------------------------------------------------------------------------ AUF DER SUCHE NACH STRUKTUREN KOMPLEXER PHÄNOMENE VOLKHARD NORDMEIER, H. JOACHIM SCHLICHTING UNIVERSITÄT ESSEN (IN: PRAXIS DER NATURWISSENSCHAFTEN - PHYSIK, 1/45 (1996)) ------------------------------------------------------------------------ INHALT : * KOMPLEXE SIGNALE * WIE MISST MAN KOMPLEXITÄT ? * FOURIERANALYSE, LEISTUNGSSPEKTRUM UND AUTOKORRELATION * TRAJEKTORIEN - BAHNEN IM ZUSTANDSRAUM * REKONSTRUKTION EINES ZUSTANDSRAUMES * INFORMATIONEN AUS DEM ZUSTANDSRAUM * ATTRAKTOREN - FRAKTALE IM ZUSTANDSRAUM * BESTIMMUNG DER ATTRAKTORDIMENSION * FRAKTALE STRUKTUREN KOMPLEXER PHÄNOMENE * LITERATUR ------------------------------------------------------------------------ ES KANN NICHT MEHR DARUM GEHEN, INS INNERE DER DINGE EINZUDRINGEN,SONDERN DARUM, IHRE FINITEN ERSCHEINUNGSFORMEN ZU ERSCHLIESSEN, DAS HEISST, IHRE WAHRNEHMBAREN, GREIFBAREN - ODER ZÄHLBAREN FORMEN. PAUL VALÉRY (UP) KOMPLEXE SIGNALE DER MENSCH WIRD TAGTÄGLICH MIT EINER VIELZAHL AN WAHRNEHMUNGEN KONFRONTIERT UND REAGIERT STÄNDIG AUF REIZE VERSCHIEDENSTER HERKUNFT. VIELE DER SIGNALE KÖNNEN WIR DABEI OHNE SCHWIERIGKEITEN ERFASSEN: EIN GESPRÄCH MIT DEM NACHBARN, DER BRIEF EINES ALTEN BEKANNTEN, DIE NACHRICHTENSENDUNG IM RADIO ODER DIE REPORTAGE IN DER ZEITUNG. ABER EBENSO EXISTIEREN EINE VIELZAHL VON SIGNALEN AUS NATUR UND TECHNIK, DIE UNS FREMDARTIG ODER UNVERSTÄNDLICH, JA SOGAR REIN ZUFÄLLIG ERSCHEINEN: EIN BUCH ODER EINE ZEITUNG IN FREMDER SPRACHE, DER GESANG EINES VOGELS ODER EINES POTTWALS, DAS NÄCHTLICHE RAUSCHEN EINES FERNSEHGERÄTES ODER DAS PIEPSEN EINES VERSEHENTLICH ANGERUFENEN FAXGERÄTES, DIE FEHLERMELDUNGEN EINER UNBEKANNTEN COMPUTEROBERFLÄCHE, DAS PLÄTSCHERN EINES BACHES ODER DAS RASCHELN DER BLÄTTER EINES BAUMES. DIESE SIGNALE HABEN EINES GEMEINSAM: SIE SIND KOMPLEX UND FÜR UNS ZUNÄCHST UNVERSTÄNDLICH, SO DASS WIR SIE OFTMALS SOGAR ALS ZUFÄLLIG BZW. STOCHASTISCH ODER EINFACH ALS RAUSCHEN BEZEICHNEN. TROTZDEM LÄSST SICH DIE KOMPLEXITÄT IN VIELEN FÄLLEN INSOFERN REDUZIEREN, ALS BEISPIELSWEISE AUS DEM GESANG DES VOGELS EINE NACHTIGALL UND AUS DEM RASCHELN DER BLÄTTER EINE PAPPEL ERKANNT WERDEN KANN. EINE DERARTIGE ENTSCHEIDUNG FÄLLT ALLERDINGS NICHT IMMER SO LEICHT. MANCHE FÜR UNS UNBEKANNTE SIGNALE ENTHALTEN WEDER EINE ERKENNBARE REGELMÄSSIGKEIT NOCH EINEN HINWEIS AUF IHRE HERKUNFT. WIR WOLLEN DAHER IM FOLGENDEN DER FRAGE NACHGEHEN, IN WIE WEIT BELIEBIGEN KOMPLEXEN SIGNALEN 'ANZUSEHEN' IST, OB SIE EINEN REIN ZUFÄLLIGEN CHARAKTER BESITZEN ODER VON EINEM I.E.S. SINNVOLL AGIERENDEN SYSTEM AUSGEHEN