halbebene erreicht, nachdem es einmal von der Stufenkante
entkommen ist und bevor es dort endg\"ultig absorbiert wird.

Der Strom \"uber die Stufe ist einseitig, h\"angt also nur von $\rho_o$,
der Besetzung des Platzes oberhalb der Stufe ab: $j = r_- D
\rho_o$. Damit definiert man eine effektive Besetzungsdichte
$\rho_{eff}$ des Gitterplatzes unterhalb der Stufe, die ohne
Stufenbarriere denselben Strom bewirkte,
\begin{displaymath}
D (\rho_o - \rho_{eff} ) = j = r_- D \rho_o.
\end{displaymath}
Interpoliert man das diskrete Dichteprofil durch eine glatte
Dichtefunktion $\rho( \mathbf{x} )$, entspricht der Ableitung an der
Stufe $\rho_{eff}' =  (\rho_o - \rho_{eff})/a = \rho_o/l_-$. Eine L\"ange
$l_+$ an der aufw\"artsgerichteten Stufe konstruiert man analog.

F\"ur das Dichtefeld in (\ref{adatom1}) gelten daher die Randbedingungen 
\begin{equation}
\label{stufenrandbed}
  \nabla \rho = \frac{\rho}{l_\pm} \; \hat \mathbf{n}.
\end{equation}
Der Normalenvektor $\hat \mathbf{n}$ zeigt wie der Dichtegradient nach
{\em innen}. Bei ideal reflektierenden Stufen $l_- \! = \! \infty$
wird daraus eine van-Neumann--Rand\-be\-dingung $ \nabla \rho \! = \! 0$
und bei ideal absorbierenden Stufen eine Dirichlet--Rand\-be\-dingung
$\rho = 0$. 

Im folgenden soll der Nichtgleichgewichtsstrom f\"ur eine geneigte
Oberfl\"ache mit geraden, \"aquidistanten Stufen berechnet
werden. Die mittlere Neigung sei $\mathbf{m}$, der Stufenabstand also
$l = a/|\mathbf{m}|$. Transversale Fluktuationen werden
vernachl\"assigt und die Rechnung wird effektiv eindimensional. Das
Dichteprofil besteht aus Parabelst\"ucken, die an den Stufen gem\"a\ss{}
(\ref{stufenrandbed}) aneinandersto\ss{}en. Nehmen wir an den
Aufw\"artsstufen ideale Absorption an, $\rho_+ \! = \! 0$, so ergibt
sich an der Stufe gegen\"uber
\begin{equation}
\rho_- = \frac{F l^2}{2 a^2 D} \; \frac{1}{1 + l/l_-}. 
\end{equation}
Der lokale Diffusionsstrom ist $\mathbf{j} = - a^2 D \nabla \rho$, der
makroskopische Nichtgleichgewichtsstrom sein r\"aumlicher Mittelwert
\begin{equation}
\label{jng}
\mathbf{J}_{NG} = \frac{1}{l} \! \int_0^l \! dx \;
a^2 D \rho'(x) \; \; \hat \mathbf{n} = \frac{F}{2} \; \frac{l}{1 +
  l/l_-} \; \hat \mathbf{n}  
\end{equation}
Er flie\ss{}t bergauf, in Richtung von $\hat \mathbf{n} = \nabla h / |
\nabla h|$, und sein Betrag ist proportional zu $l = 1/|\mathbf{m}|$,
dem Kehrwert der mittleren Neigung. Im Gleichgewicht, bei $F \! = \!
0$ verschwindet $\mathbf{J}_{NG}$. Ein weiterer wesentlicher Unterschied
besteht zwischen dem hier definierten $\mathbf{J}_{NG}$ und dem
Oberfl\"achenstrom (\ref{ji}) in Kapitel \ref{kontinuumsmodelle}. Dort
war der Strom ein Tangentialvektor an der durch $h(\mathbf{x},t)$
definierten Fl\"ache, in (\ref{jng}) steht dagegen ein Gradient, also
ein Vektor in der Substratebene. F\"ur Neigungen $|\nabla h| \! \ll \!
1$ unterscheidet sich (\ref{ji}) jedoch kaum von seiner Projektion in
die Substratebene. In diesem Fall vereinfacht sich (\ref{ji}) und man
kann den Relaxations- und den Nichtgleichgewichtsstrom addieren zu
\begin{equation}
\label{gesamtstrom}
  \mathbf{J} = - {\boldsymbol \sigma } \nabla \mu + \mathbf{J}_{NG}
\end{equation}

Die Gleichungen (\ref{jng}) und (\ref{gesamtstrom}) bilden einen
Ausgangspunkt f\"ur eine mesoskopische Modellierung der
Oberfl\"achendynamik mit Nichtgleichgewichtsstrom, n\"amlich
\begin{equation}
\label{dynmitgesamtstrom}
\partial_t h = - \nabla \cdot \left[ - {\boldsymbol \sigma } \nabla
  \mu + \mathbf{J}_{NG} \right] + F.
\end{equation}
In diesem Kapitel werden wir Gleichungen vom Typ
(\ref{dynmitgesamtstrom}) untersuchen. Fluktuationen in $F$,
sogenanntes Schrotrauschen, und im Oberfl\"achenstrom, das
Diffusionsrauschen, sind irrelevant f\"ur das Verhalten auf gro\ss{}en
Skalen, wie im n\"achsten Abschnitt argumentiert wird, und werden
daher vernachl\"assigt.

Allerdings ist die Form (\ref{jng}) noch nicht vollst\"andig.
Dieser Ansatz vernachl\"assigt viele Ph\"anomene auf realen
Oberfl\"achen, von denen einige hier kurz erw\"ahnt werden sollen.

(a) Der Strom $\mathbf{J}_{NG}$ wird gen\"ahrt von der Fl\"ache vor einer
Stufe, aus der heraus Adatome ungehindert zur Stufe diffundieren
k\"onnen. Bei gro\ss{}en Neigungen ist sie proportional zum
Stufenabstand (\ref{jng}), bei kleinen Neigungen kann sie nicht
gr\"o\ss{}er als $l_D$ werden. Dann tr\"agt also nur ein Bruchteil des
auf die Oberfl\"ache treffenden Massenstroms zu $\mathbf{J}_{NG}$ bei,
mithin $|\mathbf{J}_{NG}| \sim l_D/l \sim |\mathbf{m}|$. F\"ur
kleine Neigungen ist der Nichtgleichgewichtsstrom eine {\em lineare}
Funktion der Neigung $\mathbf{m}$.

(b) Neben der Asymmetrie der Absorption der Stufen beobachten man den
sogenannten {\em Knock-out}--Effekt. Trifft ein Teilchen aus dem
\"au\ss{}eren Strahl direkt an einer Stufe auf, so schiebt es ein Atom
in der ersten Reihe an der Stufe in die untere Terrasse hinaus und
setzt sich selbst an seinen Platz. Dies bewirkt einen Massentransport
nach unten, also entgegengesetzt zum oben beschriebenen
Diffusionsstrom. F\"ur sehr gro\ss{}e Neigungen, wenn der
Stufenabstand nur noch wenige Gitterabst\"ande betr\"agt, wird
Gleichung (\ref{jng}) den Oberfl\"achenstrom nicht mehr korrekt
widergeben, sondern wird dominiert von einem Term proportional zu $-
\mathbf{m}$. 

(c) Der Kontinuumsansatz (\ref{adatom1}) f\"ur die Adatomdichte
vernachl\"assigt die Anisotropie der Diffusionsbewegung und der
Stufenorientierung. Zwischen dicht liegenden Stufen mu\ss{} die
diskrete und damit anisotrope Natur der Diffusionsbewegung
ber\"ucksichtigt werden. Ferner bestehen je nach Orientierung der
Stufe unterschiedliche Wege, auf denen Adatome ``hinabrollen''
k\"onnen, und damit eine Orientierungsabh\"angigkeit der
Stufenbarrieren, die in die Randbedingungen (\ref{stufenrandbed})
eingeht.

Die Herleitung eines mesoskopischen $\mathbf{J}_{NG} =
\mathbf{J}_{NG}(\nabla h, \Delta h, \dots )$ aus allen mikroskopischen
Eigenschaften ist also nicht m\"oglich. Zum weiteren Vorgehen setzt man den
Nichtgleichgewichtsstrom {\em ph\"anomenologisch} an, wobei folgende
plausible Eigenschaften seiner Abh\"angigkeit von der lokalen
Oberfl\"achenkonfiguration in den Ansatz einbezogen werden: 
\begin{itemize}
\item $\mathbf{J}_{NG} = \mathbf{J}_{NG}(\nabla h)$ ist im
  wesentlichen eine stetige Funktion der Neigung. Abh\"angigkeit von
  der Kr\"ummung und anderen Termen wird vernachl\"assigt.
\end{itemize}
Die Auswirkung der Stufenbarrieren auf das Wachstum tritt hervor bei
einer Form, die die oben hergeleitete Neigungsabh\"angigkeit
ber\"ucksichtigt. 
\begin{itemize}
\item F\"ur kleine Neigungen $|\nabla h| \ll a/l_D$ ist
  $\mathbf{J}_{NG} \sim \nabla h$ und insbesondere bergauf gerichtet.
\item In einem gro\ss{}en Bereich $|\nabla h| > a/l_D$  bis hin zu
  $|\nabla h | \simeq O(1)$ ist $|\mathbf{J}_{NG}| \sim 1/|\nabla h
  |$. Auch in diesem Bereich ist der Strom bergauf gerichtet.
\end{itemize}
Beide Eigenschaften treten auf in einer interpolierenden Form von
$\mathbf{J}_{NG}$, die in den n\"achsten Abschnitten eingehend
behandelt wird:
\begin{equation}
\label{bcfstrom}
\mathbf{J}_{NG} = \frac{F \; l_D^2/a}{1 + (l_D/a)^2 (\nabla h)^2} \;
\nabla h.
\end{equation}
Bei sehr hoher Stufendichte kommen weitere Effekte zum tragen, wie
z.B.\ der {\em Knock-out}--Effekt.
\begin{itemize}
\item F\"ur sehr gro\ss{}e Neigungen flie\ss{}t der
  Nichtgleichgewichtsstrom wieder bergab. Insbesondere hat
  $\mathbf{J}_{NG}$ einen Nulldurchgang mit zunehmendem $|\nabla h|$.
\end{itemize}
In einer linearen Stabilit\"atsanalyse, im \"ubern\"achsten Abschnitt,
wird die Bedeutung von Nullstellen in $\mathbf{J}_{NG}(\nabla h)$
deutlich. N\"aher untersucht wird weiter unten die Form 
\begin{equation}
\label{siegertstrom}
\mathbf{J}_{NG} = F \; l_D^2/a \; \left( 1 - (l_D/a)^2 (\nabla h)^2
\right) \; \nabla h,
\end{equation}
bei der der Effekt der Nullstelle deutlich zutage tritt.

Es ist sinnvoll, den lateralen und vertikalen L\"angenma\ss{}stab und
die Zeit so zu reskalieren, da\ss{} die sich ergebende Gleichung vom
Typ (\ref{dynmitgesamtstrom}) dimensionslos wird. Die wichtigsten
theoretischen Resultate der letzten beiden Abschnitte dieses Kapitels
beziehen sich auf isotrope Modelle mit Relaxation wie in
(\ref{mullins}) und Nichtgleichgewichtstr\"omen wie (\ref{bcfstrom})
und (\ref{siegertstrom}), die einfach in eine dimensionslose Form
gebracht werden k\"onnen: Definiere dazu die dimensionslose
H\"ohenfunktion $\hat h$ durch die Beziehung
\begin{equation}
\label{defreskal}
h(\mathbf{x},t) - Ft=: A \; \hat h(\mathbf{x}/l, t/\tau),
\end{equation}
mit den L\"angenskalen $A := a K^{1/2}/(l_D^2 F^{1/2})$ und $l =
K^{1/2}/(l_D F^{1/2})$ sowie der Zeitskala $\tau = K/(l_D^4
F^2)$. Au\ss{}erdem wurde bei $\hat h$ die mittlere H\"ohe $Ft$
abgezogen, die Oberfl\"ache wird also in einem mitbewegten
Koordinatensystem beschrieben, so da\ss{} $\int \! d^dx \; \hat h
\equiv 0$. Bei $\mathbf{J}_{NG}$ wie (\ref{siegertstrom}) erh\"alt man
so aus Gleichung (\ref{dynmitgesamtstrom})
\begin{equation}
\label{siegertreskal}
\partial_t h = - \; \Delta^2 h \; - \nabla \cdot \left[ \left(1 -
    (\nabla h)^2 \right) \; \nabla h \right],
\end{equation}
und mit dem Ansatz (\ref{bcfstrom})
\begin{equation}
\label{bcfreskal}
\partial_t h = - \; \Delta^2 h \; - \nabla \cdot \frac{\nabla h}{1 +
  (\nabla h)^2}. 
\end{equation}
Vereinfachend ist hier $h$ statt $\hat h$ geschrieben. Aus der Form
der Gleichung ist immer ersichtlich, ob $h$ eine dimensionsbehaftete
oder -lose Gr\"o\ss{}e ist.

\section{Vergleich zur Kinetik der Phasenordnung}
\label{phasordsect}
Bei geeigneter Wahl der Stromfunktion $\mathbf{J}_{NG}(\nabla h)$
l\"a\ss{}t sich Gleichung (\ref{dynmitgesamtstrom}) als von einem
Ginzburg--Landau--Energiefunktional getriebene Relaxation
auffassen. Viele theoretische Vorhersagen und N\"aherungsmethoden
lassen sich damit von der Theorie der Kinetik von
Phasenordnungsprozessen \cite{Bray} \"ubernehmen. Diese Gemeinsamkeit 
rechtfertigt vor allem eine wesentliche Hypothese f\"ur
Gleichung (\ref{dynmitgesamtstrom}), die Irrelevanz von Rauschen 
f\"ur das Verhalten der Oberfl\"ache auf Skalen oberhalb der
Volumenkorrelationsl\"ange in Dimensionen $d \! > \! 1$.
Phasenordnung findet im sp\"aten Stadium
effektiv bei $T \! = \! 0$ statt, dem Fixpunkt f\"ur alle Temperaturen
unterhalb $T_c$ \cite{Bray}. Man erwartet also, da\ss{} auch f\"ur
die Vergr\"oberung der Oberfl\"achenstrukturen ({\em mounds}) auf
gro\ss{}en Skalen Fluktuationen im Diffusionsstrom und im
auftreffenden Teilchenstrahl irrelevant sind.

Als wohlberechtigte Annahme und hilfreich in der theoretischen
Auswertung hat sich bei Phasenordnungsprozessen die Skalenhypothese
erwiesen \cite{Bray}. Neben der mikroskopischen Skala der Defekte,
z.B.\ der Dicke der Phasengrenzschicht bei skalarem Ordnungsparameter
oder der Ausdehnung der Wirbel bei einem $O(n)$--Modell in $d \! = \!
n$ Dimensionen, gibt es im System nur eine ausgezeichnete
L\"angenskala $L(t)$, die dem mittleren Abstand zwischen den Defekten
entspricht. Korrelationsfunktionen, wie $C(\mathbf{x},t) \! := \!
\langle \phi(\mathbf{x \! + \! y},t) \; \phi (\mathbf{x},t) \rangle$
haben Skalenform $C(\mathbf{x},t) \! := \! f(|\mathbf{x}|/L(t))$,
wobei die L\"ange $L(t) \sim t^{1/z}$ mit einer bestimmten Potenz in
der Zeit zunimmt (\cite{Bray}, Abschnitt 2.1).

Bei Vergr\"oberung von Oberfl\"achenstrukturen beobachtet man sowohl
in Experimenten als auch in Simulationen
\cite{SmilauerVvedensky,SiegertPlischke} Skalenverhalten. Auch wenn
die jeweiligen Exponenten von Material und Wachstumsbedingungen
abh\"angen, treten Potenzgesetze und Skalenverhalten sowohl bei
verschiedenen Halbleitern \cite{HL} als auch bei mehreren Metallen
\cite{ME} auf. In die theoretische Modellierung geht die
Skalenhypothese folgenderma\ss{}en ein: F\"ur die gleichzeitige
Korrelationsfunktion der Fluktuationen
um die mittlere gewachsene H\"ohe der Oberfl\"ache, die wie in
(\ref{defreskal}) vom H\"ohenprofil abgezogen wird
\begin{equation}
\label{hhkorr}
G(\mathbf{x},t) := \langle h(\mathbf{x \! + \! y},t) \;
h(\mathbf{x},t) \rangle 
\end{equation}
setzt man eine Skalenform an:
\begin{equation}
\label{gskalenform}
G(\mathbf{x},t) = w(t)^2 g(|\mathbf{x}|/\xi(t)).
\end{equation}
Auch hier w\"achst die laterale L\"angenskala mit einer Potenz in der
Zeit, 
\begin{equation}
\label{xi(t)}
\xi(t) \sim t^{1/z}, 
\end{equation}
zus\"atzlich nimmt aber auch die mittlere Breite zeitlich zu
\begin{equation}
\label{w(t)}
w(t) \sim t^\beta.
\end{equation}
Diese beiden Gr\"o\ss{}en, sowie die sich daraus ergebende typische
Steigung der Oberfl\"achenstrukturen, der {\em mounds}, 
\begin{equation}
\label{s(t)}
s(t) := w(t)/\xi(t) \sim t^\alpha
\end{equation}
werden im weiteren Verlauf dieses Kapitels eine wichtige Rolle
spielen.

Neben diesen Gemeinsamkeiten werfen auch die Unterschiede zwischen
beiden Problemklassen wichtige Fragen auf, deren Beantwortung zum
weiteren Verst\"andnis f\"uhrt. Die Verwandtschaft beider Systeme ist
leicht zu sehen. Zun\"achst betrachtet man statt
(\ref{dynmitgesamtstrom}) die Dynamik des lokalen Gradientenfelds
$\mathbf{u}(\mathbf{x},t) \! = \! \nabla h (\mathbf{x},t)$
\begin{equation}
\label{dynu}
\partial_t \mathbf{u} = - \nabla \; \; \nabla \! \cdot \left[ {\boldsymbol
    \sigma} \nabla \; \nabla \! \cdot \! \tilde {\boldsymbol
    \gamma} \; \mathbf{u} + \mathbf{J}_{NG}(\mathbf{u}) \right]
\end{equation}
Hat die Neigungsabh\"angigkeit des Oberfl\"achenstroms die Form eines
Gradienten einer skalaren Funktion
\begin{equation}
\label{jgradphi}
\mathbf{J}_{NG}(\mathbf{u}) = - \nabla_\mathbf{u} \Psi (\mathbf{u}),
\end{equation}
kann man Gleichung (\ref{dynu}) \"ahnlich der 
Modell-B--Relaxationsdynamik schreiben,
\begin{eqnarray}
\label{dynwiemodelb}
\partial_t \mathbf{u} & = & - \nabla \; \; \nabla \! \cdot
\frac{\delta}{\delta \mathbf{u}} {\mathcal F}_{\Psi} \{ \mathbf{u} \}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mbox{mit} \\
{\mathcal F}_{\Psi} (\mathbf{u}) & = & \int \! d^dx  \; 
  \left[ \frac{1}{2} \; \sum_{ijlm} \tilde
  \gamma_{lm} \; ( \! \partial_i u_l \! )  \sigma_{ij} (\! \partial_j
  u_m \! )  + \Psi (\mathbf{u}) \right]. \nonumber
\end{eqnarray}
Eine im linearen Anteil isotrope Gleichung wie
(\ref{mullins}), mit einem Nichtgleichgewichtsstrom wie in
(\ref{bcfstrom}) ergibt sich also aus dem Funktional
\begin{equation}
\label{FfuerBCF}
{\mathcal F}_{\Psi} \{ \mathbf{u} \} = \int \! d^dx \; \left[ 
\frac{1}{2} \; \sum_{ij} ( \! \partial_i u_j \! )^2 - \log
\left( \mathbf{u}^2 + 1 \right) \right].
\end{equation}
Laterale und vertikale L\"angeneinheiten wurden gem\"a\ss{}
(\ref{defreskal}) reskaliert. Ein Strom wie in (\ref{siegertstrom})
ergibt sich aus der Wahl
\begin{equation}
\label{FfuerO(n)}
\Psi (\mathbf{u}) = - \frac{1}{2} \mathbf{u}^2 
\left( 1 - \frac{1}{2} \mathbf{u}^2 \right).
\end{equation}
Dies ist gerade das Flaschenboden- oder Mexikanerhut-Potential der
Ginzburg-Landau--Theorie eines $O(n)$--Modells in Dimension
$d \! = \! n$. Mit einer isotropen Abh\"angigkeit des Funktionals 
${\mathcal F}_{\Psi}$ vom Gradienten $\nabla \mathbf{u}$ wie in 
(\ref{FfuerBCF}) entspricht Gleichung (\ref{dynwiemodelb})
{\em fast} der Relaxationsgleichung des $O(n)$--Modells bei
$T \! = \! 0$ \cite{Bray}, mit dem wesentlichen Unterschied, da\ss{}
hier der Differentialoperator $\nabla \nabla \cdot$ statt $\nabla \cdot
\nabla$ am Anfang der rechten Seite steht. Zwar ist $\nabla h$ ein
wirbelfreies Gradientenfeld, nicht aber das Feld $\mathbf{J}_{NG}$,
das nichtlinear von $\nabla h$ abh\"angt, so da\ss{} die Vertauschung
der $\nabla$--Operatoren in Dimensionen $d \! > \! 1$ nicht trivial
ist. In $d \! = \! 1$ ist Gleichung (\ref{dynwiemodelb}) mit
(\ref{FfuerO(n)}) \"aquivalent zur erhaltenen Relaxation des
$\phi^4$--Modells, so da\ss{} sich alle Ergebnisse \"ubertragen
lassen \cite{KrugPlischkeSiegert}.