BZW. EINEN DETERMINISTISCHEN URSPRUNG HABEN. DABEI WIRD ES VOR ALLEM DARUM GEHEN, IN DEN KOMPLEXEN SIGNALEN GESTALTHAFTE ZUSAMMENHÄNGE BZW. MORPHOLOGISCHE MUSTER ZU ERKENNEN. DAS AUS DER KLASSISCHEN PHYSIK VERTRAUTE AUFDECKEN FUNKTIONALER ZUSAMMENHÄNGE SPIELT HIER EINE UNTERGEORDNETE ROLLE. ------------------------------------------------------------------------ (UP) WIE MISST MAN KOMPLEXITÄT BEI DER ERFASSUNG UND CHARAKTERISIERUNG KOMPLEXER PHÄNOMENE SPIELEN TYPISCHE ÄUSSERUNGEN (SIGNALE) DER ZUGRUNDELIEGENDEN SYSTEME EINE WESENTLICHE ROLLE. OFT ZEIGEN DIE AUS EXPERIMENTELLEN UNTERSUCHUNGEN ERMITTELTEN ZEITSERIEN VON MESSDATEN EIN DERART IRREGULÄRES BZW. KOMPLEXES VERHALTEN, DASS DER UNTERSCHEIDUNG VON SIGNALEN, DIE VON EINEM DETERMINISTISCHEN SYSTEM HERRÜHREN UND SOLCHEN, DIE REIN ZUFÄLLIGER NATUR SIND, EINE BESONDERE BEDEUTUNG ZUKOMMT. LÄSST SICH EINEM SOLCHEN SIGNAL EINE DETERMINISTISCHE (CHAOTISCHE) HERKUNFT NACHWEISEN, SO KANN VERSUCHT WERDEN, AUS DEM ERMITTELTEN ZEITLICHEN VERHALTEN DER MESSGRÖSSE EIN MODELL ZUR MATHEMATISCHEN BZW. PHYSIKALISCHEN BESCHREIBUNG DES SYSTEMS ZU ERSTELLEN. DABEI GEHT MAN VON DEM ÜBERRASCHENDEN BEFUND DER CHAOSPHYSIK AUS, DASS EXTREM EINFACHE SYSTEME, ALSO SOLCHE, DIE MIT SEHR WENIGEN - ALLERDINGS NICHTLINEAREN - DIFFERENTIALGLEICHUNGEN BESCHRIEBEN WERDEN, ZU VÖLLIG IRREGULÄREM CHAOTISCHEN VERHALTEN IN DER LAGE SIND, DAS SICH AUF DEN ERSTEN BLICK NICHT VON STOCHASTISCHEM VERHALTEN ZU UNTERSCHEIDEN SCHEINT. SOLLTE ES NUN UMGEKEHRT GELINGEN, UNBEKANNTEN IRREGULÄREN SIGNALEN 'ANZUSEHEN', DASS SIE VON DERART EINFACHEN SYSTEMEN HERRÜHREN (OHNE DIE SYSTEME IM EINZELNEN KENNEN ZU MÜSSEN), SO HÄTTE MAN EIN VERFAHREN ZUR UNTERSCHEIDUNG VON STOCHASTISCHEN UND CHAOTISCHEN SIGNALEN ZUR HAND. EIN DERARTIGES VERFAHREN SOLL IM WEITEREN VORGESTELLT WERDEN. MIT IHM GELINGT ES, DEN 'GRAD AN KOMPLEXITÄT' VON VERSCHIEDENEN IRREGULÄREN SIGNALEN ZU BESTIMMEN. STOCHASTISCHES VERHALTEN IST REIN ZUFÄLLIG UND IN SOFERN VÖLLIG UNINTERESSANT, ALS MAN DARÜBER NICHTS ANDERES SAGEN KANN, ALS WAS ES SELBST OFFENBART. CHAOTISCHES VERHALTEN IST ZWAR EBENFALLS IRREGULÄR UND VOM ZUFALL BESTIMMT, WEIST ABER GEWISSE ZEITLICHE KORRELATIONEN (D.H. ZUSAMMENHÄNGE ZWISCHEN AUFEINANDERFOLGENDEN MESSPUNKTEN) AUF, WENN AUCH - ANDERS ALS BEI KLASSISCH DETERMINISTISCHEM VORGÄNGEN - NUR MEHR ODER WENIGER STARK BEGRENZT. DIE ZEITLICHEN UND RÄUMLICHEN 'STRUKTUREN' KOMPLEXER SYSTEME WERDEN IM RAHMEN DER NICHTLINEAREN PHYSIK SEIT ETWA ZWEI JAHRZEHNTEN MIT HILFE NEUER THEORIEN UND METHODEN ERFORSCHT. DIE AUF DIESEM GEBIET SEHR ERFOLGREICHE CHAOSFORSCHUNG