Besonderes Augenmerk richtet sich auf den Exponenten $1/z$, der das
Anwachsen der lateralen L\"angenskala bestimmt. In Kontinuumsmodellen
f\"ur Oberfl\"achen vom Typ (\ref{dynmitgesamtstrom}) ergibt sich
immer $z \! = \! 4$, was in den folgenden Abschnitten n\"aher
begr\"undet wird. Dieser Wert erscheint auch als Richtwert in vielen
Experimenten \cite{HL,ME} und Monte--Carlo--Simulationen von
Gittermodellen \cite{SmilauerVvedensky}, wobei auf Abweichungen von $z
\! = \! 4$ noch einzugehen ist. Derselbe Wert f\"ur den lateralen
Exponenten tritt auch auf bei Modell-B--Relaxation mit einem
Ordnungsparameter, der ein Kontinuum von Grundzust\"anden besitzt,
also insbesondere f\"ur das erhaltene $O(2)$--Modell in $d \! = \!
2$ \cite{Bray}.

Unterschiede bestehen f\"ur ein Potential $\Psi(\mathbf{u})$ mit
diskreten Minima. Beim Modell B bilden sich von W\"anden getrennte
Dom\"anen der einzelnen Phasen, deren Kr\"ummung wegen einer
Gibbs-Thomson--Beziehung die Randwerte des chemischen Potentials f\"ur
die Minorit\"atsphase(n) in den Dom\"anen festlegt \cite{Bray}. Bei
skalarem Ordnungsparameter erh\"alt man so das
$t^{1/3}$--Wachstumsgesetz von Lifshitz und Slyozov bzw.\ Wagner
\cite{LifshitzSlyozov,Wagner}. Simulationen der Relaxation eines
Ginzburg-Landau--Modells mit zweidimensionalem Ordnungsparameter und
diskreten Minima, des Uhrzeiger-- oder {\em clock}--Modells, ergeben
ebenfalls Dom\"anenwachstum mit $z \! = \! 3$ \cite{Siegert:Cambridge}.

Nicht so beim analogen Oberfl\"achenmodell (\ref{dynu}). Auch mit
diskreten Minima wachsen die lateralen Strukturen  mit $z \! = \! 4$
\cite{Siegert:Cambridge}. Die Ursache dieses Unterschieds ist
relativ leicht zu sehen, detaillierte Schlu\ss{}folgerungen daraus
jedoch noch nicht gezogen. Den Dom\"anen, in denen der
Ordnungsparameter jeweils einen Minimalwert von $\Psi$ annimmt
entsprechen nun Fl\"achen mit konstantem $\nabla h$, also
Seitenfl\"achen der Wachstumspyramiden. Dom\"anenw\"ande sind die
Kanten oder Knicke an den Pyramiden. Wie leicht einzusehen ist,
k\"onnen die Knicke nur bestimmte feste Orientierungen haben,
n\"amlich solche, da\ss{} die Parallelkomponente von $\nabla h$ an ihnen
stetig ist. Andernfalls existierte kein eindeutiges H\"ohenprofil $h$.
Insbesondere k\"onnen die Knicke also nicht gekr\"ummt sein und die
Bewegung der W\"ande kann also nicht von der Kr\"ummung getrieben
sein.

\section{Lineare Stabilit\"atsanalyse}
Die in Kapitel \ref{mbekap} beschriebenen Instabilit\"aten einer
ebenen Oberfl\"ache treten auch im Kontinuumsmodell
(\ref{dynmitgesamtstrom}) mit (\ref{jgradphi}) auf. Dieses erste
Ergebnis des Kontinuumsansatzes soll hier im Detail untersucht werden,
nicht zuletzt weil das Konzept einer (in)stabilen Flanke in den
folgenden Abschnitten noch ben\"otigt wird. 

Bei einer  nahezu gleichm\"a\ss{}ig geneigten Oberfl\"ache 
\begin{displaymath}
h(\mathbf{x},t) = \mathbf{m \cdot x} + \epsilon(\mathbf{x},t)
\end{displaymath}
entwickeln sich die kleinen St\"orungen gem\"a\ss{}
\begin{equation}
\label{lindynh}
\partial_t \epsilon(\mathbf{x},t) = - K \; \Delta^2 \epsilon + \sum_{ij} 
\frac{\partial^2 \Psi (\mathbf{m}) }{\partial m_i \partial m_j} \; \; 
\frac{\partial^2 \epsilon(\mathbf{x},t)}{\partial x_i \partial x_j} \;
\; .
\end{equation}
Oberfl\"achen mit Orientierungen, bei denen $\Psi$ eine negative
Kr\"ummung aufweist, sind also instabil. Als Beispiele daf\"ur werden
im folgenden die Wachstumsinstabilit\"aten aus Kapitel \ref{mbekap} in
der Formulierung der Kontinuumsmodelle dargestellt.

In der N\"ahe von $\mathbf{m} = 0$ ist in allen isotropen Ans\"atzen
$\mathbf{J}_{NG} = \alpha \mathbf{m}$ (mit $\alpha \! > \! 0$) und
$\Psi(\mathbf{m}) = - (\alpha/2) \mathbf{m}^2$. Gleichung
(\ref{lindynh}) ist in diesem Fall $\partial_t \epsilon = \left[
  -\alpha \Delta - K \Delta^2 \right] \epsilon$ und alle langwelligen
St\"orungen (mit Wellenvektoren $| \mathbf{k} |< \sqrt{K/\alpha})$
wachsen exponentiell in der Zeit an. Es bilden sich Buckel, deren
Ausdehnung der am meisten instabilen Wellenl\"ange $ \xi \approx 2
\pi \sqrt{2 \alpha/K}$ entspricht, und die das \"Aquivalent im
Kontinuumsbild zu den zuvor beschriebenen Pyramiden ({\em wedding
  cakes}) sind.

Bleiben wir weiter bei der N\"aherung eines isotropen Stroms, wenn
$\Psi$ also nur von $m \! = \! |\mathbf{m}|$ abh\"angt. Dann hat
$\Psi(\mathbf{m})$ zwei Hauptkr\"ummungen, n\"amlich $\partial^2
\Psi/\partial m^2$ in Richtung von $\mathbf{m}$ und $m^{-1} \partial
\Psi/\partial m$ in den \"ubrigen $d \! - \! 1$ Richtungen orthogonal
zu $\mathbf{m}$. Bezeichnen $\partial_\|$ bzw.\ $\nabla_\perp$ die
Gradienten in diesen Unterr\"aumen und $J(m) = \mathbf{m \cdot
  J}_{NG}/|\mathbf{m}|$ die Komponente des Stroms in Richtung von
$\mathbf{m}$, so kann man (\ref{lindynh}) umformen zu
\begin{equation}
\label{linstab}
\partial_t \epsilon = - K \Delta^2 \epsilon + (\nu_\| \partial_\|^2 +
\nu_\perp \nabla_\perp^2) \epsilon \; ,
\end{equation}
wobei $\nu_\| = - J'(m)$ und $\nu_\perp = - J(m)/m$. Nimmt der
Nichtgleichgewichtsstrom mit zunehmender Neigung ab, so ist der
Vorfaktor $\nu_\| \! > \! 0$ und die Oberfl\"ache ist linear stabil
gegen Fluktuationen, die entlang der Richtung von $\mathbf{m}$
variieren. Dies ist der Fall beim Stufenflu\ss{}wachstum, bei dem eine
Folge \"aquidistanter Stufen bei Neigungen $|\mathbf{m}| \! > \!
a/l_D$ stabil ist, w\"ahrend sich f\"ur kleinere Neigungen auf den
Terrassen Inseln bilden k\"onnen und die Oberfl\"ache instabil ist
(siehe Kapitel \ref{mbekap} und \cite{SchwoebelShipsey}). Der
ph\"anomenologische Ansatz f\"ur $\mathbf{J}_{NG}$ wie (\ref{bcfstrom})
erfa\ss{}t diesen Effekt: $J'(m)$ wechselt gerade bei $m \! = \!
a/l_D$ das Vorzeichen.

Der Vorfaktor $\nu_\perp$ vor $\nabla_\perp^2 \epsilon$ bestimmt die
(In)Stabilit\"at einer glatten Oberfl\"ache gegen\"uber Fluktuationen
senkrecht zu $\mathbf{m}$. Ist der Strom bergauf gerichtet, so ist
$\nu_\perp = -J(m)/m < 0$, die Oberfl\"ache $h(\mathbf{x},t) =
\mathbf{m \cdot x}$ also instabil. Umgekehrt wirkt ein bergab
gerichteter Strom stabilisierend. Dies ist konsistent mit der
elementaren Anschauung aus Kapitel \ref{mbekap}: Aufw\"arts
gerichteter Strom bewirkt die Bales-Zangwill--Instabilit\"at
\cite{BalesZangwill}, und Abw\"artsstrom gl\"attet die lateralen
Fluktuationen der Kristallstufen.

Der Ansatz (\ref{siegertstrom}) f\"ur $\mathbf{J}_{NG}$ beinhaltet
f\"ur alle Steigungen ab einem bestimmten $m_c$ die Positivit\"at von
$\nu_\|$ und $\nu_\perp$, also Stabilit\"at in beiden Richtungen. Wenn
bei der Anfangskonfiguration \"uberall $|\nabla h(\mathbf{x},t \! = \!
0)| < m_c$, so wird sich aufgrund der Instabilit\"aten die Oberfl\"ache
aufsteilen, und die lokalen Steigungen n\"ahern sich, wo immer dies
m\"oglich ist, an $m_c$ an. Im Sinne des vorangegangenen Abschnitts
entspricht dem die spontane Entmischung eines $O(n)$--Modells mit
Potential (\ref{FfuerO(n)}) und einer Anfangsmagnetisierung, die
\"uberall $|\mathbf{m}| \! < \! 1$ aufweist. Da die so in vielen
Experimenten und Simulationen beobachtete untere stabile Neigung
oftmals nicht einer Flanke mit niedrigen Miller--Indizes entspricht,
mithin ``unnat\"urlich'' im Vergleich zur Kristallsymmetrie ist, hat
sich daf\"ur die Bezeichnung ``magic slope'' eingeb\"urgert.

Im Rahmen der linearen Stabilit\"atsanalyse in diesem Abschnitt haben
wir Gleichungen erhalten, die gerade den linearen Anteil der in
Kapitel \ref{anisokskap} behandelten anisotropen KS--Gleichung enthalten.
Es liegt also nahe, die Vorhersagen der Analyse dieser Gleichung auf
Oberfl\"achenwachstum unter MBE zu \"ubertragen. Unter einer
zus\"atzlichen Bedingung erh\"alt man in der N\"aherung kleiner
Neigungen gerade Gleichung (\ref{fullaniso}): Diese unterscheidet sich
von den in diesem Kapitel behandelten Gleichungen dadurch, da\ss{} sie
die Masse auf dem wachsenden Kristall nicht erh\"alt, ihr
nichtlinearer Term ist nicht die Divergenz eines
Oberfl\"achenstroms. Allerdings unter Wachstumsbedingungen, bei
denen Evaporation nicht mehr vernachl\"assigbar ist, mu\ss{} die
Gleichung (\ref{dynmitgesamtstrom}) um einen Evaporationsterm
erg\"anzt werden:
\begin{equation}
  \partial_t h = - K \; \Delta^2 h - \nabla \cdot \mathbf{J}_{NG} + F
  - R(\nabla h).
\end{equation}  
Vereinfachend ist hier der Relaxationsterm in der Mullins--N\"aherung
(\ref{mullins}) gew\"ahlt und die Evaporationsrate $R$ nur in ihrer
Abh\"angigkeit von der Neigung der Oberfl\"ache betrachtet.  $R$
h\"angt haupts\"achlich von der Adatomdichte ab, also von der
Terrassengr\"o\ss{}e und somit von der lokalen Neigung
\cite{BurtonCabreraFrank}. Eine Linearisierung wie in (\ref{lindynh})
erfordert eine Taylorentwicklung von  $R$ nach $\nabla h$. Allerdings
verschwindet der lineare Term bei einer Galileitransformation, wie sie
in den Kapiteln \ref{teilchenkap} und \ref{anisokskap} eingef\"uhrt
wurde, so da\ss{} die niedrigste nichttriviale Ordnung zu Termen
$\lambda_\| (\partial_\| h)^2 + \lambda_\perp (\partial_\perp h)^2$
f\"uhrt. Eine Absch\"atzung der Verh\"altnisse $\nu_\|/\nu_\perp$
(nach \cite{BurtonCabreraFrank}) und $\lambda_\|/\lambda_\perp$ (nach
\cite{Villain}) f\"ur Wachstum bei gro\ss{}en Neigungen ergibt,
da\ss{} die so erhaltene anisotrope Kuramoto-Sivashinsky--Gleichung im
in Kapitel \ref{anisokskap} beschriebenen instabilen Bereich
(siehe Bild \ref{hantel}) liegt \cite{RostKrug:KS}. 

Nach der hier untersuchten anf\"anglichen Entwicklung der
Wachstumsinstabilit\"aten auf nahezu glatten Oberfl\"achen wenden wir
uns in den n\"achsten beiden Abschnitten ihrem Wachstum im Endstadium
zu. Der n\"achste Abschnitt behandelt instabiles Wachstum auf
anf\"anglichen Hochsymmetriefl\"achen f\"ur die Modelle
(\ref{siegertstrom}) und (\ref{bcfstrom}), im letzten Abschnitt
dieses Kapitels werden Besonderheiten der Instabilit\"at auf vizinalen
Oberfl\"achen mit dem Nichtgleichgewichtsstrom (\ref{bcfstrom})
betrachtet. 

\section{Strukturvergr\"oberung auf singul\"aren Oberfl\"achen}
\label{coarsensection}
Zwei Wege zur Beschreibung des Sp\"atzeitverhaltens sollen hier
begangen werden. Ein Skalenansatz (\ref{gskalenform}) mit
Potenzgesetzen (\ref{xi(t)},\ref{w(t)}) f\"ur die eingehenden L\"angen
f\"uhrt zu Skalenrelationen in Form von Ungleichungen zwischen den
auftretenden Exponenten. Ferner liefert eine vom sph\"arischen Modell
oder dem Limes $O(n \to \infty)$ inspirierte Approximation
\cite{RostKrug:Coarsen,ConiglioZannetti} ein Multiskalenform von
$G(\mathbf{x},t)$ (\ref{gskalenform}), die ``nahe'' an einer
Skalenform liegt mit Exponenten, die die soeben erw\"ahnten
Skalenungleichungen erf\"ullen.

Zur Abk\"urzung schreiben wir die reskalierten Gleichungen
(\ref{siegertreskal}) und (\ref{bcfreskal}) in der gemeinsamen Form
\begin{equation}
\label{freskal}
\partial_t h = - \Delta^2 h - \nabla \cdot \left[ f(\nabla h^2) \;
  \nabla h \right],
\end{equation}
wobei entweder $f(m^2) = 1/(1 + m^{1+\gamma})$ (im folgenden als
Modell (i) bezeichnet) oder $f(m^2) = 1 - m^2$ (Modell (ii)). Modell
(i) ist eine Verallgemeinerung von (\ref{bcfreskal}), bei der die Form
der Abnahme des Nichtgleichgewichtsstroms mit der Neigung mit dem
Parameter $\gamma$ variiert. Er hat Einflu\ss{} auf den Exponenten
$\beta$ in $w(t)$, und der Limes $\gamma \to \infty$ soll mit Modell
(ii) verglichen werden.

\subsection{Skalenrelationen}
Betrachten wir zun\"achst das zeitliche Anwachsen der mittleren Breite
der Oberfl\"ache, $w(t) := \langle h(\mathbf{x},t)^2 \rangle$,
\begin{eqnarray}
\label{breitemitt}
\frac{1}{2} \; \partial_t w^2 & = & - \langle \left[ \Delta
  h(\mathbf{x},t) \right]^2 \rangle + \langle \nabla h(\mathbf{x},t)^2
  \; f \left( \nabla h(\mathbf{x},t)^2 \right) \rangle \nonumber \\
 & =: & - I_1 + I_2.
\end{eqnarray}
Randterme treten bei den hier durchgef\"uhrten partiellen
Integrationen nicht auf, wenn die mittlere Neigung $\mathbf{m} \! = \!
0$ ist, und wenn bei einem endlichen System periodische
Randbedingungen angenommen werden. Im n\"achsten Abschnitt wird ein
\"ahnlicher Ansatz f\"ur vizinale Oberfl\"achen gemacht. In jedem Fall
ist in Gleichung (\ref{breitemitt}) $I_1 \! \ge \! 0$. Ist in der Wahl
des Modells der Strom 
immer aufw\"arts gerichtet, so ist auch an jedem Punkt $f(\nabla 
h(\mathbf{x},t)^2 ) \! \ge \! 0$. Aber auch f\"ur Modell (ii) erh\"alt
man eine untere Schranke f\"ur $I_2$: Da die mittlere Breite zeitlich
zunimmt, ist wegen $I_1 \! \ge \! 0$
\begin{equation}
\label{0breitei2}
0 \; \le \; \frac{1}{2} \; \partial_t w(t)^2 \; \le \; I_2
\end{equation}
und daher
\begin{equation}
\label{i1i2}
I_1 \; \le \; I_2.
\end{equation}
Daraus erh\"alt man sofort eine erste Ungleichung f\"ur den Exponenten
$\beta$, der das Wachstum der Breite der Oberfl\"ache beschreibt. F\"ur
Modell (ii) und Modell (i) mit $\gamma \! \ge \! 1$ hat $\nabla h^2 \;
f(\nabla h^2)$ und damit auch $I_2$ eine obere Schranke. Die Zunahme
$\partial_t w(t)^2 \le const.$ und $w(t) \le const. \; t^{1/2}$. Ein von
Stufenbarrieren erzeugter Nichtgleichgewichtsstrom macht ebene singul\"are
Oberfl\"achen instabil, l\"a\ss{}t ihre Breite aber nicht schneller
als mit der Quadratwurzel der Zeit zunehmen.

Mit der Skalenhypothese in der Folge von (\ref{gskalenform}) kann man
absch\"atzen $I_1 \sim (s/\xi)^2 \sim (w/\xi^2)^2$ und $\partial_t w^2
\sim w^2/t \sim (s \xi)^2/t$. Bei Modell (i) erh\"alt man au\ss{}erdem
$I_2 \sim s^2 f(s^2) \sim s^{1 - \gamma}$. F\"ur die oben definierten
Skalenexponenten liefern die Ungleichungen (\ref{0breitei2}) 
$2(\alpha + 1/z) - 1 \le \alpha (1-\gamma)$ und (\ref{i1i2}) 
$2 \alpha - 2/z\le \alpha (1 - \gamma)$. Beide Ungleichungen zusammen
ergeben
\begin{equation}
\label{doppelungl}
\frac{1+\gamma}{2} \; \alpha \; \le \; \frac{1}{z} \; \le \; \frac{1}{2}
- \frac{1+\gamma}{2} \; \alpha.
\end{equation}
Eine weitere Beschr\"ankung besteht darin, da\ss{} die Flanken der
{\em Mounds} stabil sein m\"ussen gegen die laterale
Bales-Zangwill--Instabilit\"at \cite{BalesZangwill}. Nach den \"Uberlegungen
zur linearen Stabilit\"at (\ref{linstab}) f\"uhren Fluktuationen mit
einer Wellenl\"ange \"uber $2 \pi / \sqrt{|\nu_\perp|}$ zur Instabilit\"at. 
Zu gegebener Steigung der Flanken $s$ ist dies bei Modell (i)
$- \nu_\perp = f(s^2) \sim s^{-(1+\gamma)}$. Die Einschr\"ankung f\"ur die
laterale Gr\"o\ss{}e der H\"ugel ist damit $\xi \le 2 \pi / \sqrt{|\nu_\perp|}
\sim s^{(1+\gamma)/2}$, bzw.\ f\"ur die Skalenexponenten
\begin{equation}
\frac{1}{z} \; \le \; \frac{1+\gamma}{2} \; \alpha.
\end{equation}
Damit wird die erste Ungleichung in (\ref{doppelungl}) zur Gleichheit
und die zweite ergibt
\begin{equation}
  \label{scalineqi}
  z \geq 4, \; \; \; \alpha \; = \; \frac{2}{z(1 + \gamma)} 
  \; \leq \; \frac{1}{2(1 + \gamma)}, \;
  \; \; \beta \; \leq \; \frac{3 + \gamma}{4(1 + \gamma)}.
\end{equation}
Bei der Dynamik von Modell (ii) n\"ahert sich die typische Steigung der
H\"ugel an den stabilen Wert $s \! = \! 1$ an. Nimmt man wieder ein
Potenzgesetz an, diesmal $s \! - \! 1 \sim t^{-\alpha'}$ mit $\alpha' \! 
> \! 0$, so wird der Sch\"atzwert  f\"ur den letzten Term in
(\ref{breitemitt}) $I_2 \sim s^2(1-s^2) \simeq 1 - s^2 \sim t^{-\alpha'}$.
Aus Ungleichung (\ref{0breitei2}) erh\"alt man damit
$2/z - 1 \leq - \alpha'$ und aus (\ref{i1i2}) $-2/z \leq - \alpha'$.
Eine umgekehrte Absch\"atzung ergibt sich wie f\"ur Modell (i) aus
$\xi \le 2 \pi / \sqrt{|\nu_\perp|}$ mit $|\nu_\perp| = 1 \! - \! s^2
\sim t^{-\alpha'}$, oder zusammengesetzt 
\begin{equation}
  \label{scalineqii}
  \frac{1}{z} = \frac{\alpha'}{2} = \beta \leq \frac{1}{4}.
\end{equation}

Fassen wir nochmals die beiden Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen.
Neben der strengen Schranke f\"ur die Zunahme der Breite $\beta \le 1/2$ 
erh\"alt man aus einer einfachen Skalenhypothese eine obere Schranke f\"ur
die Zunahme der lateralen L\"angenskala $\xi$ der Oberfl\"achenstrukturen,
$1/z \leq 1/4$ in beiden Modellen.

Das letzte Ergebnis l\"a\ss{}t sich anschaulich so interpretieren. Man
stellt zun\"achst einen Zusammenhang zwischen
der lateralen Ausdehnung $\xi$ und der Steigung der Seiten der H\"ugel
$s$ her: Die Bales-Zangwill--Instabilit\"at beschr\"ankt $\xi$ gegen\"uber
einer Funktion der Neigung. Umgekehrt mu\ss{} die Kr\"ummung der Oberfl\"ache
wegen (\ref{i1i2}) kleiner als eine Funktion der Neigung sein, die laterale
Ausdehnung $\xi$ also {\em gr\"o\ss{}er} als eine untere Schranke.
Da das Anwachsen der mittleren Breite beschr\"ankt ist (\ref{0breitei2}),
und $w \sim s \xi$ ergibt sich aus der Beziehung zwischen $s$ und $\xi$
eine Schranke f\"ur $\xi$ und damit auch f\"ur $s$ 
(\ref{scalineqi},\ref{scalineqii}).

\subsection{Sph\"arische N\"aherung}
Betrachten wir im folgenden die Zeitabh\"angigkeit der
Zweipunkt--H\"ohenkorrelationsfunktion (\ref{hhkorr})
\begin{equation}
\label{corrdyn}
\partial_t G(\mathbf{x},t) = - 2 \; \Delta^2 G(\mathbf{x},t) - 2 \; \nabla
\cdot \langle 
h(0,t) \; f(\nabla h(\mathbf{x},t)^2) \; \nabla h(\mathbf{x},t) \rangle.
\end{equation}
Um eine geschlossene Gleichung zu erhalten ersetzen wir 
$f(\nabla h^2)$ durch $f(\langle \nabla h^2 \rangle)$ auf der rechten
Seite der Gleichung. Diese N\"aherung entspricht der sph\"arischen
Approximation oder dem Limes $n \to \infty$ der Phasenordnungsdynamik
\cite{Bray}, daher die \"Uberschrift dieses Abschnitts. Das Argument
von $f$ kann man dann einfach ausdr\"ucken
\begin{equation}
\langle \nabla h(\mathbf{x},t)^2 \rangle = - \Delta \langle h(\mathbf{x},t)^2
\rangle =  - \Delta G(0,t),
\end{equation}
und Gleichung (\ref{corrdyn}) schlie\ss{}t sich zu
\begin{equation}
\label{cdmf}
\partial_t G(\mathbf{x},t) = - 2 \; \Delta^2 G(\mathbf{x},t) - 2 \;
f(|\Delta G(0,t)|) \; 
\Delta G(\mathbf{x},t).
\end{equation}
Die betrachtete Dynamik (\ref{freskal}) ist isotrop in der
Substratebene. Gilt dies zudem f\"ur die Anfangsbedingungen
$h(\mathbf{x},t\! = \!0)$, h\"angt $G(\mathbf{x},t)$ r\"aumlich nur
von $|\mathbf{x}|$ ab. Entsprechend  ist der Strukturfaktor $S(k,t)$,
die Fouriertransformierte von $G$, eine Funktion von $t$ und $k \! = \!
|\mathbf{k}|$ und gen\"ugt wegen (\ref{corrdyn})
\begin{equation}
\label{Seq}
\partial_t S(k,t) = -2 \left[ k^4 - f(a(t)) k^2 \right] S(k,t).
\end{equation}
Die Funktion $a(t)$ ist definiert durch
\begin{equation}
\label{a(t)}
a(t) =  (2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)) 
\! \int_0^{\infty} \! \! dk \; k^{d+1} S(k,t),
\end{equation}
mit der Dimension $d$ des Substratraums. Formal ist (\ref{Seq}) l\"osbar
\begin{equation}
\label{formal}
S(k,t) = S_0(k) \exp \left[ -2 t k^4 + 2 k^2 \! \int_0^t \! \! ds \;
  f(a(s)) \right]. 
\end{equation}
Die Anfangsbedingung $S_0(k)$ spiegelt die Unordnung in der
Anfangskonfiguration in Gleichung (\ref{freskal}) wider. Sie besteht
aus den Fluktuationen zu fr\"uhen Zeiten des epitaktischen
Wachstumsprozesses, also der Konfiguration mit den ersten nukleierten
Inseln bei einer Teilbedeckung von $\theta \approx 0.1 \dots 0.3$
\"uber der urspr\"unglichen Substratfl\"ache. Simulationen lassen
folgenden Verlauf sinnvoll erscheinen \cite{Kallabis}:
$S_0(k)$ besitzt ein ausgepr\"agtes Maximum bei einer (endlichen)
Wellenzahl, die dem mittleren Inselabstand bzw.\ der Diffusionsl\"ange
$l_D$ entspricht. Es verschwindet $k \to \infty$ und n\"ahert sich
f\"ur $k \to 0$ einem {\em endlichen} Wert an.

Zu sp\"aten Zeiten beh\"alt $S(k,t)$ das Maximum, was ein bestimmtes
$k_{max}$ in der N\"ahe des Maximums im Exponenten von (\ref{formal})
auszeichnet. Die zugeh\"orige L\"angenskala $\xi$ bezeichnet den
typischen Abstand benachbarter Buckel in der Oberfl\"achenstruktur.
Da f\"ur sp\"ate Zeiten $k_{max}$ gegen Null geht, gen\"ugt es,
$S_0(k)$ in der N\"ahe von $k \! = \! 0$ zu betrachten. Tats\"achlich
liefert sogar $S_0(k) \equiv S_0(0) = c$ den korrekten f\"uhrenden
Beitrag zu $\xi$, womit hier auf noch folgende ausf\"uhrlichere
Bemerkungen vorgegriffen wird. Der Wert von $c$ hat keinen Einflu\ss{}
auf den dynamischen Exponenten $z$. Um die Formeln bequem handzuhaben,
w\"ahlt man $S_0(k) = (2 \pi)^{-d/2}$, bzw.\ $G(\mathbf{x},t \! = \!
0) = \delta(\mathbf{x})$.

Aus der im Anhang \ref{rechnung} bestimmten asymptotischen Form von
$b(t) := \int_0^t ds \; f(a(s))$ erh\"alt man nun die Zeitabh\"angigkeit
der wachsenden Oberfl\"achenstruktur. F\"ugt man das Ergebnis in den
Ausdruck f\"ur den Strukturfaktor $S(k,t)$ (\ref{formal}) ein, zeichnet
sich f\"ur jedes $t$ eine Wellenzahl aus, n\"amlich die Lage des Maximums
von $S(k,t)$.
\begin{equation}
\label{km}
k_{m}(t) = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{d+2}{4} + \frac{1}{\gamma}
  \right) \; \; \frac{\log t}{t} \right)^{1/4}.
\end{equation}
Man interpretiert es als die Inverse einer ausgezeichneten
L\"angenskala $\xi \sim (t/\log t)^{1/4}$. Bis auf eine logarithmische
Korrektur ergibt sich laterale Vergr\"oberung der Strukturen mit einem
dynamischen Exponenten $z = 4$. Die im letzten Abschnitt hergeleitete
Ungleichung wird dadurch nicht verletzt.

Im Gegensatz zum Ausgangspunkt des letzten Abschnitts
(\ref{gskalenform}) hat der hier erhaltene Strukturfaktor $S(k,t)$
{\em keine} Skalenform $S(k,t) = w^2 k_m^{-d} \mathcal{S}(k/k_m)$. $k_m$
kann also nicht die einzige in dieser L\"osung enthaltene
L\"angenskala sein. Vielmehr hat die L\"osung eine {\em
  Multiskalenform}
\begin{equation}
\label{multi}
S(k,t) = L(t)^{\varphi(k/k_m \! (t))/d},
\end{equation}
mit $\varphi(x) = 2x^2 - x^4$ und der zweiten L\"angenskala $L(t) \sim
t^{(\frac{d+2}{4} +\frac{1}{\gamma})/d}$. Anders als $\xi \sim
k_m^{-1}$ h\"angt die zeitliche Zunahme von $L(t)$ sehr wohl ab von
$\gamma$, der Form der Stromfunktion $f(s^2)$.

Die typische Steigung in den Flanken der Oberfl\"achenbuckel ergibt
sich direkt aus der Konstruktion unserer L\"osung, $a(t) = \langle
(\nabla h)^2 \rangle$. In Modell (ii) n\"ahert sich $a(t)$ dem
stabilen Wert $s^2 \! = \! 1$ an. Die f\"uhrende Abweichung ist
\begin{equation}
\label{magic}
a(t) = 1 - \dot b(t) \simeq 1 - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{d+2}{2}}
\left( \frac{\log t}{t} \right)^{1/2}.
\end{equation}
Die Skalenungleichung f\"ur $\alpha'$ wird nicht verletzt, sie w\"are
sogar bis auf eine logarithmische Korrektur als Gleichung erf\"ullt.

Bei Modell (i) steilen sich die Flanken der H\"ugel auf,
\begin{equation}
\label{steep}
a(t) \simeq \dot b^{-2/(1+\gamma)} \simeq 
\left( \frac{8}{\frac{d+2}{4}+\frac{1}{\gamma}} \right)^{1/(1+\gamma)}
\left( \frac{t}{\log t} \right)^{1/(1+\gamma)},
\end{equation}
im Einklang mit der oben hergeleiteten (\ref{scalineqi}) Schranke
$\alpha = 1/(2 + 2 \gamma)$.

Die Form der Korrelationsfunktion, wie sie sich aus der sph\"arischen
N\"aherung ergibt, sei noch n\"aher erl\"autert. Mit den oben
benutzten Anfangsbedingungen $S_0(k) \! \equiv \! c$ ist der
Strukturfaktor zu jeder Zeit und an jedem $k$ analytisch
(\ref{formal}). Die H\"ohenkorrelationsfunktion $G$ f\"allt daher
exponentiell ab, moduliert mit Oszillationen der Frequenz $k_m(t)$.

Interessant ist die Vorhersage der Entwicklung langreichweitiger
Korrelationen, wenn sie in der Anfangskonfiguration vorhanden
waren. Ein Potenzabfall in $G(\mathbf{x},t \! = \!0)$ bedeutet eine
Singularit\"at in $S(k,t)$. Liegt sie an einem Wert $k_0 \! > \! 0$,
ist also der Potenzabfall von $G$ durch Ozsillationen moduliert, so
bleibt die Singularit\"at bestehen, wird aber zu sp\"aten Zeiten mit
einem Faktor $\exp -t k_0^4$ unterdr\"uckt, wenn $k_m(t) \! \ll \!
k_0$. F\"ur extrem gro\ss{}e $|\mathbf{x}|$ hat $G(\mathbf{x},t)$ also
einen sehr schwachen mit einem Potenzgesetz abfallenden ``Schwanz'',
nachdem es bis zu einem zeitlich zunehmenden $x_0$ f\"allt exponentiell
abgefallen ist.

Eine Singularit\"at bei $k_0 \! = \! 0$ wird dagegen nicht
unterdr\"uckt. In Gleichung (\ref{formal}) wird sie immer mit einem
Faktor $\exp 0 = 1$ multipliziert. Ein Potenzabfall von $G$ ohne
Oszillationen bleibt bestehen.

Die oben hergeleiteten Skalengesetze ver\"andern sich nicht, wenn
$S_0(k)$ am Ursprung singul\"ar ist. Sei z.B.\ $S_0(k) \! \sim \!
k^\sigma$ f\"ur $k \! \to \! 0$. Die Potenz $\sigma$ kann in das
Integral \"uber den Phasenraum (\ref{a(t)},\ref{selfc}) einbezogen
werden, und f\"uhrt zu einer Verschiebung der effektiven Dimension $d
\to d \! + \! \sigma$. Dies ver\"andert die {\em Vorfaktoren} vor den
Potenzgesetzen (\ref{km}),(\ref{magic}) und (\ref{steep}), nicht aber
die Potenzen $1/z$, $\alpha$, $\alpha'$ und $\beta$ selbst.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 12cm
    \epsfbox{g_spherical.ps}
    \caption{H\"ohenkorrelationsfunktion $G(\mathbf{x},t)$ von Modell
    (i) mit $\gamma \! = \! 1$ als Ergebnis einer Simulation und der
    sph\"arischen N\"aherung. Die Kurven sind f\"ur Zeiten $t = 1000,
    1100, \dots, 10000$ so reskaliert, da\ss{} $G(0,t)$ und die erste
    Nullstelle jeweils zu $1$ gesetzt wurden. Die Oszillationen der
    sph\"arischen N\"aherung sind deutlicher ausgepr\"agt als bei der
    vollen Dynamik. Im Eisatz $\xi(t)$, die erste Nullstelle von $G$
    als Funktion der Zeit. Die durchgezogenen Linien sind beste
    Anpassungen der Form $(t \! - \! t_0)^{1/z}$ bzw.\ $((t \! - \!
    t_0)/\log(t \! - \! t_0))^{1/z}$, mit variabel angepa\ss{}tem
    Nullpunkt der Zeitskala $t_0$.}
    \label{g_sim_mean}
  \end{centering}
\end{figure}

In Bild \ref{g_sim_mean} vergleichen wir die aus numerischen
Integrationen zu zuf\"alligen Anfangsbedingungen erhaltene
Korrelationsfunktion $G(\mathbf{x},t)$ mit der L\"osung in
sph\"arischer N\"aherung. Berechnet wurden beide f\"ur Modell (i) mit
$\gamma \! = \! 1$, zu Zeiten $t = 1000, 1100, \dots, 10000$, und in
reskalierter Form gemeinsam dargestellt. Die erste Nullstelle und die
H\"ohe am Ursprung wurden jeweils fixiert, $G(\mathbf{x},t) = w(t)^2
g(|\mathbf{x}|/\xi(t))$ zu $g(0) \! = \! 1$ und $g(1) \! = \! 0$. Die
``Skalenform''  der N\"aherungsl\"osung oszilliert f\"ur gro\ss{}e
Entfernungen st\"arker und f\"allt etwas weniger schnell ab. Dennoch
stimmen beide Kurven bemerkenswert gut \"uberein, was die zun\"achst
unkontrollierte N\"aherung von (\ref{corrdyn}) zu (\ref{cdmf})
nochmals rechtfertigt.

Eine Beobachtung bietet einen Anla\ss{}, das Skalenverhalten des nicht
gen\"aherten $G$ genauer zu untersuchen. Die reskalierten
N\"aherungsl\"osungen liegen nahezu aufeinander, die logarithmischen
Korrekturen zum Skalenverhalten scheinen sehr schwach. Es stellt sich
die Frage, ob die ``exakte'' L\"osung des Modells skaliert, ob die
Streuung der Datenpunkte statistische oder systematische Abweichung
ist. Ein sensibler Test w\"are, aus der numerischen L\"osung den
Strukturfaktor und den skalenabh\"angigen Exponenten $\varphi(k/k_m)$
zu bestimmen, was f\"ur die Phasenordnung des $O(n)$--Modells
vorgenommen wird \cite{Claudio}.

\subsection{Weitere N\"aherungsverfahren}
Die sph\"arische Approximation ist nur eines von mehreren m\"oglichen
N\"aherungs\-verfahren f\"ur die Dynamik der Zweipunktkorrelationen
\cite{OJK,KYB,Mazenko,Bray}. Erarbeitet wurden sie f\"ur die
Phasenentmischung mit erhaltener Magnetisierung (Modell-B--Dynamik),
weshalb sie in den Oberfl\"achenmodellen am leichtesten auf die
Dynamik des Gradientenfeldes, in Gleichung (\ref{dynu}), angewandt
werden. Allerdings eignen sie sich nur f\"ur den Fall {\em endlicher}
nicht divergierender Steigungen an den Flanken der wachsenden
H\"ugel, Model (ii) aus dem letzten Abschnitt nach Gleichung
(\ref{siegertreskal}).

Die gleichzeitige Zweipunkt-Korrelationsfunktion des Gradientenfelds
\begin{displaymath}
C(\mathbf{x},t) := \langle \mathbf{u}(\mathbf{x},t) \cdot
\mathbf{u}(0,t) \rangle 
\end{displaymath}
gen\"ugt analog zu {\ref{corrdyn}) wegen (\ref{dynu}) der Gleichung
\begin{eqnarray}
\label{corrdynu}
\frac{1}{2} \; \partial_t \langle \mathbf{u}(\mathbf{x},t) \cdot 
\mathbf{u}(0,t) \rangle & = &  - \partial_i \partial_j \bigl[ \langle
u_i (0,t) \Delta u_j (\mathbf{x},t) \rangle \nonumber \\ 
& & + \langle u_i (0,t) \; f(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)^2)
u_j (\mathbf{x},t) \rangle \bigr],
\end{eqnarray}
wobei sich die Ableitungen $\partial_i$ auf $\mathbf{x}$ beziehen, und
\"uber gleichlautende Indizes summiert wird. Der Unterschied in
der Abfolge der Differentialoperatoren zwischen (\ref{dynwiemodelb})
und der entsprechenden Gleichung f\"ur Phasenordnung im $O(n)$--Modell,
$\nabla \! \nabla \! \cdot$ statt $\Delta$ spielt in der Tat
f\"ur Gleichung (\ref{corrdynu}) keine Rolle. F\"ur den ersten Term
auf der rechten Seite ist das leicht einsichtig, denn $\partial_i u_j
= \partial_{ij}^2 h = \partial_j u_i$. Zum zweiten Term \"uberlegt
man sich, da\ss{} f\"ur einen beliebigen Nichtgleichgewichtsstrom 
$\mathbf{J}(\mathbf{u})$ wegen der Translationsinvarianz der
Korrelationsfunktion
\begin{displaymath}
\frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_j}
\big\langle u_i (\mathbf{y},t) J_j(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)) \big\rangle
= \frac{\partial}{\partial y_i} \frac{\partial}{\partial y_j}
\big\langle u_i (\mathbf{y},t) J_j(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)) \big\rangle,
\end{displaymath}
gilt und damit dasselbe Argument wie f\"ur den ersten Term. 

Die zeitliche Entwicklung der Korrelationsfunktion (\ref{corrdynu})
gleicht also der entsprechenden Gleichung f\"ur magnetische Systeme
\begin{equation}
\label{corrdynm}
\frac{1}{2} \; \partial_t C(\mathbf{x},t) = - \Delta^2 C(\mathbf{x},t)
- \Delta \big\langle \mathbf{u}(0,t) \cdot
f(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)^2) \mathbf{u}(\mathbf{x},t) \big\rangle.
\end{equation}
Nat\"urlich besteht zwischen beiden Modellklassen -- denen mit einem
Magnetisierungsfeld und denen mit Gradientenfeld eines H\"ohenprofils
--  ein Unterschied im Term h\"oherer Ordnung, der jedoch verloren
geht, wenn der zweite Term durch einen Ausdruck mit $C(\mathbf{x},t)$
angen\"ahert und so Gleichung (\ref{corrdynm}) geschlossen wird. Die
Ergebnisse in einer entsprechenden N\"aherung sind daher in beiden
Modellklassen {\em identisch}. 