VERSUCHT DABEI U.A., GESETZMÄSSIGKEITEN AUFZUSPÜREN, DIE IN DEN KOMPLEXEN SIGNALEN VERBORGEN SIND. CHAOTISCHE SYSTEME ZEIGEN INSBESONDERE SENSITIVE ABHÄNGIGKEIT DER LANGZEITENTWICKLUNG VON DEN ANFANGSBEDINGUNGEN. OBWOHL BEISPIELSWEISE DIE GESETZE DER KLASSISCHEN MECHANIK ES ERLAUBEN WÜRDEN, DIE BAHN EINER KUGEL BEIM ROULETTE-SPIEL EXAKT ZU BESCHREIBEN, SO KOMMT ES DOCH ZU EINER SELBSTVERSTÄRKUNG DER UNGENAUIGKEITEN IN DEN ANFANGSBEDINGUNGEN, DIE DAS SPIELERGEBNIS ALS ZUFÄLLIG ERSCHEINEN LASSEN *). EIN ZIEL DER CHAOSFORSCHUNG IST DIE ENTWICKLUNG GEEIGNETER METHODEN UND VERFAHREN, DIE ES ERLAUBEN, DAS GLOBALE VERHALTEN UNABHÄNGIG VON DER KENNTNIS DER ANFANGSBEDINGUNGEN ZU BESCHREIBEN. DER THEORIE DER FRAKTALE KOMMT DABEI EINE BESONDERE BEDEUTUNG ZU: EIN ZEITLICH IRREGULÄR ERSCHEINENDES SIGNAL WIRD IN EIN GEOMETRISCHES OBJEKT UMGEWANDELT. EINGEBETTET IN EINEN MEHRDIMENSIONALEN ZUSTANDSRAUM KANN ES GGF. ERSTAUNLICH GEORDNETE STRUKTUREN ZEIGEN UND MITTELS GEEIGNETER KENNGRÖSSEN WIE BEISPIELSWEISE DER FRAKTALEN DIMENSION CHARAKTERISIERT WERDEN. ------------------ *)DAS ROULETTE, 'WÜRFEL'-SPIELE UND AUCH DAS KLASSISCHE MAGNETPENDEL STELLEN IM EIGENTLICHEN SINNE GAR KEINE DYNAMISCHEN SYSTEME DAR: OHNE ÄUSSEREN ANTRIEB KOMMEN DERARTIGE SYSTEME AUFGRUND VON REIBUNG SCHNELL ZUR RUHE - SIE BESITZEN EINEN (IM FRAKTALEN SINNE) NULL-DIMENSIONALEN FIXPUNKT-ATTRAKTOR. DAS 'VERHALTEN' DIESER SYSTEME BESCHRÄNKT SICH AUF EINEN EINSCHWINGVORGANG /TRANSIENTES CHAOS) IN DIE RUHELAGE. ------------------------------------------------------------------------ (UP) FOURIERANALYSE, LEISTUNGSSPEKTRUM UND AUTOKORRELATION AUF DER SUCHE NACH MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHEN WERKZEUGEN ZUR ANALYSE VON ZEITREIHEN STÖSST MAN AUF ZWEI 'KLASSISCHE' METHODEN, DAS LEISTUNGSSPEKTRUM UND DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION, DIE ZUDEM MATHEMATISCH (WIENER-KHINTCHINE-THEOREM) MITEINANDER VERKNÜPFT SIND (SIEHE [3]). BEI DER BETRACHTUNG DES ZEITVERLAUFS EINES MESSSIGNALS ERSCHEINT ES ZUNÄCHST EINFACH, ZWISCHEN REGULÄREM UND IRREGULÄREM VERHALTEN ZU UNTERSCHEIDEN. STÖSST MAN AUF EIN IRREGULÄRES SIGNAL, ERGIBT SICH ALLERDINGS DAS PROBLEM, NACHZUWEISEN, OB ES SICH DABEI UM EINEN EINSCHWINGVORGANG, EINE REGULÄRE BEWEGUNG MIT SEHR LANGER PERIODE, EIN QUASIPERIODISCHES ODER GAR EINEN CHAOTISCHEN VORGANG HANDELT. DURCH AUSWERTUNG EINER ZEITMESSREIHE MIT DER FOURIERANALYSE KANN DABEI ALS ERSTER SCHRITT REGULÄRES UND IRREGULÄRES VERHALTEN UNTERSCHIEDEN WERDEN: EIN DISKRETES LEISTUNGSSPEKTRUM KANN ALS CHARAKTERISTISCH FÜR EIN PERIODISCHES