Eine Verbesserung gegen\"uber der sph\"arischen N\"aherung lie\ss{}e
sich insofern erzielen, als die L\"osung z.B.\ in Mazenkos N\"aherung
\cite{Mazenko} konventionelles Skalenverhalten aufweist, was
numerischen Auswertungen wohl besser entspricht als das {\em
Multiscaling\/}-Szenario (s.o.). M\"oglicherweise liegt auch die
N\"aherungsform von $C(\mathbf{x},t)$ n\"aher an den Daten der
numerischen Integration als in Bild \ref{g_sim_mean}. Allerdings
bedeutet eine solche Verfeinerung der Approximation keine fundamentale
Verbesserung in der Berechnung des Skalenverhaltens. Insbesondere
tragen diese N\"aherungsformen nicht dazu bei, den im Abschnitt
\ref{phasordsect} angesprochenen Unterschied bei diskreten Minima in
der Potentialfunktion des Nichtgleichgewichtsstroms $\Psi(\mathbf{u})$
-- ein Wachstumsgesetz  $\xi(t) \sim t^{1/4}$ bei wirbelfreien
Feldern des Ordnungsparameters gegen\"uber $\xi(t) \sim t^{1/3}$ im
anderen Fall -- theoretisch zu kl\"aren.

Die Renormierungsgruppenanalyse von Bray \cite{Bray}, die
Aufschlu\ss{} \"uber Skalenexponenten geben k\"onnte, ist auf das
Wachstum der Oberfl\"achen\-struk\-turen nicht \"ubertragbar. Ihr
Ausgangspunkt ist die dynamische Gleichung (\ref{dynwiemodelb}) im
Fourierraum
\begin{equation}
\label{brayrelax}
\partial_t u_i (\mathbf{k},t) = k_i k_j \; \frac{\delta}{\delta u_j}
\mathcal{F}_{\Psi} \{ \mathbf{u} \}.
\end{equation}
Anstelle von $\mathbf{k}^2 \delta_{ij}$ beim $O(n)$--Modell steht in
Gleichung (\ref{brayrelax}) $k_i k_j$. Als Matrix ist aber $k_i k_j$
selbst f\"ur $\mathbf{k} \! \neq \! 0$ nicht invertierbar. $\delta
\mathcal{F}_{\Psi} \! / \delta \mathbf{u}$ ist daher nicht nur im
infraroten Limes bei $\mathbf{k} \! = \! 0$ singul\"ar, weshalb das
Renormierungsschema von \cite{Bray} nicht angewandt werden kann.

Gleich dem Renormierungsansatz liefert eine elegante Absch\"atzung der
Energiedissipation w\"ahrend des Phasenordnungsprozesses die
Skalenexponenten \cite{RutenbergBray}. In Verbindung mit der
Skalenhypothese ergeben sich auch f\"ur die hier behandelten
Probleme sinnvolle Werte der Exponenten \cite{Golubovic}. Leider
l\"a\ss{}t sich aus einem Ansatz der Dissipation der freien
Energiedichte keine scharfe Ungleichung wie aus (\ref{breitemitt})
f\"ur die Breite $w(t)$ gewinnen. Die Terme im entsprechenden Ausdruck
tragen kein eindeutiges Vorzeichen.

Wie auch auf dem Gebiet der Kinetik der Phasenordungsprozesse stehen
auch bei der Dynamik der Vergr\"oberung von Oberfl\"achenstrukturen
noch viele Fragen offen. Einer ersten N\"aherung, wie sie in diesem
Abschnitt pr\"asentiert wurde, sollten noch viele Verbesserungen
folgen. Wenden wir uns nun der Situation zu, die der Phasenordnung mit
mittlerer Magnetisierung $\mathbf{m} \! \neq \! 0$, aber {\em unter} dem
Gleichgewichtswert im Volumen, $|\mathbf{m}| \! < \! m_0$, nach einem
sogenannten {\em ``off critical quench''} entspricht, n\"amlich einer
vizinalen Oberfl\"ache mit einer Neigung unterhalb der stabilen {\em
magic slope}.

\section{Instabilit\"at auf vizinalen Oberfl\"achen}
\label{vizinalsect}
Das zentrale Ergebnis der linearen Stabilit\"atsanalyse im vorletzten
Abschnitt war die Instabilit\"at geneigter Oberfl\"achen mit
aufw\"artsgerichtetem Nichtgleichgewichtsstrom gegen laterale
Fluktuationen  und bei hinreichend gro\ss{}er Neigung
($|\mathbf{m}| \! > \! a/l_D$) ihre lineare Stabililt\"at gegen
Fluktuationen in den Stufenabst\"anden. Die durch die Neigung
aufgepr\"agte Anisotropie spielt also eine wesentliche Rolle in der
Oberfl\"achendynamik. Andererseits ergeben sich bei Wachstum auf einer
singul\"aren Oberfl\"ache generisch Konfigurationen mit Buckeln, deren
Flanken sich aufsteilen und die urspr\"ungliche Neigung $\mathbf{m}$
deutlich \"ubertreffen k\"onnen. Die Anfangsneigung scheint somit
irrelevant, und die gleiche Endkonfiguration m\"u\ss{}te auch von
einer vizinalen Oberfl\"ache ausgehend erreicht werden. In $1 \! + \! 1$
Dimensionen ist ein solches Szenario untersucht worden, und man findet
die Metastabilit\"at des Stufenflu\ss{}wachstums\cite{KrugSchimschak}. 
In $2 \! + \! 1$ Dimensionen erweist sich die laterale Instabilit\"at
als Vorbereiterin zur Bildung von (im wesentlichen symmetrischen)
H\"ugel. Die zun\"achst entstehenden entlang der Neigung
verlaufenden Rippen sind ihrerseits instabil, brechen auf und
erm\"oglichen so die Bildung der Buckel, die das Endstadium
bestimmen. Dies gilt sowohl f\"ur Kontinuums- als auch f\"ur
Gittermodelle, und die Beobachtung des \"Ubergangs zwischen beiden
Stadien  erlaubt die Anpassung der Parameter in der
Kontinuumsgleichung \cite{RostKrugSmilauer}. 

\begin{figure}[htbp]
\unitlength1cm
\begin{center}
   \begin{picture}(10,10)
      \special{psfile=80ml3d.ps
        vscale=60 hscale=60 angle=90 voffset=-60 hoffset=375}
   \end{picture}
\end{center}
\caption{Aufsicht auf eine Konfiguration des in diesem Kapitel
vorgestellten SOS--Modells (Teilansicht eines Systems der Gr\"o\ss{}e
$300 \! \times \! 300$). Auf der urspr\"unglich gleichm\"a\ss{}ig
geneigten Fl\"ache haben sich Rippen gebildet.}
\label{pavelpaper1}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\unitlength1cm
\begin{center}
   \begin{picture}(10,15.2)
      \special{psfile=test.ps
        vscale=80 hscale=80 angle=0 voffset=-180 hoffset=-100}
   \end{picture}
\end{center}
\caption{Vergleich des Fr\"uh- und Sp\"atstadiums des Wachstums in
Grauskalendarstellung (siehe Text) im Kontinuums- und
Gittermodell. Isotrope Buckel (H\"ugel) treten an die Stelle der
anfangs gebildeten Rippen.}
\label{pavelpaper2}
\end{figure}

Fr\"uh- und Sp\"atstadium des Wachstums sind in den Bildern \ref{pavelpaper1}
und \ref{pavelpaper2} dargestellt, die Aufsicht (Bild
\ref{pavelpaper1}) zeigt eine Rippenkonfiguration im Gittermodell. Im
n\"achsten Bild \ref{pavelpaper2} finden sich in
Grauskalendarstellung zwischen Gitter- und Kontinuumsmodell
vergleichend die Rippen und die daraus im Endstadium entstandenen
Buckel. Das Rastertunnelmikroskop nachahmend ist wie in den ersten
Kapiteln die Darstellung so angepa\ss{}t, da\ss{} schwarze Farbe die
tiefsten Stellen, wei\ss{}e die h\"ochsten Stellen der Oberfl\"ache
anzeigt. Um durch diese Kontrastierung wirklich die Struktur der
Oberfl\"ache aufzul\"osen, wurde die Anfangskonfiguration abgezogen:
Bei Kontinuumsmodell wurde $\mathbf{m \! \cdot \! x}$, beim
Gittermodell die anf\"angliche ``Treppenkonfiguration'' abgezogen, was
noch an den senkrecht durchs Bild verlaufenden Kontrasten zu erkennen
ist. An dieser Stelle verweisen wir nochmals auf Bild
\ref{carpetcloseup}: Es zeigt einen Ausschnitt aus einer
Platin--(111)--oberfl\"ache mit einem vizinalen Fl\"achenst\"uck,
einer sogenannten Makrostufe ({\em macrostep}), nach Deposition von
weiteren f\"unf Monolagen Platin. Auf dem singul\"aren
Oberfl\"achenst\"uck sind Pyramiden gewachsen, auf dem geneigten Teil
haben sich in Hangrichtung orientierte Rippen gebildet, die allerdings
aufbrechen und Pyramiden weichen.

\subsection{Skalenabsch\"atzung}
Wie f\"ur anfangs singul\"are, so lassen sich auch f\"ur das Wachstum
auf geneigten Oberfl\"achen Skalenrelationen herleiten. Wegen der
neigungsbedingten Anisotropie in der Substratebene m\"ussen jedoch bei
einem Skalenansatz wie (\ref{w(t)}) ff.\ die lateralen
L\"angenskalen $\xi_\|$ und $\xi_\perp$ und die zugeh\"origen
Neigungen $s_\|$ und $s_\perp$ unterschieden werden. Die Irrelevanz
der anf\"anglichen Neigung $\mathbf{m}$ f\"ur die {\em
  Mound}konfigurationen zu sp\"aten Zeiten wird sich unter anderem
darin zeigen, da\ss{} sich $\xi_\|$ und $\xi_\perp$ einander
ann\"ahern. Ein erster Indikator daf\"ur sind die Skalenrelationen
f\"ur die Skalen entlang ($\|$) und senkrecht zu ($\perp$) $\mathbf{m}$,
die jeweils beide den Beziehungen f\"ur Modell (i) (\ref{scalineqi})
und Modell (ii) (\ref{scalineqii}) entsprechen.

Um wie in (\ref{breitemitt}) partiell integrieren zu k\"onnen,
ben\"otigt man ein H\"ohenfeld mit periodischen
Randbedingungen. Deshalb betrachtet man in einem gekippten
Koordinatensystem $\tilde h(\mathbf{x},t) := h(\mathbf{x},t) \! - \!
\mathbf{m \! \cdot \! x}$. Gleichung (\ref{freskal}) schreibt sich in
diesem Feld 
\begin{equation}
\label{freskaltilde}
\partial_t \tilde h = - \Delta^2 \tilde h - \nabla \cdot \left[ f
  \left( ( \nabla \tilde h \! + \! \mathbf{m} )^2 \right) \;
  \left( \nabla \tilde h \! + \! \mathbf{m} \right) \right],
\end{equation}
Die typische Aufsteilung in L\"angsrichtung, $s_\|^2 := \langle
(\partial_\| \tilde h)^2 \rangle$, w\"achst an wie
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \partial_t s_\|^2 & = & - \; \big\langle ( \partial_\|
\Delta h)^2 \big\rangle \; + \; \big\langle f(\nabla h^2) (
\partial_\| \nabla h )^2 \big\rangle \nonumber \\
& & + \; \; 2 \; \Big\langle f'(\nabla h^2) \bigl( \nabla h \cdot
\partial_\| \nabla h \bigr)^2 \Big\rangle \\
& =: & \; \; - \; I_1^\| \; + \; I_2^\| \; - \; I_3^\| \nonumber.
\end{eqnarray}
Offensichtlich ist $I_1^\| \! > \! 0$. Ebenso $I_3^\| \! > \! 0$, weil
f\"ur die betrachteten Modelle (i) und (ii) $f'(s^2) \! = \! df/d(s^2)
\! < \! 0$. $I_2^\|$ ist im Modell ohne Abw\"artsstrom (i) in jedem
Fall positiv, mu\ss{} aber auch in Modell (ii) postiv sein, damit
$s_\|^2$ zunimmt. , (Nat\"urlich gilt dies nicht f\"ur eine stabile
Orientierung $|\mathbf{m}| \! \ge \! 1$. Analog zu (\ref{0breitei2}) und
(\ref{i1i2}) erh\"alt man hier die Ungleichungen
\begin{equation}
0 \le \partial_t s_\|^2 \le I_2^\|
\end{equation}
und
\begin{equation}
I_1^\| \le I_2^\| \; \; \; \; \; \mbox{sowie} \; \; \; \; \; I_3^\|
\le I_2^\|. 
\end{equation}
Dr\"uckt man nun $I_i^\|$ durch die L\"angenskalen $\xi_\|$, $s_\|$
bzw.\ $w$ aus, ergeben sich dieselben Skalenrelationen wie
(\ref{scalineqi}) und (\ref{scalineqii}). F\"ur $s_\perp^2 \! := \!
\big\langle (\partial_\perp \tilde h)^2 \big\rangle$ gilt dieselbe
Rechnung und damit in beiden Richtungen ($\|$ wie 
$\perp$) dieselben Skalenrelationen.

\subsection{Numerische Ergebnisse} 
Aus der Zweipunkt-Kor\-relations\-funk\-tion von $\tilde h$ 
\begin{equation}
G(\mathbf{x\!-\!y},t) := \big\langle \left( h(\mathbf{x},t) \! - \!
  \mathbf{m \! \cdot \! x} \right) \left( h(\mathbf{y},t) \! - \!
  \mathbf{m \! \cdot \! y} \right) \big\rangle
\end{equation}
lassen sich in Simulationen alle oben bezeichneten L\"angenskalen
gewinnen. Wie auf 
der isotropen Oberfl\"ache ist auch hier $w(t)^2 \! = \!
G(0,t)$. Weiter untersucht man $G$ entlang den bez\"uglich
$\mathbf{m}$ longitudinalen und orthogonalen Richtungen. Diese
Einschr\"ankungen werden bezeichnet mit $G_\|(x,t) :=
G((x/|\mathbf{m}|) \mathbf{m},t)$ und ihr Gegenst\"uck mit
$G_\perp$. Die lateralen L\"angen\-skalen $\xi_\|$ ($\xi_\perp$)
erh\"alt man nun aus der Breite von $G_\|$ (bzw.\ $G_\perp$). Besser
als die erste Nullstelle von $G_{\|(\perp)}$ eignet 
sich f\"ur unsere Zwecke die Breite, bei der die Korrelationsfunktion
auf die H\"alfte ihres Maximalwerts $G_{\|(\perp)} (0,t)$ abgefallen
ist. Analog zu (\ref{s(t)}) erh\"alt man aus der Korrelationsfunktion
die typischen Steigungen parallel und senkrecht zu $\mathbf{m}$, $s_\|
\! := w/\xi_\|$ und ebenso f\"ur $s_\perp$. Wir d\"urfen annehmen,
da\ss{} sich diese Definitionen zu sp\"aten Zeiten nur durch einen
unwesentlichen Faktor von den im letzten Abschnitt gebrauchten
$\langle (\partial_{\|(\perp)} \tilde h)^2 \rangle$ unterscheiden. 

\subsubsection{Das Solid-on-Solid--Modell}
Es ist sinnvoll, an dieser Stelle detaillierter auf die mikroskopische
Modellierung im SOS--Modell einzugehen, wie sie zum Vergleich mit der
Kontinuumsbeschreibung vorgenommen wurde. Die Simulationen wurden
ausgef\"uhrt auf Substraten der Gr\"o\ss{}e 150$\times$150 und
300$\times$300 mit periodischen Randbedingungen. In Richtung der
Oberfl\"achenneigung wird dabei ein ``Sprung'' von 25 bzw.\ 50
Gitterebenen ber\"ucksichtigt, weshalb man auch von ``helikalen''
Randbedingungen spricht. Die mittlere Neigung betr\"agt damit
$|\mathbf{m}| \! = \!  1/6$. Sie liegt bei den hier pr\"asentierten
Simulationen deutlich  \"uber $a/l_D$, was aus der Inselbildung auf
einer singul\"aren Oberfl\"ache zu $1/14.3$ bestimmt wurde (siehe
unten). Anfangs w\"achst also die Oberfl\"ache im Stufenflu\ss{}modus.

Die Dynamik besteht aus zwei elementaren Prozessen, dem Auftreffen
eines Teilchens auf der Oberfl\"ache, $h_\mathbf{x} \to h_\mathbf{x}
\! + \! a$, und dem H\"upfproze\ss{} entlang der Oberfl\"ache,
$h_\mathbf{x} \to h_\mathbf{x} \! - \! a$ und $h_\mathbf{x \! + \! e}
\to h_\mathbf{x \! + \! e} \! + \! a$, wobei $\mathbf{x \! + \! e}$ einen
Nachbarplatz von $\mathbf{x}$ in der Substratebene des Gitters
bezeichnet. Teilchen treffen auf mit Rate $F$, die H\"upfrate h\"angt
ab von der Temperatur und der Energiebarriere $E$ zwischen den
benachbarten Pl\"atzen $\mathbf{x}$ und $\mathbf{x \! + \! e}$. Ein
oft gew\"ahlter Ansatz \cite{SmilauerVvedensky} ist
$k(E,T) \! = \! k_{0}\exp(-E/k_{B}T)$. Der Vorfaktor $k_0$ ist die Rate,
mit der die Adatome von den Phononen im Kristall zu Spr\"ungen
angeregt werden. Sie kann sinnvoll abgesch\"atzt werden durch
$k_0 \! = \! 2k_{B}T/h$ \cite{BurtonCabreraFrank,SmilauerVvedensky}.
Die Sprungbarriere zwischen benachbarten Pl\"atzen, $E = E_S + nE_N +
(n_i \! - \! n_f)\theta(n_i \! - \! n_f)E_B$, h\"angt \"uber die
Parameter $E_S$, $E_N$ und $E_B$ von $n$, der Anzahl der bindenden
n\"achsten Nachbaratome in derselben Gitterebene, sowie der Anzahl der
Nachbaratome in der n\"achsttieferen und n\"achsth\"oheren Ebene vor
($i$) und nach ($f$) einem Sprung ab. Der Term $n E_N$ beschreibt also
Arrhenius--artige Sprungraten, der Term mit $E_B$ modelliert die 
erschwerte Ann\"aherung an eine Stufenkante von oben. Eine
detailliertere Beschreibung der Dynamik des SOS--Modells f\"ur MBE
findet sich in \cite{SmilauerVvedensky}, in der hier verwendeten Form
in \cite{RostKrugSmilauer}.

Die in die Energiebarriere eingehenden Parameter wurden
experimentellen Beobachtungen angepa\ss{}t. Quantitativ
ausgewertet wurde ein Parametersatz, der das Wachstum von Platin bei
$T \! = \! 400$ K mit $F \! = \! 1/40$ Monolagen je Sekunde 
beschreibt: $E_S \! = \! 0.75$ eV, $E_N \! = \! 0.18$ 
eV und $E_B \! = \! 0.15$ eV. Dies entspricht relativ starken
Stufenbarrieren, au\ss{}er von der obersten Insel eines Buckels sind
Abw\"artsspr\"unge von Adatomen nahezu vollst\"andig unterdr\"uckt.

\subsubsection{L\"angen- und Zeitskalen in den Simulationen}
Die sich aus den Simulationen ergebenden L\"angenskalen sind hier in
einer \"Ubersicht dargestellt. Die beiden Abbildungen in \ref{xs}
zeigen die zeitliche Entwicklung von $\xi_\|$ und $\xi_\perp$, sowie
in der eingef\"ugten Graphik die typischen Steigungen $s_\|$ und
$s_\perp$. Erg\"anzend findet man in \ref{wlogder} die zunehmenden Breiten
der Oberfl\"ache und deren logarithmische Zunahme mit der Zeit $d \log
w(t)/ d \log t$.

\begin{figure}[htb]
  \begin{minipage}[b]{.46\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \begin{turn}{270}
       \epsfxsize 5cm
       \epsfbox{xi_m.ps}
       \end{turn}
    \end{centering}
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[b]{.46\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \epsfxsize 6cm
       \epsfbox{xi_m_sos.ps}
    \end{centering}
  \end{minipage}
    \caption{Die lateralen L\"angenskalen $\xi_\|$ und $\xi_\perp$ als
    Funktion der Zeit, links f\"ur die Kontinuumsgleichung (\protect
    \ref{freskal}) mit Nichtgleichgewichtsstrom nach Modell (i) und
    rechts f\"ur das im Text beschriebene SOS--Modell (Zeitskala in
    Monolagen). Zu sp\"aten Zeiten verschwindet in beiden Modellen der
    Unterschied zwischen $\|$-- und $\perp$--Richtung, $\xi_\| \sim
    \xi_\perp \sim t^{1/4}$. Eingef\"ugt die Entwicklung typischer
    Steigungen $s_{\|(\perp)}$ an den Oberfl\"achenstrukturen.}
  \label{xs}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
  \begin{minipage}[b]{.46\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \begin{turn}{270}
       \epsfxsize 5cm
       \epsfbox{w_logder.ps}
       \end{turn}
    \end{centering}
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[b]{.46\linewidth}
    \begin{centering}
       \hspace*{0.0cm}
       \epsfxsize 6cm
       \epsfbox{w_logder_sos.ps}
    \end{centering}
  \end{minipage}
    \caption{Die Breite der Oberfl\"ache (H\"ohe der H\"ugel bzw.\
    Rippen) als Funktion der Zeit (bzw.\ der aufgedampften
    Schichtdicke) und ihre logarithmische Ableitung, f\"ur beide
    Modellierungen wie in der vorhergehenden Abbildung.}
  \label{wlogder}
\end{figure}

In beiden Modelltypen ist zun\"achst $\xi_\|$ deutlich gr\"o\ss{}er
als $\xi_\perp$. Anfangs dominieren die entlang $\mathbf{m}$
orientierten Rippen. Dieser Unterschied ist beim Kontinuumsmodell
wesentlich ausgepr\"agter als beim SOS--Modell. In der linearen
N\"aherung (\ref{linstab}) ist $\nu_\| \! > \! 0$, im Anfangsstadium
werden daher Fluktuationen {\em entlang} $\mathbf{m}$ 
ged\"ampft. Im Gegensatz dazu fluktuieren die Rippen beim SOS--Modell
deutlich, siehe Bild \ref{pavelpaper2}, und begrenzen $\xi_\|$ durch
ihre Windungsl\"ange.