ODER QUASIPERIODISCHES SIGNAL ANGESEHEN WERDEN. EIN KONTINUIERLICHES LEISTUNGSSPEKTRUM WEIST AUF IRREGULÄRES VERHALTEN HIN. BIS HEUTE IST JEDOCH NOCH KEIN VERFAHREN BEKANNT, DAS ES ERLAUBT, AUS EINEM LEISTUNGSSPEKTRUM DIREKT ABZULESEN, OB EINE STOCHASTISCHE ANREGUNG ODER DIE NICHTLINEARE CHARAKTERISTIK EINES DETERMINISTISCHEN SYSTEMS ALS URSACHE FÜR DAS IRREGULÄRE VERHALTEN IN FRAGE KOMMT. DAS LEISTUNGSSPEKTRUM GIBT UNS ALLERDINGS INFORMATIONEN ÜBER DEN GRAD AN KORRELIERTHEIT BZW. 'ZUFÄLLIGKEIT' DER BETRACHTETEN DATEN. VERHÄLT SICH DER ANALYSIERTE DATENSATZ IM LEISTUNGSSPEKTRUM WIE EIN WEISSES RAUSCHEN, BEDEUTET DIES EINE VÖLLIGE UNKORRELIERTHEIT DES SIGNALS; UND DIE INTERPRETATION DES UNTERSUCHTEN SIGNALS ALS EINE ZUFALLSFOLGE VON EREIGNISSEN LIEGT NAHE. [IMAGE] ABB.1: LEISTUNGSSPEKTREN VERSCHIEDENER RAUSCHKLASSEN. ZEIGT DAS LEISTUNGSSPEKTRUM ANDERE ARTEN VON KORRELATIONEN (ETWA EIN SOG. 1/F -VERHALTEN, DAS VIELE NATÜRLICHE SYSTEME KENNZEICHNET (VGL. ABB.1, AUS [3]), SO NEIGT MAN DAZU, ALS URSPRUNG DES SIGNALS EIN DETERMINISTISCHES (CHAOTISCHES), D.H. EIN I.E.S. SINNVOLL AGIERENDES, SYSTEM ANZUNEHMEN. ALLERDINGS KÖNNEN U.U. AUCH NUMERISCH ERZEUGTE ZUFALLSREIHEN EIN 1/F -VERHALTEN AUFWEISEN [4]. DAHER KANN DAS LEISTUNGSSPEKTRUM NUR ALS EIN ERSTER SCHRITT AUF DEM WEGE DER ANALYSE EINES UNBEKANNTEN, IRREGULÄREN SIGNALS DIENEN. [IMAGE] ABB.2: AUTOKORRELATIONSFUNKTIONEN DER RAUSCHKLASSEN. DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION ERFASST DEMGEGENÜBER DIREKT DIE ZEITLICHE KORRELATION EINER ZEITREIHE BZW. FUNKTION MIT SICH SELBST: ES WIRD JEWEILS DER ZUSAMMENHANG EIN UND DERSELBEN MESSGRÖSSE ZU VERSCHIEDENEN ZEITPUNKTEN T UND T+TAU UNTERSUCHT UND ALS EINE FUNKTION DER DIFFERENZ DARGESTELLT. DIESE FUNKTION SPIEGELT SO GESEHEN DAS 'ERINNERUNGSVERMÖGEN' DES SYSTEMS WIEDER: BESTEHT DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION AUS NUR EINER EINZIGEN 'SPITZE' BEI TAU= 0 UND VERSCHWINDET SIE FÜR ALLE ANDEREN TAU-WERTE, SO LÄSST SICH DIE ANALYSIERTE MESSREIHE AUF VOLLKOMMEN ZUFÄLLIGES, STOCHASTISCHES VERHALTEN ZURÜCKFÜHREN. ES BESTEHT VON ANFANG AN KEINERLEI ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEM SIGNAL ZUM ZEITPUNKT T UND IRGENDEINEM SPÄTEREN ZEITPUNKT T+TAU (ABB.2.A). IN DER PRAXIS ERGIBT SICH ALS AUTOKORRELATIONSFUNKTION EINES IRREGULÄREN SIGNALS ALLERDINGS EINE KONTINUIERLICHE FUNKTION, DIE MEHR ODER WENIGER SCHNELL AUF FUNKTIONSWERTE UM NULL ABKLINGT - EINE EINDEUTIGE INTERPRETATION DES DATENSATZES BLEIBT SCHWIERIG, WENN NICHT UNMÖGLICH (VGL. ABB.2.B U. 2.C, AUS [3]). ALLERDINGS GILT HIER: JE 'SCHNELLER' DIE FUNKTION ABFÄLLT, DESTO WENIGER INNERE ZUSAMMENHÄNGE EXISTIEREN INNERHALB DES SIGNALS, DESTO NÄHER LIEGT DIE INTERPRETATION ALS EINE ZUFALLSFOLGE. EINE EINDEUTIGE UNTERSCHEIDUNG ZWISCHEN REIN ZUFÄLLIGEN UND DETERMINISTISCH-CHAOTISCHEN SIGNALEN IST DAHER AUCH MIT DIESEM ANALYSEVERFAHREN NICHT IMMER MÖGLICH. ------------------------------------------------------------------------ (UP) TRAJEKTORIEN - BAHNEN IM ZUSTANDSRAUM BETRACHTEN WIR EIN KOMPLEXES SYSTEM, SO KANN DER JEWEILIGE ZUSTAND ZUR ZEIT T DURCH EINEN SATZ VON ZEITABHÄNGIGEN PARAMETERN BZW. VARIABLEN X(T), Y(T), ... BESCHRIEBEN WERDEN. MAN KANN DIESEN SATZ VON ZUSTANDSVARIABLEN AUCH ALS EINEN ZUSTANDSVEKTOR DARSTELLEN: [IMAGE] JEDER ZUSTAND DES SYSTEMS LÄSST SICH IN DEM DURCH DIESE ZUSTANDSVEKTOREN AUFGESPANNTEN MEHRDIMENSIONALEN VEKTORRAUM EINDEUTIG DARSTELLEN. ER ENTSPRICHT JEWEILS EINEM PUNKT IM ZUSTANDSRAUM. FÜR DAS AUFSPANNEN EINES ZUSTANDSRAUMES IST ES DAHER NOTWENDIG, ALLE BESCHREIBENDEN VARIABLEN DES SYSTEMS GLEICHZEITIG ZU KENNEN. DIE ZEITLICHE VERÄNDERUNG DES SYSTEMZUSTANDES ERGIBT SICH DANN ALS EINE PUNKTFOLGE VON ZUSTÄNDEN, AUS DENEN SICH KURVEN ERGEBEN, DIE SOGENANNTEN TRAJEKTORIEN. DIE VARIABLEN WERDEN ALSO NICHT MEHR ÜBER DER ZEIT, SONDERN QUASI ZEITVERSETZT GEGENEINANDER AUFGETRAGEN: AUS DER ZEITSERIE ENTSTEHT EINE GEOMETRISCHE PUNKTFOLGE. EIN GEDANKLICHER SPAZIERGANG LÄNGS EINER SOLCHEN TRAJEKTORIE IM ZUSTANDSRAUM LIESSE DIE ZEITLICHE ABFOLGE DES SIGNALS ERKENNEN. DER EIGENTLICHE VORTEIL DER DARSTELLUNG EINES SIGNALS IN EINEM ZUSTANDSRAUM ERWEIST SICH VOR ALLEM BEI CHAOTISCHEN SYSTEMEN: DIE TRAJEKTORIEN DISSIPATIVER DYNAMISCHER SYSTEME, ZU DENEN I.A. AUCH NATÜRLICHE SYSTEME GEZÄHLT WERDEN, LAUFEN AUF EINEN ATTRAKTOR ZU UND BLEIBEN AUF IHM (DIE FOLGENDEN BETRACHTUNGEN BEZIEHEN SICH DAHER IMMER AUF DISSIPATIVE SYSTEME.). IM FALLE EINER CHAOTISCHEN DYNAMIK FÜHRT DIES I.A. ZU SELTSAMEN ATTRAKTOREN, FRAKTALEN GEBILDEN IM ZUSTANDSRAUM, DIE SEHR KOMPLIZIERTE ABER ZUGLEICH GEORDNET ERSCHEINENDE GEOMETRISCHE FORMEN ANNEHMEN KÖNNEN. IHRE INNERE ORDNUNG WIRD DANN OFFENBAR, WENN MAN SIE BEISPIELSWEISE MIT DEN DIFFUSEN 'PUNKTWOLKEN' VERGLEICHT, DIE BEI DER ENTSPRECHENDEN DARSTELLUNG STOCHASTISCHER PROZESSE ENTSTEHEN (VGL. ABB.6). EINE UNTERSUCHUNG DER GEOMETRISCHEN STRUKTUREN DES ATTRAKTORS SOLLTE DAHER AUCH AUFSCHLUSS ÜBER DAS SYSTEMVERHALTEN GEBEN. LEIDER VERFÜGT MAN I.A. NICHT ÜBER DIE KENNTNIS ALLER VARIABLEN. IN VIELEN FÄLLEN LIEGT SOGAR NUR DIE ZEITSERIE EINER VARIABLEN VOR. ABER AUCH IN DIESEN FÄLLEN IST DIE METHODE DER ZUSTANDSRAUMDARSTELLUNG