Im Endstadium der Dynamik n\"ahern sich in beiden Modellklassen
orthogonale und longitudinale L\"angenskalen einander an. Die
gemeinsame L\"angeskala $\xi_\| \! = \! \xi_\perp \! =: \! \xi \! \sim
\! t^{1/z}$ w\"achst mit einer Potenz, die nahe am theoretischen Wert
$z \! = \! 4$ liegt. Unterschiedlich verh\"alt sich bei beiden
Modellen die Breite $w(t)$. Das Kontinuumsmodell (Modell (i) mit
$\gamma \! = \! 1)$ n\"ahert sich dem theoretischen Wert $\beta \! = \!
(3 \! + \! \gamma)/(4\gamma \! + \! 4) \! = \! 1/2$, w\"ahrend die
Breite der SOS--Oberfl\"ache mit $\beta \! \simeq \! 0.35$ zunimmt.
Nach den \"Uberlegungen des vorhergehenden und vor allem des ersten
Abschnitts dieses Kapitels sehen wir, da\ss{} der Aufw\"artsstrom beim
SOS--Modell f\"ur starke Neigungen {\em st\"arker} als
$1/|\mathbf{m}|$ abnimmt. Eine stabile Neigung oder {\em magic slope}
wird bei den Simulationen nicht erreicht. Die Neigungen $s_\| \! \simeq \!
s_\perp$ nehmen mit einer Potenz $\alpha \! \simeq \! 0.14$ zu. Zwei
einfache mikroskopische Erkl\"arungen f\"ur eine Abw\"artskomponente
des Nichtgleichgewichtsstroms sind denkbar: Werden Adatome an den
Stufenkanten deponiert, springen sie bevorzugt nach unten. Zudem
k\"onnen Stufen in (1,1)--Richtung mit der oben beschriebenen
Sprungbarriere $E$ entlang ihrer ``Kerben'' leichter \"uberwunden
werden als die ``glatten'' (1,0)--Stufen.

\subsubsection{Die \"Ubergangsphase}
Auch in der \"Ubergangsphase zwischen anisotropem und isotropem
Wachstum lassen sich beide Modelle vergleichen. Insbesondere kann
man hier die Parameter im Kontinuumsmodell zur Anpassung an das
SOS--Modell eichen. Die Frage ist, wievielen dimensionslosen
Zeit- und L\"angeneinheiten im Kontinuumsmodell die ``nat\"urlichen''
Einheiten des Gittermodells, die Gitterkonstante und die Wachstumszeit
einer Monolage, entsprechen. Dies kann z.B.\ \"uber die Zeitskala 
$\tau$ erfolgen: Genau dann, wenn die Rippen aufbrechen, hat $\xi_\|$ ein
Minimum. Diese Zeitpunkte stimmen \"uberein, wenn das Wachstum einer
Monolage in der dimensionslosen Kontinuumsgleichung $120$
Zeiteinheiten entspricht.

Aus der nat\"urlichen Wahl der  Zeitskala des Gittermodells erfolgt $F
\! = \! 1$, die Diffusionsl\"ange $l_D$ dagegen kann man aus der
Inselbildung auf einer gro\ss{}en Hochsymmetriefl\"ache ablesen. Bei
obiger Parameterwahl ist $l_D \! \simeq \! 14.3$ Gitterpl\"atze. Eine
Gitterkonstante im SOS--Modell wird daher durch $l \! = \! l_D
\sqrt{\tau} \! \simeq \! 1.31$ dimensionslose L\"angeneinheiten
repr\"asentiert.

Vergleicht man nun mit dieser Reskalierung die Verl\"aufe von
$\xi_\|(t)$ und $\xi_\perp(t)$ in beiden Teilen von \ref{xs}, so
fallen merhrere Unterschiede auf. Wie bereits erw\"ahnt ist zu
fr\"uhen Zeiten $\xi_\|$ im Kontinuumsmodell deutlich gr\"o\ss{}er als
im SOS--Modell. Die Breite der Rippen, $\xi_\perp$ zu fr\"uhen Zeiten,
stimmt in beiden Modellen dagegen gut \"uberein.

Allerdings unterscheiden sich beide Modelle durch die Breite der {\em
Mounds} im Endstadium: $\xi_{\|(\perp)}$ ist im Kontinuumsmodell etwa
doppelt so gro\ss{} wie im Gittermodell. Diese Unterschied entsteht
bereits in der \"Ubergangsphase. Im linken Teilbild von \ref{xs} sieht
man, da\ss{} 
$\xi_\perp$ gerade dann besonders stark zunimmt, wenn $\xi_\|$
abnimmt; wenn die Rippen aufbrechen, entstehen Buckel, die ihre Breite
deutlich \"uberragen. Nicht so beim SOS--Modell (rechtes
Teilbild): $\xi_\perp$ nimmt hier gleichm\"a\ss{}ig zu, ohne den
ausgepr\"agten Sprung beim \"Ubergang.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 7cm
    \epsfbox{pavelpaper3.ps}
    \caption{Konfigurationen im \"Ubergang zwischen Rippen- und
    H\"ugelmuster. H\"ugel haben sich vor allem an den Defekten im
    Ripenmuster gebildet. Ein Unterschied zwischen Gittermodell
    (oben) und Kontinuumsgleichung (unten) zeigt sich am
    Gr\"o\ss{}enverh\"altnis der Buckel zur Rippenbreite (siehe
    Text).}
    \label{pavelpaper3}
  \end{centering}
\end{figure}

Ein Vergleich zweier Konfigurationen in der \"Ubergangsphase macht
dies deutlich (Bild \ref{pavelpaper3}). Das Rippenmuster ist
vereinzelt aufgebrochen und Buckel haben sich gebildet. Diese Buckel
haben in beiden Modelltypen die Vorzugsrichtung $\mathbf{m}$ verloren.
Allerdings sind sie im Kontinuumsmodell deutlich breiter als die
zugrundeliegenden Rippen, w\"ahrend sie im SOS--Modell 
etwa deren Breite behalten. Eine Ursache daf\"ur: Das hier verwendete
Kontinuumsmodell hat einen {\em isotropen} Relaxationsterm $K \! = \!
\sigma \tilde \gamma$ in der N\"aherung nach Mullins
(\ref{mullins}). Auf einer vizinalen Oberfl\"ache ist aber der Tensor
der Biegesteifigkeit $\tilde {\boldsymbol \gamma}$ anisotrop,
insbesondere an den am st\"arksten geneigten Stellen, den Flanken der
Bales-Zangwill--Rippen. Eine Kr\"ummung der Oberfl\"ache in Richtung
der Neigung variiert die Abst\"ande der Stufen, eine Kr\"ummung
senkrecht dazu aber deren L\"ange \cite{Nozieres}, weshalb die
Oberfl\"ache in dieser Richtung deutlich steifer ist. Ein
Kontinuumsmodell mit neigungsabh\"angiger und anisotroper
Biegesteifigkeit und entsprechend tensoriell neigungsabh\"angigem $K$
m\"u\ss{}te also diese Ausbuchtungen der entstehenden Buckel
unterdr\"ucken. Eine Absch\"atzung der Anisotropie und ihrer
Auswirkung auf die Verbreiterung der Buckel findet sich im Anhang von
\cite{RostKrugSmilauer}.

\section{Instabiles Wachstum, eine Schlu\ss{}betrachtung}
Die Instabilit\"at von Epitaxie auf Hochsymmetriefl\"achen ist
experimentell und in Simulationen in den letzten Jahren eingehend
untersucht worden \cite{HL,ME}. Der Versuch diese Ph\"anomene
theoretisch in Kontinuumsbeschreibung zu fassen f\"uhrt zu Problemen,
wie sie auch in der Theorie der Phasenordnungskinetik bestehen. In $1
\! + \! 1$ Dimensionen sind die L\"osungsans\"atze f\"ur
Phasenentmischung direkt auf die Oberfl\"achendynamik \"ubertragbar
\cite{KrugPlischkeSiegert}, w\"ahrend in h\"oheren Dimensionen
fundamentale Unterschiede bestehen, die die Schwierigkeiten
zus\"atzlich vergr\"o\ss{}ern \cite{Siegert:Cambridge}. In jenem
Bereich erarbeitete N\"aherungsverfahren m\"ussen neu auf diese
Problemstellung angewandt werden. Ein erster Versuch ist im Abschnitt
\ref{phasordsect} dieses Kapitels dokumentiert. Aus dem Skalenansatz
(\ref{gskalenform}) wurde j\"ungst f\"ur (in unserer Bezeichnung)
Modell (i) mit $\gamma \! = \! 1$ ein Satz gew\"ohnlicher
Differentialgleichungen f\"ur $\xi(t)$ und $w(t)$ abgeleitet, dessen
L\"osung mit unseren Ergebnissen \"ubereinstimmt \cite{Golubovic}.

Hinreichend stark geneigte Oberfl\"achen k\"onnen wachsen, indem ihre
Stufen gleichm\"a\ss{}ig \"uber die vor ihnen liegenden Terrassen
streichen. Den gerichteten Materieflu\ss{} bewirken Stufenbarrieren,
die Abw\"artssp\"unge erschweren (siehe Kapitel \ref{mbekap}, auch
\cite{SchwoebelShipsey} und \cite{Villain}). In Abschnitt
\ref{vizinalsect} in diesem Kapitel wurde eine erste Beschreibung
aufeinanderfolgender Instabilit\"aten des Stufenflu\ss{}wachstums
pr\"asentiert \cite{RostKrugSmilauer}. Die M\"aander-Instabilit\"at
der Stufen \cite{BalesZangwill} f\"uhrt zu einer Rippenstruktur, die
ihrerseits den Weg zur Bildung dreidimensionaler Buckel bereitet. Im
Endstadium n\"ahert sich das Wachstum dem auf urspr\"unglich
singul\"aren Fl\"achen an.

Dieser \"Ubergang wurde in zwei fundamental verschiedenen
Modellen untersucht, die f\"ur entgegengesetzte Grenzf\"alle geeignet
sind. Oberfl\"achen mit sehr starken Stufenbarrieren haben kurze Zeit-
und L\"angenskalen der instabilen Wachstumsph\"anomene und werden
durch ein Gittermodell gut beschrieben. Der Limes schwacher
Stufenbarrieren f\"uhrt zu einer gro\ss{}en
Kapillarit\"atsl\"ange. Die Oberfl\"ache variiert kaum auf der Skala
der Gitterkonstanten, weshalb die Kontinuumsbeschreibung angemessen
ist (siehe Kapitel \ref{kontinuumsmodelle}).

Dennoch liefern beide Modellierungen vergleichbare Ergebnisse, bedingt
sogar quantitative \"Ubereinstimmung. Wir d\"urfen daher annehmen,
da\ss{} das beschriebene Ph\"anomen robust und auch experimentell
beobachtbar ist. Einen ersten Hinweis daf\"ur bietet Bild
\ref{carpetcloseup} \cite{Michely}

Die letzte Bemerkung zu den in diesem Kapitel behandelten
Kontinuumsgleichungen leitet zugleich \"uber in das folgende
Kapitel. Die Gleichungen sind invariant unter der Vertauschung $h \to
-h$. Die Spitzen der entstehenden {\em Mounds} haben die gleiche Form
wie die Gruben zwischen ihnen. In Simulationen von SOS--artigen
Modellen oder in Experimenten beobachtet man jedoch eher abgerundete
Gipfel und scharf eingeschnittene T\"aler. Solche Formen erh\"alt man
mit Gleichungen, die einen die $\pm h$--Symmetrie brechenden Term
enthalten, etwa im ph\"anomenologischen Ansatz von $\mathbf{J}_{NG}$
einen Beitrag $\sim \nabla (\nabla h)^2$. Im n\"achsten Kapitel wird
er mikroskopisch interpretiert. In einer Renormierungsrechnung wird er
durch das Zusammenspiel von treibender Kraft $F$ und vertikaler
Gitterstruktur des Kristalls erzeugt.

\chapter{Das Kristallgitter im Kontinuumsmodell}
\label{gitterimkontinuum}
Es erscheint zun\"achst widersinnig, von einer Gitterstruktur in
Kontinuumsmodellen zu sprechen. Dies ist richtig f\"ur die laterale
Gitterstruktur, \"uber die beim \"Ubergang von diskretem zu
Kontinuumsmodell gemittelt wird (siehe Kapitel
\ref{kontinuumsmodelle}). Die vertikale Gitterstruktur kann beim
Mittelungsvorgang erhalten bleiben und so bestimmte Ph\"anomene
beschreiben. Ein Beispiel ist die Kontinuumstheorie zum
Rauhigkeits\"ubergang, das Sinus-Gordon--Modell, das im n\"achsten
Abschnitt in den Zusammenhang mit MBE--Wachstumsmodellen gestellt
wird.

\section{Die erhaltene Sinus-Gordon--Gleichung}
Bei tiefen Temperaturen haben Kristallstufen eine gro\ss{}e freie
Energie $\beta$. Die Freie Energie eines mesoskopischen
Fl\"achenst\"ucks der Gr\"o\ss{}e $l_m$ geht ein in die
Oberfl\"achenspannung (\ref{spannung}) und das Funktional der Freien
Oberfl\"achenenergie $\mathcal{F} \{ h \}$
(\ref{freieenergie}). Ein in Richtung einer Hochsymmetriefl\"ache des
Kristalls orientiertes Fl\"achenst\"uck $S_m$ durchziehen weniger Stufen,
wenn es auf der H\"ohe einer Gitterebene $h = na$ liegt. Andernfalls
wechselt die Oberfl\"ache zwischen benachbarten Gitterebenen hin und
her, was die Stufendichte in $S_m$ und auch seinen Beitrag zu
$\mathcal{F} \{ h \}$ erh\"oht. Dieser Effekt wird ber\"ucksichtigt
durch einen Term
\begin{displaymath}
\int_V  d^dx \; \sqrt{1 + \nabla h(\mathbf{x},t)^2} \;
V_G(h(\mathbf{x},t)),
\end{displaymath}
wobei $V_G$ eine Potentialfunktion mit der Periodizit\"at des Gitters
ist, die bei ganzzahligen Werten $h/a \in {\mathbb Z}$ Minima
aufweist.

N\"ahert man wie in (\ref{varablnaehiso}) die Oberfl\"achenspannung
durch einen isotropen Term an, und ber\"ucksichtigt nur die niedrigste
Harmonische des Gitterpotentials, erh\"alt man das
Sinus-Gordon--Energiefunktional
\begin{equation}
\label{singordham}
\mathcal{F}_{SG} \{ h \} = \int_V  d^dx \; \left[ \; \frac{\tilde
    \gamma}{2} \; \nabla h^2 - \; V \; \cos \frac{2 \pi}{a} h \;
    \right].
\end{equation}
In $2 \! + \! 1$ Dimensionen besitzt dieses Modell einen
Phasen\"ubergang in der Kosterlitz-Thouless--Universalit\"atsklasse,
den Rauhigkeits\"ubergang \cite{NozieresGallet,ChuiWeeks}. Die
H\"ohendifferenzkoorelationsfunktion $G_2(\mathbf{x},t) = \langle (
h(\mathbf{x},t) \! - \! h(0,t))^2 \rangle $ nimmt im Limes $t \to
\infty$ oberhalb einer kritischen Temperatur $T_R$ mit dem Abstand $|
\mathbf{x} |$ logarithmisch zu, w\"ahrend sie f\"ur $T \! < \! T_R$ ab
einer temperaturabh\"angigen Korrelationsl\"ange beschr\"ankt bleibt.
Dasselbe universelle Verhalten findet sich bei einem exakt l\"osbaren
zweidimensionalen Gittermodell f\"ur Oberfl\"achen, dem BCSOS--Modell
\cite{VanBeijerenNolden}.

Vorgehend wie in Kapitel \ref{kontinuumsmodelle} beschrieben, erh\"alt
man eine Gleichung, die die Dynamik unter den Bedingungen von MBE
beschreibt, mit \"au\ss{}erem Flu\ss{} und Erhalt der aufgetroffenen
Masse, aber ohne Ber\"ucksichtigung der Stufenbarrieren,
\begin{equation}
  \label{sinegordondyn}
  \partial_t h(\mathbf{x},t) = - K \Delta^2 h(\mathbf{x},t) + \sigma V
  \Delta \sin \frac{2 \pi}{a} h(\mathbf{x},t) \; + F(\mathbf{x},t).
\end{equation}
Die Adatommobilit\"at $\sigma$ wurde isotrop angenommen, und $K \! =
\! \sigma \tilde \gamma$. Anders als im letzten Kapitel soll hier
nicht das Endstadium von Strukturbildungsprozessen untersucht werden,
weshalb in (\ref{sinegordondyn}) die r\"aumliche und zeitliche
Fluktuation des auftreffenden Massenflusses ber\"ucksichtigt wird:
\begin{equation}
  F(\mathbf{x},t) = F + \eta (\mathbf{x},t)
\end{equation}
Die Fluktuationen um den mittleren Flu\ss{} $F$ sind gau\ss{}isch mit
Mittelwert $\langle \eta \rangle \! = \! 0$ und Korrelator $\langle
\eta(\mathbf{k},t) \eta(\mathbf{k'},t) \rangle = 2 D \theta(\Lambda \!
- \! | \mathbf{k}|) \; \delta(t-t') \delta(\mathbf{k}+\mathbf{k'})$
angesetzt. Die auftreffenden Teilchen haben endliche Ausdehnung
$a$. Die Fluktuationen sind daher r\"aumlich \"uber die Ausdehnung
eines Gitterplatzes korreliert, was durch den {\em Cutoff} im
$\mathbf{k}$--Raum $\Lambda \! = \! 1/a$ ber\"ucksichtigt wird. Das
Auftreffen der Teilchen kann als Poissonproze\ss{} aufgefa\ss{}t
werden, seine Fluktuationen werden auch als ``Schrotrauschen'' oder
{\em shot noise} bezeichnet. Die Rauschst\"arke $D$ ist daher
proportional zu $F$, aus Dimensionsgr\"unden $D = a^3
F$. Selbstverst\"andlich fluktuiert auch die Diffusionsbewegung auf
der Oberfl\"ache. Dies kann in (\ref{sinegordondyn}) durch einen
zus\"atzlichen Term ber\"ucksichtigt werden. Im Korrelator dieses
{\em Diffusionsrauschens} steht statt dem $D$ des Schrotrauschens ein
$\mathbf{k}^2 D_{diff}$, weil es die Divergenz eines fluktuierenden
Oberfl\"achenstroms ist und die Masse auf dem Kristall erh\"alt. Aus
Dimensionsgr\"unden ist jedoch Diffusionsrauschen im Vergleich zu
Schrot\-rauschen irrelevant.

Es wird nun untersucht, inwiefern das Gitterpotential in vertikaler
Richtung relevant ist und das Wachstumsverhalten beeinflu\ss{}t. Die
Methode daf\"ur, eine st\"orungstheoretische
Renormierungsgruppenrechnung, wird im n\"achsten Abschnitt
vorgestellt. Zwei wichtige Ergebnisse gewinnt man aus dieser Analyse:
In einer mesoskopischen Gleichung, die sich ergibt, wenn Gleichung
(\ref{sinegordondyn}) \"uber gen\"ugend viele laterale
Gitterabst\"ande gemittelt wird, also in der Gleichgung f\"ur ein
``gegl\"attetes'' H\"ohenfeld, mu\ss{} ein Term der Form $\Delta
(\nabla h)^2$ stehen, der unter der Renormierung erzeugt wird. Im
Abschnitt \ref{erhaltenekpz} wird er zudem heuristisch motiviert.
Zweitens liefert diese Methode eine Vorhersage \"uber die L\"angen-
und Zeitskalen, die in das Abklingen des Lagenwachstums eingehen, wie
im Abschnitt \ref{wachstummitstufen}, insbesondere in
\ref{lagenwachstum} angedeutet ist. Heuristische Argumente und
Simulationen \cite{KallabisBrendelWolfKrug} zeigen dieselben
Ergebnisse wie die Interpretation der Renormierung in Abschnitt
\ref{daempfung}.
 