ANWENDBAR, DA AUFGRUND DER NICHTLINEAREN KOPPLUNG DER VARIABLEN SICH DAS VERHALTEN JEDER VARIABLEN IN JEDER ANDEREN WIDERSPIEGELT. MAN GEWINNT DIE FEHLENDEN VARIABLEN ENTWEDER DURCH DIE ZEITLICHEN ABLEITUNGEN [IMAGE] (DIESE DARSTELLUNG HEISST DAN AUCH PHASENRAUMPORTRAIT ODER -DARSTELLUNG) ODER DIE SOGENANNTEN DELAY-VARIABLEN (S.U.). ------------------------------------------------------------------------ (UP) REKONSTRUKTION EINES ZUSTANDSRAUMES DIE SCHWANKUNGEN IN DEN MESSGRÖSSEN EINES SIGNALS ENTHALTEN INFORMATIONEN ÜBER DIE WECHSELWIRKENDEN PROZESSE UND ÜBER DIE INNEREN KOPPLUNGEN DES SYSTEMS. INSBESONDERE KANN MAN DAVON AUSGEHEN, DASS AUCH EINE VERKNÜPFUNG DER VARIABLEN UNTEREINANDER BESTEHT. EIN PARAMETER WIRD SICH NICHT UNABHÄNGIG VON DER DYNAMIK EINES ANDEREN VERHALTEN, JEDE VARIABLE ENTHÄLT AUFGRUND DER WECHSELWIRKUNG BZW. GEGENSEITIGER (PHYSIKALISCHER) BEEINFLUSSUNG MIT DEN ÜBRIGEN VARIABLEN INFORMATIONEN ÜBER DIE GESAMTDYNAMIK DES SYSTEMS. BEREITS IM JAHRE 1981 HAT DER MATHEMATIKER F. TAKENS [1] EIN THEOREM AUFGESTELLT UND BEWIESEN, DAS BESAGT, DASS SICH IM PRINZIP AUS DER GENAUEN KENNTNIS EINER EINZELNEN DER BESCHREIBENDEN VARIABLEN INFORMATIONEN ÜBER DAS GESAMTE SYSTEM GEWINNEN LÄSST. (EINE SOLCHE MESSGRÖSSE SOLLTE GEMÜGEND GENAU (DELTA T GEGEN 0) UND LANG (T GEGEN UNENDLICH) AUFGENOMMEN WERDEN. IN DER PRAKTISCHEN ANWENDUNG DIESER IDEE WERDEN ALLERDINGS GERINGERE ANFORDERUNGEN AN DAS DATENMATERIAL GESTELLT.) SO ENTWICKELTEN SICH IN DEN LETZTEN ZEHN JAHREN VERFAHREN ZUR REKONSTRUKTION EINES KÜNSTLICHEN ZUSTANDSRAUMES ([2],[5]) DIE BEI DER MESSUNG VON NUR EINER VARIABLEN DIE DARSTELLUNG UND ENTWICKLUNG EINER PSEUDO-TRAJEKTORIE ERMÖGLICHEN. ALS BESONDERS ERFOLGREICH HAT SICH DIE EINFÜHRUNG VON DELAY- BZW. ZEITVERZÖGERTEN VARIABLEN ERWIESEN. DIE ZEITLICHE ENTWICKLUNG EINER EINZELNEN REIHE VON MESSWERTEN EINER EINZIGEN VARIABLEN ERMÖGLICHT DIE KONSTRUKTION EINES ZUSTANDSVEKTORS: AUS EINEM EINZIGEN ZEITSIGNAL WERDEN DIE 'HÖHEREN' VARIABLEN AUS ZEITVERSCHOBENEN MESSWERTEN DES ORIGINALEN SIGNALS ERZEUGT. DER FOLGENDE ALGORITHMUS SOLL DIESES VERFAHREN ANHAND DER REKONSTRUKTION EINES DREI-DIMESIONALEN ZUSTANDSRAUMES VERDEUTLICHEN: 1. GEGEBEN SEI EINE MESSREIHE VON N (ÄQUIDISTANTEN) MESSWERTEN X(T1),...,X(TN). 2. EINFÜHRUNG VON DELAY-VARIABLEN: [IMAGE] DER ZUSTANDSVEKTOR [IMAGE] STEHT DANN FÜR EINEN PUNKT IM ZUSTANDSRAUM MIT DEN KOORDINATEN (XI, YI, ZI) BZW.: [IMAGE] 3. REKONSTRUKTION EINES 3-DIMENSIONALEN ZUSTANDSRAUMES AUS DEN ZEITREIHEN DER DREI 'NEUEN' VARIABLEN: [IMAGE] [IMAGE] [IMAGE] ES HANDELT SICH BEI DIESEM VERFAHREN ZUR GEWINNUNG WEITERER VARIABLEN LEDIGLICH UM EINE VERSCHIEBUNG DER MESSWERTE UM EIN FESTES ZEITINTERVALL . DIES SOLL IM FOLGENDEN AN EINEM BEISPIEL ERLÄUTERT WERDEN: DER ATTRAKTOR EINER HARMONISCHEN (UNGEDÄMFPTEN) SCHWINGUNG (Z.B. DIE BEWEGUNG EINES MASSEPUNKTES AN EINEM (LINEAREN) FEDERPENDEL) LÄSST SICH IN EINEM ZWEI-DIMENSIONALEN PHASENRAUM (DIE BESCHREIBENEN VARIABLEN SEIEN DER ORT X UND DIE GESCHWINDIGKEIT V) IM IDEALFALL ALS KREIS DARSTELLEN. ES SEI NUN EXPERIMENTELL NUR MÖGLICH, EINE DER BEIDEN VARIABLEN MESSTECHNISCH ZU ERFASSEN, BEISPIELSWEISE DEN ORT X(T): DIE GEMESSENE ZEITSERIE KÖNNTE DANN IN DER FORM [IMAGE] ANGEBEN WERDEN. VERSUCHT MAN JETZT, AUS DIESEM SIGNAL EINEN PSEUDO-ZUSTANDSRAUM ZU REKONSTRUIEREN, INDEM X(T) GEGEN X(T+) AUFGETRAGEN WIRD, SO GELINGT BEI GEEIGNETER WAHL VON SOGAR EINE EXAKTE REKONSTRUKTION: WIRD DIE VERZÖGERUNGSZEIT SO GEWÄHLT, DASS SIE EINEM VIERTEL DER SCHWINGUNGSPERIODE TC ENTSPRICHT (AUCH FÜR KOMPLIZIERTE ZEITREIHEN HAT ES SICH BEWÄHRT, ALS DELAY-ZEIT EINEN BRUCHTEIL EINER KLEINSTEN CHARAKTERISTISCHEN PERIODE TC ZU WÄHLEN.), SO GILT: [IMAGE] MIT [IMAGE] ERGIBT SICH DANN: [IMAGE]. WÄHLT MAN IN DIESEM BEISPIEL EINE ANDERE VERZÖGERUNGSZEIT , SO ERGEBEN SICH FÜR FAST ALLE IM REKONSTRUIERTEN ZUSTANDSRAUM MEHR ODER WENIGER 'SCHÖNE' ELLIPSEN (LEDIGLICH FÜR GANZZAHLIGE VIELFACHE VON ENTARTEN DIE ELLIPSEN). DIE STRUKTUR DES REKONSTRUIERTEN ATTRAKTORS (D.H. SEINE TOPOLOGISCHEN EIGENSCHAFTEN) IST IN DIESEM FALL OFFENSICHTLICH WEITGEHEND UNABHÄNGIG VON DER WAHL DER VERZÖGERUNGSZEIT. WÄHREND DIE ZUSAMMENHÄNGE BEI DIESEM EINFACHEN BEISPIEL LEICHT EINSICHTIG GEMACHT WERDEN KÖNNEN, SIND DIE VERHÄLTNISSE BEI CHAOTISCHEN ATTRAKTOREN SEHR VIEL KOMPLIZIERTER UND ANSCHAULICH NICHT SO LEICHT ZUGÄNGLICH. EINE WICHTIGE VORAUSSETZUNG FÜR DIE ERFOLGREICHE REKONSTRUKTION VON ZUSTANDSRÄUMEN STELLT DIE ERHALTUNG DER TOPOLOGISCHEN STRUKTUREN DER ATTRAKTOREN DAR; SO DÜRFEN SICH BEISPIELSWEISE DIE TRAJEKTORIEN AUCH IM PSEUDO-ZUSTANDSRAUM NICHT SCHNEIDEN. OBWOHL DAS VERFAHREN DER REKONSTRUKTION IN VIELERLEI HINSICHT WILLKÜRLICH ERSCHEINT, ZEIGT ES SICH DOCH, DASS BEI DER WAHL EINES AUSREICHEND GROSSEN ZUSTANDSRAUMES DIE TOPOLOGISCHEN EIGENSCHAFTEN DER PSEUDO-TRAJEKTORIEN MIT DENEN IM ORIGINAL-ZUSTANDSRAUM I.A. STARK KORRELIERT SIND, JA SOGAR PRINZIPIELL 'GLEICHWERTIG' SIND: DIES BEDEUTET, DASS BEI DER REKONSTRUKTION DIE GEOMETRISCHEN INVARIANTEN DER DYNAMIK, WIE Z.B. DIE FRAKTALE DIMENSION ODER DIE LYAPUNOV-EXPONENTEN, MIT SICHERHEIT DANN ERHALTEN BLEIBEN, WENN DIE DIMENSION DES ZUSTANDSRAUMES ENTSPRECHEND GROSS GEWÄHLT WIRD (VGL. [1], [5]). DIE