\section{Renormierung nach Nozi\`eres und Gallet}
\subsection{Die Methode}
Wegen der besonderen Struktur von Gleichung (\ref{sinegordondyn})
verwenden wir eine Methode, die sich f\"ur allgemeine Formen der
Nichtlinearit\"at, nicht nur einfache Potenzen im zu untersuchenden
Feld, eignet. Sie wurde von Nozi\`eres und Gallet f\"ur die dynamische
Renormierung der nichterhaltenen Sinus-Gordon--Gleichung in $2\! + \!
1$ Dimensionen und die Theorie des Rauhigkeits\"ubergangs eingef\"uhrt
\cite{NozieresGallet,Nozieres}. Dort findet sich auch eine
detaillierte Beschreibung, die hier kurz widergegeben werden soll

Man betrachte eine Langenvingleichung
\begin{equation}
  \label{ngeq}
  \partial_t h = \mathcal{L} h + \mathcal{N}(h) + \eta
\end{equation}
mit einem linearen Anteil $\mathcal{L} h$, einem nichtlinearen Term
$\mathcal{N}(h)$ und gau\ss{}ischem weissen Rauschen wie in
(\ref{sinegordondyn}) mit {\em Cutoff} $\Lambda$ im Impulsraum. Die
Renormierung von (\ref{sinegordondyn}) l\"auft in folgenden Schritten
ab:
\begin{itemize}
\item \"Uber die Komponenten kurzer Wellenl\"ange des Rauschens
  $\delta \eta$ wird gemittelt. Im {\bf k}--Raum ist $\delta \eta$ nur
  f\"ur Moden {\bf k} mit $(1 - dl)\Lambda < |{\bf k}| \leq \Lambda$
  von Null verschieden. Man definiert das gemittelte oder
  gegl\"attete ({\em coarse grained}) Feld $\bar h \equiv \langle h
  \rangle_{\delta \eta}$.
\item Gleichung (\ref{sinegordondyn}) wird in zwei Anteile
  aufgespalten, einen f\"ur das gegl\"attete Feld
\begin{displaymath}
  \partial_t \bar h = \mathcal{L} \bar h + \langle \mathcal{N}(\bar h +
  \delta h) \rangle_{\delta \eta}+ \bar \eta 
\end{displaymath}
  und einen zweiten f\"ur die Differenz $\delta h \equiv h - \bar
  h$. Man n\"ahert $\langle \mathcal{N}(\bar h + \delta h)\rangle_{\delta
  \eta}$ mit den (hoffentlich allen) relevanten Operatoren f\"ur eine
  Oberfl\"achendynamik wie in Gleichung (\ref{sinegordondyn}). Dazu
  berechnet man $\delta h$ (bzw.\ seine Korrelationsfunktionen) in
  einer St\"orungsentwicklung nach $\mathcal{N}$. Da $\mathcal{N}$
  nicht von einfacher polynomialer Form ist, verwendet man eine
  Rayleigh-Schr\"odinger--Entwicklung. Sie ist die einzige unmittelbar
  zug\"angliche, wenn auch schlecht kontrollierbar.
\item Zeit, laterale und vertikale L\"angen werden mit
  unterschiedlichen Exponenten reskaliert: ${\bf x} \to (1 - dl) {\bf
  x}$, $h \to (1 - \zeta \; dl) h$ und $t \to (1 - z \; dl)t$. Die
  Terme in (\ref{sinegordondyn}) werden entsprechend reskaliert und
  erzeugen so die Renormierungsgruppen(RG)flu\ss{}gleichungen von
  $\mathcal{L}$ und $\mathcal{N}$.
\end{itemize}
Diese Schritte werden nun auf Gleichung (\ref{sinegordondyn})
angewandt.

\subsection{Anwendung auf die erhaltene Sinus-Gordon--Gleichung}
Dazu betrachten wir (\ref{sinegordondyn}) in einem mit der
Wachstumsgeschwindigkeit $F$ mitbewegten Bezugssystem.
\begin{equation}
  \label{csg2}
  \partial_t h = - K \Delta^2 h - \hat V \; \Delta \sin \frac{2 \pi}{2}
  \biggl( h - Ft \biggr) + \eta.
\end{equation}
($\hat V$ ist hier eine Abk\"urzung f\"ur $\sigma V$). Epitaktisches
Wachstum beginnt auf einem atomar glatten Substrat. Die
Anfangskonfiguration bei $t \! = \! 0$ ist also $h \! \equiv \!
0$. Fluktuationen werden vom Rauschen zu {\em sp\"ateren Zeiten}
verursacht. Dies ist entscheidend f\"ur die Interpretation unserer
Rechnung.

Mittelung \"uber $\delta \eta$ ergibt zwei gekoppelte Gleichungen, die
bis zur jeweils niedrigsten Ordnung in der infinitesimalen Gr\"o\ss{}e
$\delta h$ entwickelt werden. 
\begin{eqnarray}
  \label{coupled}
  \partial_t \bar h & = & - K \; \Delta^2 \bar h - \hat V \Delta \left[ \sin
  \frac{2 \pi}{a} \biggl( \bar h - Ft \biggr) \left( 1 - \frac{2
  \pi^2}{a^2} \langle 
  \delta h^2 \rangle \right) \right] + \bar \eta \\
  \partial_t \delta h & = & - K \; \Delta^2 \delta h - \hat V \Delta
  \left[ \cos \frac{2 \pi}{a} \biggl( \bar h - Ft \biggr) \; \;
  \frac{2 \pi}{a} \; \; \delta h \right] + \delta \eta \nonumber.
\end{eqnarray}
Die zweite Gleichung wird durch einen St\"orungsansatz gel\"ost
\begin{eqnarray}
  \label{perturb}
  \delta h^{(0)}(\mathbf{x},t) & = & \int d^d x' \int_0^t dt' \; 
  \Gamma(\mathbf{x -
  x'},t-t') \; \delta \eta(\mathbf{x'},t') \\
  \delta h^{(1)}(\mathbf{x},t) & = & - \frac{2 \pi \hat V}{a} \int d^d x'
  \int_0^t dt' \; \Gamma (\mathbf{x - x'},t-t') \; \times \nonumber \\
  & & \; \; \; \Delta' \left[ \cos \frac{2 \pi}{a} \biggl(\bar h({\bf
  x'},t') - Ft' \biggr)  \; \delta
  h^{(0)}(\mathbf{x'},t')  \right]. \nonumber
\end{eqnarray}
Im $\mathbf{k}$--Raum ist der lineare Propagator $\Gamma =\exp -K (t \! -
\! t') |\mathbf{k}|^4$. Im folgenden bezeichnen $\bar h', \eta',
\dots$ Gr\"o\ss{}en, deren Argument die Integrationsvariable
$(\mathbf{x'},t')$ ist, und Symbole ohne $'$ die Gr\"o\ss{}en bei
$(\mathbf{x},t)$. Ableitungen (Laplace-Operatoren) werden mit $\Delta$
und $\Delta'$ bezeichnet, um diesem Unterschied Rechnung zu
tragen. Das Faltungsintegral $\int d^d x' \int_0^t dt'$ wird mit
$\int$ abgek\"urzt.

Aus $\langle \delta h^2 \rangle \! = \!  \langle {\delta
h^{(0)}}^2 \rangle + 2 \langle \delta h^{(0)} \delta h^{(1)} \rangle
+ O(\hat V^2)$ in die erste Gleichung von (\ref{coupled}) eingesetzt
ergeben sich die Korrekturterme zu $\bar h$ zur Ordnung $\hat V^2$.
\begin{equation}
  \langle \delta h^2 \rangle = \langle {\delta h^{(0)}}^2 \rangle -
  \frac{4 \pi \hat V}{a} \int (\Delta' \Gamma) \; \cos \frac{2 \pi}{a} \biggl(
  \bar h' - F t' \biggr) \; C,
\end{equation}
wobei $C \equiv \langle \delta h^{(0)} \delta {h^{(0)}}' \rangle $ die
ungest\"orte Korrelationsfunktion der auszuintegrierenden Moden
bezeichnet. Ihre
Fouriertransformierte ist $e^{-K(t \! - \! t') |\mathbf{k}|^4}
D/(K|\mathbf{k}|^4) \left[ 1 - e^{-2Kt|\mathbf{k}|^4} \right]$. 

Der Term niedrigster Ordnung $\langle {\delta h^{(0)}}^2 \rangle$ ist
eine Konstante, mit der die sinusf\"ormige Kraft multipliziert wird,
und liefert die Korrektur
\begin{equation}
  \label{dV}
  \delta \hat V = - \frac{4 \pi^3 D}{K a^2 \Lambda^2} \left( 1 - e^{-2 K
  \Lambda^4 t} \right) \; dl \; \hat V.
\end{equation}
Diese Gleichung gilt f\"ur den physikalisch relevanten Fall $d \! = \!
2$ einer Kristall\-oberfl\"ache. Allgemein st\"unde in $d \! + \! 1$
Dimensionen statt $2 \pi/\Lambda^2$ der Term $S_d \Lambda^{d-4}$,
wobei $S_d$ das Oberfl\"achenma\ss{} der $d$-dimensionalen
Einheitssph\"are bezeichnet.

Zur Auswertung des Beitrags in n\"achsth\"oherer Ordnung, n\"amlich
von $\langle \delta h^{(0)} \delta h^{(1)} \rangle$,
\begin{displaymath}
  - \frac{8 \pi^3 \hat V^2}{a^3} \; \; \Delta \int \sin \frac{2 \pi}{a}
  \biggl( \bar h \! - \! Ft \biggr) \; \cos \frac{2 \pi}{a} \biggl(
  \bar h' \! - \! Ft' \biggr) \; ( \Delta' \Gamma) \; C,
\end{displaymath}
spalten wir das Produkt $\sin a \cos b = (\sin(a\!+\!b) +
\sin(a\!-\!b))/2$ auf und vernachl\"assigen den Term mit $\sin(a \! +
\! b)$. Er erzeugt h\"ohere Harmonische der periodischen
Kraft. Gleichung (\ref{dV}) zeigt, da\ss{} sie weniger relevant sind
als die Grundfrequenz. Im verbleibenden Ausdruck unterteilen wir in
Terme mit $\bar h$ und mit $Ft$
\begin{eqnarray}
  - \frac{4 \pi^3 \hat V^2}{a^3} & \Delta & \int \Biggl[ \sin \frac{2
  \pi}{a} F(t'-t) \; \cos \frac{2 \pi}{a} \biggl( \bar h - \bar h'
  \biggr) \; (\Delta' \Gamma) \; C \nonumber \\
 & + & \cos \frac{2 \pi}{a} F(t'-t) \; \sin \frac{2 \pi}{a} \biggl(
  \bar h - \bar h' \biggr) \; (\Delta' \Gamma) \; C \Biggr]. \nonumber
\end{eqnarray}
Eine Entwicklung von Termen mit $\bar h \! - \! \bar h'$ nach Potenzen
von $\boldsymbol{\xi} \! := \mathbf{x' \! - \! x}$ unter
Ber\"ucksichtigung der Symmetrie bei Integration \"uber $d^2\xi$ ergibt
\begin{eqnarray}
\label{corrections}
= &  &  \frac{4 \pi^5 \hat V^2}{a^5} \; \biggl[ \Delta (\nabla \bar h)^2
\biggr] \; \int \! \sin \left[ \frac{2 \pi}{a} F(t'-t) \right]
(\Delta' \Gamma) \; C \; \xi^2 \nonumber \\ 
 & - & \frac{2 \pi^4 \hat V^2}{a^4} \; \biggl[ \Delta^2 \bar h \biggr] \; \int
 \! \cos \left[ \frac{2 \pi}{a} F(t'-t) \right] (\Delta' \Gamma) \; C \;
 \xi^2. 
\end{eqnarray}
Der zweite Term liefert eine Korrektur $\delta K$ zum Koeffizienten
des Relaxationsterms, der erste erzeugt einen nichtlinearen Term
\begin{equation}
\label{deflambda}
  - \lambda \Delta \bigl( \nabla h(\mathbf{x},t) \bigr)^2,
\end{equation}
der zu Gleichung (\ref{sinegordondyn}) hinzugef\"ugt werden mu\ss{}.
Damit haben wir den gemittelten Anteil der Nichtlinearit\"at $\langle
\mathcal{N}(h) \rangle_{\delta \eta}$ bis zur Ordnung $\hat V^2$ entwickelt in
Projektionen auf die relevanten Operatoren des Problems.

Der letzte Schritt besteht in der Reskalierung von Raum und Zeit. Um
das Verhalten nah an den linearen Fixpunkten $(K, \hat V \! = \! 0, \lambda
\! = \! 0)$ zu untersuchen, w\"ahlen wir deren Skalenexponenten, in $2
\! + \! 1$ Dimensionen $z \! = \! 4$ und $\zeta \! = \! 2 \! - \! d/2
\! = \! 1$. Die treibende Kraft (bzw.\ Wachstumsgeschwindigkeit) $F$
und die Gitterkonstante $a$ werden ebenfalls reskaliert: $dF/dl \! =
\! (z \! - \! \zeta)F$ und $da/dl \! = \!- \zeta a$.

Die folgenden ``nat\"urlichen'' Einheiten eignen sich besser zur
Auswertung des RG-Flusses. Die Zeit $t$ wird ausgedr\"uckt durch die
Bedeckung oder Anzahl aufgedampfter Monolagen $\theta \! := \!
Ft/a$. Dies f\"uhrt zu einem dimensionslosen Ausdruck f\"ur $K$,
n\"amlich $\mathcal{K} \! := \! K/(Fa^3) \! = \! K
t(\theta\!\!=\!\!1)/a^4$. Die Gr\"o\ss{}e $K t(\theta\!\!=\!\!1)$ ist
die vierte Potenz einer L\"ange, \"uber die sich Korrelationen lateral
ausbreiten w\"ahrend des Wachstums einer Lage. Beim schichtweisen
Wachstum ist diese L\"ange der Abstand zweier benachbarter
Nukleationszentren, d.h.\ $\mathcal{K} \! = \! (l_D/a)^4$. Die
Rauschst\"arke $D$ 
wird nicht reskaliert und auch in einem System mit erhaltener Dynamik
nicht renormiert. Man benutzt daher das dimensionslose Verh\"altnis
der St\"arke der Gitterkraft zum Rauschen $U \! := \! a_0 \hat V/D$. Da
f\"ur $d \! = \! 2$ der Rauhigkeitsexponent $\zeta \! = \! 1$ ist,
w\"achst der nichtlineare Operator $\Delta(\nabla h)^2$ beim
Reskalieren an, was im dimensionslosen Produkt  $L \! = \!
\lambda/(a^2 F)$ ausgeglichen wird. Als Skalenparameter verwendet man
$\kappa \! := \! \exp 4l \! = \! (A/a)^4$, wobei $A$ die {\em
  Cutoff\/}l\"ange ist, unterhalb der alle Fluktuationen ausgegl\"attet
wurden. Damit erh\"alt man den Renormierungsgruppenflu\ss{} 
\begin{eqnarray}
  \label{flow}
 ({\rm i}) \; \; \; \; \; \;   4 \kappa \; \frac{dU}{d\kappa} & = &
  \left[ 1 - 4 \pi^3 \; \frac{\sqrt{\kappa}}{\mathcal{K}} \left( 1 -
  e^{-2 \mathcal{K} \theta/\kappa} \right) \right] U, \nonumber \\
 ({\rm ii}) \; \; \; \; \; \; 4 \kappa \; \frac{d\mathcal{K}}{d\kappa}
  & = &  \frac{U^2}{\mathcal{K}} \; \; g(\mathcal{K}/\kappa,\theta), \\
 ({\rm iii}) \; \; \; \; \; \;4 \kappa \;  \frac{dL}{d\kappa} & = &
  \frac{U^2}{\mathcal{K}} \; \;
  f(\mathcal{K}/\kappa,\theta). \nonumber 
\end{eqnarray}
Die Funktionen $f$ und $g$ ergeben sich aus den Integralen in
(\ref{corrections}) und lauten
\begin{eqnarray}
g(\mathcal{K}/\kappa,\theta) & = &  8 \pi^5 \; \; \frac{ 1 -
  e^{-2\mathcal{K} \theta/\kappa}}{[ (\mathcal{K}/\kappa)^2 +
  \pi^2]^3} \nonumber \\ 
& &  \Biggl[ \mathcal{K}/\kappa \biggl( -(\mathcal{K}/\kappa)^4 - 4
  \pi^2 (\mathcal{K}/\kappa)^2 + 5 \pi^4 \biggr) \nonumber  \\ 
 & & + \Biggl( B \; \cos(2\pi\theta) + A \; \sin(2\pi\theta)  \Biggr)
  \; \; \; e^{-2\mathcal{K} \theta/\kappa} \Biggr] \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
f(\mathcal{K}/\kappa,\theta) & = & 16 \pi^6 \; \; \frac{ 1 -
  e^{-2\mathcal{K} \theta/\kappa}}{[ (\mathcal{K}/\kappa)^2 +
  \pi^2]^3} \nonumber \\ & & \Biggl[ \pi \biggl( -
  (\mathcal{K}/\kappa)^4  - 8 \pi^2 (\mathcal{K}/\kappa)^2 +  \pi^4
  \biggr) \nonumber \\ & & + \Biggl( - A \; \cos(2\pi\theta) \; \; + B
  \; \sin(2\pi\theta)  \Biggr) \; \; \;  e^{-2\mathcal{K}
  \theta/\kappa} \Biggr] \nonumber 
\end{eqnarray}
mit den Polynomen
\begin{eqnarray}
A & = & 4 \pi \theta^2 (\mathcal{K}/\kappa)^6  + (\pi - 8 \pi^3
  \theta^2) (\mathcal{K}/\kappa)^4 \nonumber \\
& & + 8 \pi^3 \theta (\mathcal{K}/\kappa)^3  + (8 \pi^3 - 4 \pi^5
  \theta^2) (\mathcal{K}/\kappa)^2 \nonumber \\ 
& & +  8 \pi^5
\theta \mathcal{K}/\kappa - \pi^5  \nonumber \\
B & = & -4 \theta^2 (\mathcal{K}/\kappa)^7 + 4 
 \theta (\mathcal{K}/\kappa)^6 + (1 - 8 \pi^2 \theta^2)
  (\mathcal{K}/\kappa)^5 \nonumber \\ 
& & + 16 \pi^2 \theta (\mathcal{K}/\kappa)^4  + 4 (\pi^2 - \pi^4 \theta^2)
(\mathcal{K}/\kappa)^3 + 12
\pi^4 \theta  (\mathcal{K}/\kappa)^2 \nonumber \\
& & - 5 \pi^4 \mathcal{K}/\kappa. \nonumber
\end{eqnarray} 
Den Beitrag des zur Ordnung $\hat V^2$ erzeugten $\lambda$, d.h.\ die
R\"uckkopplung von $L$ auf die \"ubrigen Parameter wird
vernachl\"assigt. Wir werden im n\"achsten Abschnitt sehen, da\ss{}
bei einer getriebenen Oberfl\"ache eine L\"angenskala $\tilde l$
existiert, ab der das Kristallgitter keinen Einflu\ss{} auf die
\"ubrigen Parameter hat. Eine Nichtlinearit\"at vom Typ
(\ref{deflambda}) jedoch wird erst auf wesentlich gr\"o\ss{}eren
Skalen relevant, f\"uhrt dann allerdings zu einem neuen Fixpunkt mit
neuen Skalenexponenten \cite{Janssen}. Zun\"achst, und so weit, wie
hier die Renormierung betrachtet werden soll, ist er von der Ordnung
$L \! \sim \! U^2$, seine R\"uckkopplung von der Ordnung $L^2$ kann
also gegen den Einflu\ss{} des Gitters vernachl\"assigt werden.


\section{D\"ampfung der Wachstumsoszillationen}
\label{daempfung}
Die Entwicklung von $U$ unter dem Renormierungsgruppenflu\ss{}
(\ref{flow}) entscheidet, ob die Oberfl\"ache deutlich auf eine
Gitterebene fixiert (``ge{\em pinn}t'') ist, oder aber auf gro\ss{}en
Skalen der Einflu\ss{} des Kristallgitters auf die Morphologie
irrelevant ist. Die RG-Analyse des Rauhigkeits\"ubergangs benutzt
dasselbe Prinzip \cite{ChuiWeeks,NozieresGallet}. Oberhalb $T_R$
verschwindet die St\"arke des {\em Pinning}potentials asymptotisch,
unterhalb divergiert sie. Zun\"achst werten wir das Ergebnis
(\ref{flow}) im Limes unendlicher Wachstumsdauer $\theta \to \infty$
aus, danach ber\"ucksichtigen wir, da\ss{} zu Zeiten $t \! < \!
\infty$ der Einflu\ss{} der Fluktuationen nur \"uber eine {\em
  endliche} Zeitspanne bestanden hat.

Die Flu\ss{}gleichung f\"ur $U$ in (\ref{flow}) unterscheidet sich in
einem Punkt wesentlich von der nichterhaltenen Sinus-Gordon--Gleichung
in $2 \! + \! 1$ Dimensionen, die in \cite{ChuiWeeks,NozieresGallet}
untersucht wird. Sie ist nicht autonom, die Skalenvariable $\kappa$
steht explizit in (\ref{flow},i) und treibt asymptotisch $U$ gegen
Null. Im allgemeinen Fall st\"unde statt $\sqrt{\kappa}$ die Potenz
$\kappa^{\zeta/2}$, wobei der Rauhigkeitsexponent $\zeta$ von der
Dimension, der Art des Rauschens und des linearen
Relaxationsmechanismus abh\"angt (siehe oben). Die einzige
Gr\"o\ss{}e, die im Korrekturterm $\delta \hat V/\hat V$ f\"ur $t \to
\infty$ in Gleichung (\ref{dV}) skalenabh\"angig ist, ist die
Gitterkonstante $a \! = \! a_0 \kappa^{-\zeta/4}$. Wenn $\zeta \! < \!
0$, w\"achst $U$ asymptotisch und die Oberfl\"ache ist makroskopisch
flach, wenn $\zeta \! > \! 0$, dominiert der Term in (\ref{flow},i),
der $U$ vermindert, wie im hier untersuchten Beispiel. Eine allgemeine
Bedingung f\"ur einen Rauhigkeits\"ubergang ist daher $\zeta \! = \!
0$, wie es z.B.\ beim Sinus-Gordon--Modell in
\cite{ChuiWeeks,NozieresGallet} der Fall ist. 

Unter den f\"ur MBE typischen Bedingungen ist die Depositionsrate $F$
deutlich kleiner als die Diffusionsrate, in den Parametern von
Gleichung (\ref{flow}) bedeutet dies $\mathcal{K} \! \gg \! 1$. Die
relative \"Anderung von $\mathcal{K}$ ist also klein, d.h.\ in sehr
guter N\"aherung nimmt $U$ unter Renormierung zu bis zur Skala
$\kappa_{max} = \mathcal{K}^2/(16 \pi^6)$ (bzw. $\kappa_{max} 
\sim \mathcal{K}^{2/\zeta}$ im oben angedeuteten allgemeineren Fall), um
dann sehr schnell auf Null abzufallen. Dies hat eine wichtige
Konsequenz f\"ur Substrate endlicher Ausdehnung und f\"uhrt zum
Begriff der {\em Schichtenkoh\"arenzl\"ange (layer coherence length)}
$\tilde l$, die in \cite{KallabisBrendelWolfKrug} eingef\"uhrt
wird. Auf Substraten, die kleiner sind als
\begin{displaymath}
  \tilde l = a_0 \; \kappa_{max}^{1/4} = a_0 \; \;
  \frac{\sqrt\mathcal{K}}{2 \pi^{3/2}} 
\end{displaymath}
(oder $\tilde l \sim a_0 \mathcal{K}^{1/2\zeta} \sim a_0
\mathcal{K}^{1/(4 \! - \! d)}$) bleibt der Einflu\ss{} des Gitters 
relevant. Die Oberfl\"ache bleibt glatt und w\"achst
lagenweise. Das {\em RHEED}--Signal, das die mittlere Breite wiedergibt,
oszilliert beliebig lang.

Die Koh\"arenzl\"ange $\tilde l$ ist aus Dimensions\"uberlegungen mit
einer Zeit oder Bedeckung verbunden $\tilde \theta \! \equiv \!
\kappa_{max}/\mathcal{K}$, die wir als Abklingzeit der Oszillationen
erkennen werden. Dazu betrachtet man nun {\em endliche} Bedeckungen
$\theta$. H\"ohen an Punkten, die weiter als $l_{\theta} \! = \! a_0
(\mathcal{K} \theta)^{1/4}$ voneinander entfernt sind, sind nicht
korreliert. Integriert man Fluktuationen jenseits der Skala
$l_{\theta}$ aus, ergibt sich kein Renormierungsbeitrag au\ss{}er
trivialer Reskalierung der Parameter. Siehe dazu Gleichung
(\ref{flow},i): F\"ur $\kappa \! \gg \! \mathcal{K} \theta$ lautet sie
$4 \kappa \; dU/d\kappa = \left[ 1 - O(\kappa^{-1/2}) \right] U \simeq
U$ und $U$ wird nur noch reskaliert wie $\kappa^{1/4}$. Nichttriviale
Beitr\"age verschwinden.

Ist nun $l_{\theta} < \tilde l$, so endet die Renormierung von $U$bei
gro\ss{}en Werten von $U$, also starker {\em Pinning}kraft,
andernfalls ist der Gittereinflu\ss{} schwach und die Oberfl\"ache
rauh. Anders ausgedr\"uckt: Bis zur Zeit (Bedeckung)
\begin{displaymath}
\tilde \theta = \frac{\kappa_{max}}{\mathcal{K}} = \frac{1}{16 \pi^6}
\; \mathcal{K}
\end{displaymath}
(oder $\tilde \theta \sim \mathcal{K}^{(2-\zeta)/\zeta} \sim
\mathcal{K}^{d/(4-d)}$) w\"achst die Oberfl\"ache schichtweise und
geht dann \"uber zu rauhem Wachstum, in \"Ubereinstimmung mit den
Ergebnissen von \cite{KallabisBrendelWolfKrug}.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 8cm
    \epsfbox{rheed.ps}
    \caption{Rastertunnelmikroskopische Aufnahmen einer wachsenden
    Fe(100)--Oberfl\"ache bei verschiedenen Temperaturen
    \cite{Rheed}. Die Intensit\"at des {\em RHEED}--Signals zeigt
    Oszillationen mit Maxima bei m\"oglichst glatten
    Fl\"achen. Niedrige Oberfl\"achentemperatur bewirkt geringe
    Diffusionsrate, kleine Diffusionsl\"ange $l_D$ und ein schnelles
    Abklingen der Oszillationen (Bild a). Bei der h\"ochsten
    Temperatur (c) ist das Lagenwachstum nahezu perfekt. Alle
    Rasterbilder wurden bei einer Bedeckung von f\"unf Monolagen
    aufgenommen (Pfeile).} 
    \label{rheedoszi}
  \end{centering}
\end{figure}


\section{Die erhaltene KPZ--Nichtlinearit\"at}
\label{erhaltenekpz}
In den Korrekturtermen (\ref{corrections}) steht auch ein Beitrag der
Form $\sim - \Delta (\nabla h)^2$. Die heuristische Begr\"undung eines
solchen Terms ist leicht einzusehen. Die Adatomdichte $\rho$ auf den
Terrassen ist eine Funktion ihrer Ausdehnung und damit der Gr\"o\ss{}e
der Neigung $(\nabla h)^2$. Auf jeder Terrasse erf\"ullt $\rho$ Gleichung
(\ref{adatom1}). Es ergibt sich ein Dichteprofil mit konstanter
mittlerer Kr\"ummung $F/\sigma$. Die Adatomdichte auf einer Terrasse
der linearen Ausdehnung $l$ ist daher von der Gr\"o\ss{}enordnung $F
l^2/\sigma$. 

F\"ur gro\ss{}e Neigungen ist $l \! = a/|\nabla h|$, w\"ahrend es
f\"ur kleine Neigungen durch die Diffusionsl\"ange $l_D$ begrenzt
ist. Eine interpolierende Formel ist
\begin{displaymath}
l^2 = \frac{l_D}{1 + (l_D/a)^2 (\nabla h)^2}.
\end{displaymath}
F\"ur kleine Neigungen entwickelt man $\rho$ nach Potenzen von
$(\nabla h)^2$:
\begin{displaymath}
\rho \; \approx \; \frac{l^2 F}{\sigma} \; \approx \; \frac{F
  l_D^2}{\sigma} \left( 1 - \frac{l_D^2}{a^2} (\nabla h)^2 + \dots
  \right). 
\end{displaymath}
Variationen in der Adatomdichte f\"uhren zu einem mesoskopischen
Oberfl\"achenstrom $\mathbf{j} =  -  \sigma \nabla \rho$. (Wie bei
der Kontinuumsgleichung (\ref{sinegordondyn}) wird auch in dieser
heuristischen Betrachtung der Effekt von Stufenbarrieren
vernachl\"assigt.) Die Divergenz von Oberfl\"achenstr\"omen bedeutet
eine lokale \"Anderung des H\"ohenfelds $h$, in diesem Fall erh\"alt
$\partial_t h$ den zus\"atzlichen Beitrag $- \lambda \; \Delta (\nabla
h)^2$ mit 
\begin{equation}
\label{lambdaheur}
 \lambda \; =  \; \sigma \; \frac{F l_D^4}{\sigma a^2} \; \; \sim \; \;
 F \left( \frac{\sigma}{F} \right)^{2/(d+1)},
\end{equation}
wobei die Beziehung (\ref{l_D}) zwischen $l_D$ und dem Verh\"altnis
von Diffusions- zu Aufdampfrate $\sigma /F$ eingesetzt wurde.

Der Koeffizient $\lambda$ geh\"ort zur Nichtgleichgewichtseigenschaft
des Systems, er ist proportional zu $F$ und verschwindet bei $F \! =
\! 0$. Ohne den Flu\ss{} auftreffender Teilchen sind die
diffundierenden Adatome im Gleichgewicht mit den Stufen und der 
unterliegenden Gitterebene. Es besteht keine ``Quelle'' f\"ur
Adatome auf den Terrassenfl\"achen, weshalb ihr Dichteprofil keine
mittlere Kr\"ummung aufweist. Die Abh\"angigkeit von der 
Terrassenausdehnung $l$ und von $(\nabla h)^2$ geht verloren. 

An dieser Stelle soll auch auf die nichterhaltene Sinus-Gordon--Gleich\-ung
verwiesen werden. Ihre mittlere Wachstumsgeschwindigkeit ist
neigungsabh\"angig \cite{NozieresGallet}. In einer mesoskopischen
Gleichung mu\ss{} also eine lokale Wachstumsgeschwindigkeit $v(|\nabla
h|)$ ber\"ucksichtigt werden. In der Entwicklung f\"ur kleine
Neigungen ergibt sich daraus ein Term der Form $\lambda (\nabla h)^2$
\cite{KardarParisiZhang}. Unter einer der Rechnung in diesem Kapitel
vergleichbaren Renormierung wird in der nicht erhaltenen
Sinus-Gordon--Gleichung ein solcher Term erzeugt \cite{RostSpohn}. 

Im hier untersuchten Parameterbereich ($\mathcal{K} \! \gg \! 1$,
dessen relative \"Anderungen vernachl\"assigt werden) findet man bei
Auswertung des RG--Flusses (\ref{flow}) die Proportionalit\"at
zwischen $\lambda$ und der Aufdampfrate, die soeben heuristisch
begr\"undet wurde. Mit $L$ nimmt unter dem Flu\ss{} (\ref{flow}) das
Verh\"altnis $\lambda /F$ einen konstanten Grenzwert an. $F$ ist
proportional zu $F_0$, also ist auch $\lambda \! \propto \! F_0$.

Von der St\"arke des Gitterpotentials h\"angt $\lambda$ quadratisch
ab. Gleichung (\ref{flow}i) ist linear in $U$. Ist die R\"uckkopplung
von $U$ auf $\mathcal{K}$ vernachl\"assigbar, so ist daher das
renormierte $U$ proportional zu $U_0$. Ferner wird $L$ von $0$
ausgehend erzeugt, es ist also $L \propto U^2 \propto U_0^2$ und damit 
\begin{displaymath}
  \lambda \propto F_0 U_0^2.
\end{displaymath}
Schwieriger ist die Abh\"angigkeit des renormierten $\lambda$ bzw.\
des Grenzwerts von $L$ f\"ur $\kappa \to \infty$ von
$\mathcal{K}$. Die heuristischen \"Uberlegungen zu Beginn dieses
Abschnitts gelten f\"ur einen station\"aren Zustand, wenn die
Oberfl\"ache bereits weit gewachsen ist. Gleichung (\ref{lambdaheur})
lie\ss{}e daher im Limes $\theta \to \infty$ erwarten, da\ss{} $L \sim
\mathcal{K}$. Als Ergebnis einer (numerischen) Integration der
Flu\ss{}gleichungen ist $L$ in Abh\"angigkeit von $\mathcal{K}$ in
Abbildung \ref{lambda(K)} dargestellt. Die Integration wurde
abgebrochen beim im letzten Abschnitt (\ref{daempfung}) beschriebenen
Abfall des Gitterpotentials $U$. Die St\"arke der Nichtlinearit\"at
$L$ nimmt f\"ur $\kappa \to \infty$ einen Grenzwert an, weil die
rechte Seite von (\ref{flow}(iii))  hinreichend schnell verschwindet
(sowohl f\"ur endliche $\theta$ als auch im hier vorher genommenen
Limes $\theta \to \infty$).

\begin{figure}[htbp]
  \begin{centering}
    \hspace*{0cm}
    \epsfxsize 11cm
    \epsfbox{lambda.ps}
    \caption{Abh\"angigkeit des renormierten Parameters $L \! = \!
    \lambda/(a^2 F)$ von der St\"arke des linearen Terms $\mathcal{K}
    \! = \! (l_D/a)^4$ in Gleichung (\protect \ref{flow}). Die
    St\"arke des nichtlinearen Terms $- \Delta (\nabla h)^2$ nimmt mit
    $l_D$ zu, wenn auch nicht so wie nach Gl.\ (\protect
    \ref{lambdaheur}) quantitativ erwartet.}
    \label{lambda(K)}
  \end{centering}
\end{figure}


Quantitativ entspricht das Ergebnis nicht der Vorhersage von Gleichung
(\ref{lambdaheur}). Zwar nimmt $L$ mit $\mathcal{K} \sim l_d^4$ zu,
aber nicht proportional, sondern n\"ahert sich einer Konstanten
an. Die RG--Analyse beruht auf einer St\"orungsentwicklung f\"ur
schwaches {\em Pinning} an den Gitterebenen. Das Konzept der
Adatomdichte auf Terrassenst\"ucken, wie es in obige Herleitung
einging, ben\"otigt ein {\em starkes Pinning}, so da\ss{} Terrassen
deutlich hervortreten. Dies ist jedoch mit dieser und vergleichbaren
Methoden nicht zug\"anglich. Bemerkenswert ist jedoch die Gegenwart
eines erhaltenen KPZ--Terms $\sim - \Delta (\nabla h)^2$ auch in
diesem stark vereinfachenden Ansatz. Sie deutet darauf hin, da\ss{} er
bei erhaltener Oberfl\"achendynamik eine ebenso universelle Rolle
spielt wie der Term $(\nabla h)^2$ in der Dynamik ohne Massenerhaltung
\cite{KardarParisiZhang}. 

\chapter{Zusammenfassung}
Dynamik instabiler Oberfl\"achen, dieser Themenbereich wurde in
dieser Arbeit unter mehreren Gesichtspunkten und in verschiedenen
Zusammenh\"angen behandelt.

Den physikalischen Hintergrund bildet die Morphologie wachsender
Kristalloberfl\"achen. Den Theorien zugrunde liegt eine nahezu
unerme\ss{}liche Vielfalt an Experimenten, sowohl in den Techniken des
Wachstums selbst und ihren Verfeinerungen, als auch in den Methoden
zur \"Uberwachung und Steuerung. Instabilit\"aten theoretisch zu
verstehen dient zwei gegens\"atzlichen Zwecken: Beabsichtigt man
stabiles Wachstum glatter Fl\"achen, geht es darum, sie zu
vermeiden. Umgekehrt besteht die Hoffnung, die Formen instabilen
Wachstums gezielt zu nutzen und so mikroskopische
Oberfl\"achenstrukturen zu erhalten, sogenannte {\em
Quantendr\"ahte\/} und {\em -punkte}.

F\"ur sich allein betrachtet stellt die theoretische Modellierung
von Oberfl\"achendynamiken ein weit entwickeltes Forschungsgebiet
dar. Zwei ihrer Hauptbereiche werden ber\"uhrt: Statistisch
physikalische Methoden werden eingef\"uhrt, wie sie im Zusammenhang
mit Problemen der kinetischen Aufrauhung entwickelt wurden. Angewandt
werden sie zun\"achst in einem rein theoretischen Rahmen auf
deterministische (chaotische) Gleichungen in ihrem Verhalten auf
gro\ss{}en Skalen.

Ziel dieser Arbeit ist es, den experimentellen und den theoretischen
Ansatzpunkt miteinander zu verbinden und in diesem Zusammenhang neue
Forschungsergebnisse darzustellen. Sehr viel Wert gelegt wird auf die
Herleitung von Kontinuumsgleichungen f\"ur Oberfl\"achen wachsender
Kristalle. Die allgemeine Struktur von Kontinuumsgleichungen erh\"alt
so einen anschaulichen Hintergrund. Der Herleitung voraus gehen eine
\"Ubersicht \"uber die experimentelle Methode der
Molekularstrahlepitaxie und die Ph\"anomene instabilen Wachstums 
mit Stufenkantenbarrieren, sowie \"uber die oben angesprochenen
theoretischen Gesichtspunkte. Beide Darstellungen verbinden sich in
den nachfolgenden Kapiteln in drei detaillierten Rechnungen: Behandelt
werden in ihnen die Vergr\"oberung von Oberfl\"achenstrukturen ({\em
coarsening}) auf singul\"aren -- entlang einer Hochsymmetrieebene des
Kristalls -- und vizinalen, relativ zu einer Symmetrierichtung
verkippten Oberfl\"achen. Die dritte Rechnung betrifft ein fr\"uheres
Stadium epitaktischen Wachstums, den \"Ubergang von schichtweisem zu
rauhem Wachstum.

Dabei besteht der Anspruch, die M\"oglichkeiten und Grenzen
deterministischer Kontinuumsgleichungen im Hinblick auf
Strukturbildung an wachsenden Kristallen umfassend
darzustellen. Insbesondere die ``Schw\"achen'' des Kontinuumsansatzes
weisen auf weitere offene Fragen hin: Deuten die unterschiedlichen in
Experimenten und Simulationen beobachteten Wachstumsgesetze nicht auf
einen inneren Widerspruch der Skalenhypothese hin? Generell bildet
Rauschen einen Mechanismus, der Skaleninvarianz erzeugt
\cite{Krug:Advances} (siehe auch Kapitel
\ref{oberflaechendynamik}). Bei Molekularstrahlepitaxie liegen die
Fluktuationen im auf die Oberfl\"ache treffenden Teilchenstrom, dem
sogenannten Schrotrauschen. Ungekl\"art ist, ob sie das vom
deterministischen Anteil der Dynamik erzeugte Skalenverhalten (Kapitel
\ref{stufenbarrierenimkontinuum}) \"uberlagert, also fundamental
\"andert, oder nur transiente Korrekturen erzeugt.

Diese Fragestellungen gehen \"uber das Gebiet der Oberfl\"achendynamik
hinaus. Wegen der Verwandtschaft dieser Gleichungen zu Problemen der
Phasenordnung in magnetischen Systemen d\"urften dort Abweichungen von
reinem Skalenverhalten und Einflu\ss{} von Rauschen eine \"ahnliche
Rolle spielen. Wie bei der Behandlung rein deterministischer Gleichungen
in Kapitel \ref{stufenbarrierenimkontinuum} darf man erwarten, da\ss{}
es diese Verwandtschaft auch f\"ur verrauschte Gleichungen erlaubt,
Ergebnisse zwischen beiden Problemklassen zu \"ubertragen, ihre
Unterschiede zu vergleichen und so zu verstehen.


\appendix
\chapter{Strukturfaktor in sph\"arischer N\"aherung}
\label{rechnung}

In den Gleichungen (\ref{Seq}) und (\ref{a(t)}) besteht eine
wechselseitige Abh\"angigkeit von $a(t)$ und $S(k,t)$: $a$ ist ein
Funktional von $S$, geht aber in dessen Berechnung ein. Eine L\"osung
des Strukturfaktors mu\ss{} also einer Selbstkonsistenzbedingung
gen\"ugen, die sich in folgende Form bringen l\"a\ss{}t
\begin{equation}
\label{selfc}
\frac{db}{dt} = f \left( 2/(2^{d/2}\Gamma(d/2)) 
\int_0^{\infty} \! \! dk \; k^{d+1} \exp \left(-2tk^4 +
2k^2 b(t) \right) \right).
\end{equation}
Die Anfangsbedingung $S_0$ ist gew\"ahlt wie im Text motiviert, und die
neu eingef\"uhrte Funktion ist definiert als $b(t) \! = \! \int_0^t ds
\; f(a(s))$. F\"uhrt man das Integral aus, ergibt sich f\"ur $b(t)$
die Differentialgleichung
\begin{equation}
\label{dgl}
\frac{db}{dt} = f \left( \frac{d}{2} (4t)^{-(d+2)/4} \; 2^{-d/2} \; 
D_{ \! -\frac{d+2}{2}} ( -b/\sqrt{t}) \; 
\exp \frac{b^2}{4t} \right),
\end{equation}
in der $D$ eine parabolische Zylinderfunktion bezeichnet \cite{Gradstein}.
Gleichung (\ref{dgl}) ist nicht explizit l\"osbar, aber f\"ur sp\"ate
Zeiten divergiert $b/\sqrt{t}$, wie wir gleich zeigen werden. 
$D$ l\"a\ss{}t sich daher ausgehend von einer Sattelpunktsn\"aherung
des Integrals in (\ref{selfc}) ann\"ahern.

Gleichung (\ref{dgl}) hat die Form
\begin{equation}
\frac{db}{dt} = f \left( t^{-(d+2)/4} 
\; F \! \left( \! \frac{b}{\sqrt{t}} \! \right) \right).
\end{equation}
Bliebe $b/\sqrt{t}$ beschr\"ankt, w\"urde das Argument von $f$ in
(\ref{dgl}) f\"ur gro\ss{}e $t$ gegen 0 gehen. Die
Differentialgleichung f\"ur $b(t)$ w\"are damit $db/dt \simeq f(0) =
1$ im Widerspruch zur Beschr\"anktheit von $b/\sqrt{t}$.

Die N\"aherung von (\ref{dgl}) ist damit f\"ur gro\ss{}e $t$ (und
$b/\sqrt{t}$)
\begin{equation}
\frac{db}{dt} = f \left( \sqrt{\frac{\pi}{2^{d-1}}} \; 
(4t)^{-(d+2)/4} /\Gamma(d/2) \;
\left( \frac{b}{\sqrt{t}} \right)^{d/2} \exp \frac{b^2}{2t} \right),
\end{equation}
woraus sich ergibt, da\ss{} $b/\sqrt{t}$ langsamer als jede Potenz in
der Zeit zunimmt: G\"alte $b \sim t^{1/2 + \epsilon}$, folgte daraus
$db/dt \sim t^{\epsilon - 1/2}$. Andererseits n\"ahme das Argument in
$f$ exponentiell mit einem dominierenden Term $\exp t^{2 \epsilon}$
zu.

Je nach Wahl der Form des Nichtgleichgewichtsstroms $f$ ergibt sich
ein unterschiedliche St\"arke des f\"uhrenden Logarithmus beim
Anwachsen von $B = b^2/(2t)$. F\"ur Modell (ii) ist Gleichung
(\ref{dgl})
\begin{equation}
t \; \frac{d B}{dt} = - B + \sqrt{2 B t}
\left( 1 - C_{\rm (ii)} \; B^{d/4} \; t^{-(d+2)/4} \; \exp B \right),
\end{equation}
wobei $C_{\rm (ii)}$ eine beliebige Konstante bezeichnet. Keiner der
Terme darf mit einer Potenz der Zeit anwachsen. Dies erfordert, da\ss{}
der Term in Klammern asymptotisch verschwindet, und damit $\exp B \sim
t^{(d+2)/4}$. Der f\"uhrende Anteil von $B$ ist daher
\begin{equation}
\label{betaii}
B \simeq \frac {d+2}{4} \; \log t.
\end{equation}

F\"ur Modell (i) n\"utzt man das asymptotische Verhalten $f(s^2)
\simeq (s^2)^{-\gamma/2}$ bei gro\ss{}en $s^2$ aus. Gleichung
(\ref{dgl}) wird zu
\begin{equation}
t \; \frac{d B}{dt} = - B + C_{\rm (i)} \; t^{(\gamma/2)(d+2)/4 + 1/2}
\; B^{-(\gamma/2)d/4 + 1/2} \exp -(\gamma/2) B.
\end{equation}
Wie oben m\"ussen sich auch hier die Potenzen von $t$ im letzten Term
aufheben, was nur unter der Bedingung
\begin{equation}
\label{betaiii}
B \simeq \left( \frac {d+2}{4} + \frac{1}{\gamma} \right) \; \log t.
\end{equation}
erf\"ullt ist.

Die Ergebnisse von Modell (i) und (ii) weisen eine Gemeinsamkeit auf,
die sich mit den einf\"uhrenden \"Uberlegungen zum
Nichtgleichgewichtsstrom erg\"anzt. Wird $\gamma$ vergr\"o\ss{}ert, so
f\"allt der Strom mit zunehmender Neigung st\"arker ab. Man m\"ochte
daher erwarten, da\ss{} der Limes $\gamma \to \infty$ einer Nullstelle
der Stromfunktion bei endlicher Neigung entspricht, also einer ``magic
slope''. Tats\"achlich trifft dies auf die hier erhaltenen Ergebnisse
der sph\"arischen N\"aherung zu: Der Term $1/\gamma$ in
(\ref{betaiii}) tr\"agt in diesem Grenzfall nichts bei, und man
erh\"alt das Ergebnis von Modell (ii) (\ref{betaii}). Dasselbe trifft
auch auf die Skalenrelationen (\ref{scalineqi},\ref{scalineqii}) zu,
n\"amlich $z \! \ge \! 4$, $\beta \!\le \! 1/4$ und $\alpha = 0$.


\chapter{Allgemeine Erl\"auterungen}
Einige Begriffe und Methoden sollen gesondert erl\"autert werden, weil
auf sie in allen Kapiteln bezug genommen wird.
\section{Verwendete Begriffe}
Manche der in dieser Arbeit verwendeten Bezeichnungen haben sich im
engeren Gebiet der statistischen Physik wachsender Oberfl\"achen
herausgebildet. Zum besseren Verst\"andnis sollen sie hier
definiert werden.

Unter Oberfl\"achen werden Hyperfl\"achen verstanden, also in einen
$(d \! + \! 1)$--dimensionalen Raum eingebettete $d$--dimensionale
Objekte. Um auf die Eigendimension und die zus\"atzliche Kodimension
aufmerksam zu machen, spricht man oft von $d \! + \! 1$ Dimensionen.

Die Lage einer Oberfl\"ache im Raum zur Zeit $t$, oft durch eine Funktion
$h( \cdot,t): \; \mathbb{R}^d  \ni (\mathbf{x},t) \to h(\mathbf{x},t)
\in \mathbb{R}$ ausgedr\"uckt, bezeichnen wir als {\em H\"ohenkonfiguration\/}
oder {\em -profil}. 

Ein {\em Zustand\/} ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Raum der
Konfigurationen. 

Uneinheitlich ist in der Literatur die Benennung der Wachstumsformen
auf Oberfl\"achen, oft gibt es nur die englischen Bezeichnungen, die
hier ``eigenm\"achtig'' \"ubersetzt sind:

Im Fr\"uhstadium des Wachstums auf einer atomar glatten Fl\"ache
entstehen zun\"achst {\em Inseln} aus zusammengelagerten Teilchen in
der ersten Schicht \"uber der Ausgangsfl\"ache.  Kleine Gebilde aus
mehreren \"ubereinanderliegenden Inseln werden wegen ihrer Form {\em
pyramids\/} oder {\em wedding cakes\/} (Hochzeitstorten) genannt, in
dieser Arbeit {\em Pyramiden}. Im sp\"ateren Stadium  entstehen
gr\"o\ss{}ere Buckel, deutlich gr\"o\ss{}er als die in den Pyramiden
noch sichtbare atomare Skala. Man nennt sie {\em mounds}, es gibt auch
den Namen {\em SLUG, super large unstable growth
feature\/}\footnote{``Nacktschnecke'' auf deutsch.}, vor allem f\"ur
langgezogene Gebilde -- wir w\"ahlen die Bezeichnung {\em
H\"ugel\/}. Eine langgezogene Wellen- oder Rinnenstruktur auf einer
Oberfl\"ache besteht aus sogenannten {\em Rippen} (englisch {\em
ripples}).

Die Bezeichnung der Parameter in Wachstumsmodellen ist jeweils im Text 
definiert. Auf doppelte Verwendung einiger Benennungen, insbesondere
zwischen den Kapiteln \ref{stufenbarrierenimkontinuum} und
\ref{gitterimkontinuum} sei hier
hingewiesen, auch wenn sie sich im jeweiligen Zusammenhang selbst
erkl\"aren. In mikroskopischen Modellen und bei
Monte-Carlo--Simulationen bezeichnet man die Dynamik mit den Raten 
bestimmter Ereignisse: $D$ ist die Sprungrate der Adatomdiffusion, $F$ ist
die Rate, mit der Teilchen auf jedem Gitterplatz landen. In den
Kontinuumsmodellen bezeichnet $F$ die mittlere 
Wachstums{\em geschwindigkeit\/} der Oberfl\"ache, hat also die Dimension
L\"ange/Zeit. $D$ bezeichnet \"ublicherweise und so auch hier die
St\"arke einer zuf\"alligen Rauschkraft.

Die in den Formeln verwendeten Bezeichnungen sind in nochmals in einer
Tabelle aufgef\"uhrt:

\vspace{0.5cm}
\begin{tabular}{|p{2cm}|p{11cm}|}
\hline \hspace*{0cm} & {\em In Kontinuumsmodellen von Oberfl\"achen
treten auf:} \\
\hline $h(\mathbf{x},t)$ & H\"ohenprofil als Funktion von
Substratkoordinate und Zeit. \\
\hline $\eta(\mathbf{x},t)$ & Rauschkraft, mit St\"arke $D$. \\
\hline $\mathcal{F} \{ h \}$ & Freie Energie, Funktional der
Konfiguration. \\
\hline $\gamma (\nabla h) $ & neigungsabh\"angige
Oberfl\"achenspannung. \\
\hline $\tilde \gamma$ & Steifigkeit der Oberfl\"ache. \\
\hline ${\boldsymbol \sigma}$, $\sigma $ & Adatommobilit\"at, als
tensorielle bzw.\ skalare Gr\"o\ss{}e. \\
\hline $\sigma_\perp $ & Mobilit\"at der Oberfl\"ache gegen senkrechte
Verschiebung. \\
\hline $\mu(\mathbf{x},t)$ & chemisches Potential f\"ur Adatome. \\
\hline $\mathbf{J}$ & Oberfl\"achenstrom.  \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|p{2cm}|p{11cm}|}
\hline \hspace*{0cm} & {\em Definitionen f\"ur Gittermodelle von
Oberfl\"achen:} \\
\hline $a$ & Gitterkonstante. \\
\hline $F$ & Aufdampfrate. \\
\hline $D$ & Sprungrate der Adatome. \\
\hline $l_D$ & Diffusionsl\"ange. \\
\hline $l_+$ und $l_-$ & von Stufenbarrieren induzierte
L\"angenskala. \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|p{2cm}|p{11cm}|}
\hline \hspace*{0cm} & {\em Zur Auswertung der statistischen
Eigenschaften von Oberfl\"achenkonfigurationen:} \\
\hline $G(\mathbf{x},t)$ & Zweipunkt-H\"ohenkorrelationsfunktion
$\langle h(\mathbf{x},t) h(0,t) \rangle$. \\
\hline $S(\mathbf{k},t)$ & Strukturfaktor, Fouriertransformierte von
$G$. \\
\hline $G_2 (\mathbf{x},t)$ & Korrelationsfunktion der
H\"ohendifferenzen \\ 
 & $\langle (h(\mathbf{x},t) \! - \! h(0,t))^2 \rangle$. \\
\hline $\xi$, $\xi_\|$, $\xi_\perp$ & laterale L\"angenskala, parallel
und senkrecht zu einer ausgezeichneten Richtung. \\
\hline $w$,$s$ & Breite der Oberfl\"ache und Steilheit . \\
\hline $z$, $\zeta$ & dynamischer und statischer Rauhigkeitsexponent. \\
\hline $\beta$, $\alpha$ & Skalenexponenten $w \! \sim \! t^\beta$, $s
\! \sim \! t^\alpha$.  \\
\hline
\end{tabular}


\section{Numerik}
Kurz skizziert sei ebenfalls die numerische Methode zur Integration
partieller Differentialgleichungen in $2 \! + \! 1$ Dimensionen, die
f\"ur verschiedenen Modelle in dieser Arbeit verwendet wurde. Es handelt
sich um Anfangswertprobleme mit einer Dynamik erster Ordnung in der
Zeit, die in allgemeinster Form folgende Gestalt haben
\begin{equation}
\label{numeq}
\partial_t h = \mathcal{L} h + \mathcal{N}[h].
\end{equation}
Die rechte Seite besteht aus einem linearen und einem nichtlinearen
Differentialoperator, die getrennt behandelt wurden. F\"ur die 
Anfangskonfiguration wurde an jedem Gitterpunkt $\mathbf{x} \! =
(i,j)$ unabh\"angig eine H\"ohe $h_0(\mathbf{x})$ aus dem Intervall
$[-\epsilon/2,\epsilon/2)$ mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte
ausgew\"urfelt. Meist wurde $\epsilon \! = \! 1/1000$ gew\"ahlt.

Der lineare Operator besitzt hohe (vierte) Ableitungen, so da\ss{} zur
besseren Stabilit\"at ein semiimplizites Crank-Nicholson--Schema
verwendet wurde. Ausgehend von einer Konfiguration $h_t$ ergibt sich
die Konfiguration zum Zeitpunkt $t \! + \! \tau$ zu
\begin{displaymath}
h_{t + \tau}^{\mathcal{L}} = \left( 1 - \frac{\tau}{2} \mathcal{L}
\right)^{-1}\left( 1 - \frac{\tau}{2} \mathcal{L} \right) \; h_t
\end{displaymath}
In Fourierdarstellung ist der Differentialoperator $\mathcal{L}$
diagonal, so da\ss{} $h_{t + \tau}^{\mathcal{L}}$ mit Hilfe einer
schnellen Fouriertransformation (FFT) einer Bibliotheksroutine (NAG)
berechnet wurde. Es wurden daher Gitter mit $2^n \times 2^n$, $n = 5,
\dots, 10$ Gitterpunkten verwendet.

F\"ur den nichtlinearen Anteil wurde aus Zeitgr\"unden der
Integrationsschritt explizit berechnet,
\begin{displaymath}
 h + \tau \mathcal{N}[h],
\end{displaymath}
wobei die Schrittweite $\tau$ angepa\ss{}t wurde, um die Gr\"o\ss{}e
des zweiten Terms zu kontrollieren.

Die beiden Operatoren $\mathcal{L}$ und $\mathcal{N}$ wurden nach zwei
Schemata miteinander verkn\"upft, einmal durch direkte Addition beider
Beitr\"age ausgehend von $h_t$:
\begin{displaymath}
h_{t + \tau} = h_{t + \tau}^{\mathcal{L}} + \tau \mathcal{N}[h_t],
\end{displaymath}
zum anderen, indem beide Schritte hintereinander ausgef\"uhrt wurden
({\em method of fractional steps}, \cite{Press}):
\begin{displaymath}
h_{t + \tau} = h_{t + \tau}^{\mathcal{L}} + \tau \mathcal{N}[h_{t +
\tau}^{\mathcal{L}}].
\end{displaymath}
F\"ur hinreichend kleine Zeitschritte ergaben sich keine merklichen
Abweichungen zwischen beiden Methoden.




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  Surface Science {\bf 369}, 393 (1996). 
\bibitem{Nozieres} P.\ Nozi\`eres in {\em Solids far from
  equilibrium}, Hrsg.: C.\ Godr\`eche, Cambridge University Press
  (1991).
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\bibitem{VanBeijerenNolden} H.\ van Beijeren und I.\ Nolden in {\it
Structure and dynamics of surfaces II\/}, Hrsg.: W.\ Schommers und P.\
von Blanckenhagen, Springer (1990). 
\bibitem{Janssen} H.K.\ Janssen, Vorabdruck.
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  Integrals, Series and Products, Section {\bf 3.462}, Academic Press
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\bibitem{Press} W.H.\ Press, B.P.\ Flannery, S.A.\ Teukolsky und W.T.\
Vetterling, {\it Numerical Recipies}, Cambridge University Press (1986).
\end{thebibliography}

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	{\large \bf Danksagung} 
\end{center} 

\vspace*{0.5cm}

Vielen Personen ist f\"ur ihre Zusammenarbeit und Unterst\"utzung beim
Entstehen dieser Arbeit zu danken.

Allen voran danke ich J.\ Krug f\"ur die Themenvergabe, behutsame
F\"uhrung und st\"andige Mitarbeit, und nicht zuletzt, weil er mir
viele wissenschaftliche Kontakte erm\"oglicht hat.

F\"ur anregende Diskussionen sei gedankt L.A.N.\ Amaral, T.\
Ala-Nissil\"a, A.-L.\ Barab\'asi, A.\ Bray, H.\ Chat\'e, R.\ Cuerno,
H.\ Dobbs, R.\ Grauer, J.\ Hager, A.\ Hanisch, T.\ Hwa, I.\ Janosi,
H.\ Kallabis, H.\ Kinzelbach, M.\ Kraus, R.\ Lipowsky, S.\ Majaniemi,
T.\ Newman, O.\ Pierre-Louis, P.\ Politi, M.\ Pr\"ahofer, N.\
Provatas, F.\ Rojas In\'\i{}guez, M.\ Schimschak, G.\ Schuckert, U.\
Schwarz, W.\ Selke, P.\ \v{S}milauer, H.\ Spohn, L.H.\ Tang, W.\
Wintz, D.E.\ Wolf und I.\ Yekutieli.

Im Arbeitsalltag und bei Schwierigkeiten am Rechnernetzwerk haben mich
unterst\"utzt U.\ Funk, C.\ Jansen, F.\ J\"ulicher, M.\ Kraus, R.\
Oberhage, H.\ Paffen, B.\ Sacha und M.\ Schimschak. Ihnen ein
herzliches Dankesch\"on.

F\"ur ihre Gastfreundschaft m\"ochte ich danken dem Isaac Newton
Institute in Cambridge, der Universit\"at von Helsinki und dem ICTP
Triest.

Finanziell gef\"ordert wurde diese Arbeit vom Forschungszentrum
J\"ulich, von der Universit\"at GHS Essen und von der DFG im
Sonderforschungsbereich 237.

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	{\large \bf Lebenslauf} 
\end{center} 

\vspace{0.5cm}

\begin{tabbing}
\hspace*{3cm} \= \kill
{\bf Personalien} \> Martin Rost \\
\> Herwarthstra\ss{}e 89 \\
\> 45138 Essen \\
\> \\
{\bf 26.6.1967} \> Geboren in M\"unchen. \\

\> \\

{\bf 1973-1977} \> Grundschule in Leutershausen und Nu\ss{}loch
bei Heidelberg. \\

\> \\

{\bf 1977-1986} \> Kurf\"urst--Friedrich--Gymnasium in Heidelberg. \\
 \> Abitur. \\

\> \\

{\bf 1986-1987} \> Milit\"ardienst. \\

\> \\

{\bf 1987-1989} \> Physikstudium an der Ruprecht-Karls-Universit\"at
in Heidelberg. \\
\> Vordiplom. \\

\> \\

{\bf 1989-1990} \> Physikstudium an der Universit\a'e Paris--Sud in
Orsay/Frankreich. \\
 \> Abschlu\ss{}: Licence de Physique. \\

\> \\

{\bf 1990-1993} \> Physikstudium an der Ludwig-Maximilians-Universit\"at
in M\"unchen. \\
\> Diplomarbeit {\em Beweglichkeit von Phasengrenzfl\"achen} unter Anleitung \\
\> von Prof.\ Herbert Spohn. Diplom.\\

\> \\

{\bf 1993-1996} \> Promotionsstudium an der Universit\"at zu K\"oln
unter Anleitung \\ 
\> von Dr.\ Joachim Krug am Institut f\"ur 
Festk\"orperforschung, \\ 
\> Forschungszentrum J\"ulich. \\

\> \\

{\bf seit 1.4.96} \> Promotionsstudium an der Universit\"at
Gesamthochschule Essen. \\
\> unter Anleitung von Prof.\ Joachim Krug. \\

\end{tabbing}

\newpage

Ich versichere, da\ss{} ich die von mir vorgelegte Disertation
selbst\"andig angefertigt, die benutzten Quellen und Hilfsmittel
vollst\"andig angegeben und die Stellen der Arbeit --
einschlie\ss{}lich Tabellen, Karten und Abbildungen --, die anderen
Werken im Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen sind, in jedem
Einzelfall als Entlehnung kenntlich gemacht habe. Die Bestimmungen der
Promotionsordnung sind mir bekannt. Die von mir vorgelegte
Dissertation ist von Prof.\ Dr.\ J.\ Krug betreut worden.

\end{document}