GÜTE DIESES REKONSTRUKTIONSVERFAHREN HÄNGT NUN IM ALLGEMEINEN ALLERDINGS AUCH VON DER WAHL VON AB. ZUR BESTIMMUNG EINER OPTIMALEN DELAY-ZEIT WURDEN DAHER VERSCHIEDENSTE VERFAHREN ENTWICKELT (VGL. [5],[6.]). ALS EINE GÜNSTIGE WAHL DER VERZÖGERUNGSZEIT ERWEIST SICH BEISPIELSWEISE DER ZEITWERT, BEI DEM DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION IHR ERSTES MINIMUM ODER IHRE ERSTE NULLSTELLE BESITZT. ------------------------------------------------------------------------ (UP) INFORMATIONEN AUS DEM ZUSTANDSRAUM IM ABSTRAKTEN EREIGNET SICH HEUTE DAS WESENTLICHE. ROBERT MUSIL DIE BETRACHTUNG EINES ATTRAKTORS IM ZUSTANDSRAUM LÄSST KORRELATIONEN ERKENNEN, DIE ALLEIN MIT HILFE DER OBEN BESCHRIEBENEN METHODEN DER SIGNALANALYSE MITTELS LEISTUNGSSPEKTRUM UND AUTOKORRELATIONSFUNKTION NICHT AUFFINDBAR WÄREN. DIE ATTRAKTOR-DARSTELLUNG IM ZUSTANDSRAUM GIBT UNS SOMIT WEITERE, WERTVOLLE INFORMATIONEN ÜBER DIE HERKUNFT DES UNTERSUCHTEN SIGNALS. IM FOLGENDEN SOLL NUN DIE 'PRAKTISCHE' ANWENDUNG DES OBEN SKIZZIERTEN ALGORITHMUS ZUR REKONSTRUKTION EINES ZUSTANDSRAUMES ANHAND EINES WEITEREN BEISPIELS GEZEIGT WERDEN. GEGEBEN SEI EINE REIHE VON MESSWERTEN (AUS ABB.3.): X(T) : 16.8, 16.1, 13.2, 9.2, 5.1, 1.5, -1.3, . . . WÄHLEN WIR ALS VERZÖGERUNGS-ZEIT BEISPIELSWEISE [IMAGE], SO KÖNNEN ZUR REKONSTRUKTION DES DREIDIMENSIONALEN PSEUDO-ZUSTANDSRAUMES AUS OBIGER MESSREIHE SUKZESSIVE EINE REIHE ENTSPRECHEND ZEITVERZÖGERTER ZUSTANDSVEKTOREN GEBILDET WERDEN: ZU JEDEM X(T)-WERT WIRD DER JEWEILS ZWEITE DER FOLGENDEN MESSWERTE ALS Y(T)-WERT UND JEDER VIERTE DER NACHFOLGENDEN MESSWERTE ALS Z(T)-WERT ZUGEORDNET UND DANN JEWEILS ZU EINEM DREIER-TUPEL ZUSAMMENGESCHLOSSEN. [IMAGE] ABB.3: EXPERIMENTELLE ZEITSERIE VON (ÄQUIDISTANTEN) MESSWERTEN. ANHAND DIESES VERFAHRENS GEWINNT MAN EINE REIHE VON VEKTOREN : [IMAGE](16.8, 13.2, 5.1), [IMAGE](16.1, 9.2, 1.5), [IMAGE](13.2, 5.1, -1.3), . . . WERDEN DIESE PSEUDO-ZUSTANDSVEKTOREN DER REIHE NACH IN EINEN DREIDIMENSIONALEN ZUSTANDSRAUM EINGEBETTET (ABB.4), SO ENTSTEHT EIN IM GEOMETRISCHEN SINNE RÄUMLICH ORIENTIERTES GEBILDE, EINE IM RAUM LEICHT GEKRÜMMTE LINIE, EINE PSEUDO-TRAJEKTORIE. ÜBERLÄSST MAN DIE BILDUNG DERARTIGER ZUSTANDSVEKTOREN BZW. TRAJEKTORIEN DEM COMPUTER, SO KÖNNEN BINNEN KÜRZESTER ZEIT AUCH LÄNGERE (EINDIMENSIONALE) DATENREIHEN 'GEOMETRISIERT' WERDEN: DIE AUS DER ZEITREIHE AUS ABB.3 REKONSTRUIERTEN TRAJEKTORIEN LAUFEN SCHNELL AUF EIN KOMPAKTES GEBILDE IM 3D-RAUM ZU, DEM SOGENANNTEN LORENZ-ATTRAKTOR (ABB.5). [IMAGE] ABB.4: TEILSTÜCK DER REKONSTRUIERTEN 'TRAJEKTORIE' AUS DEN ERSTEN MESSWERTEN DER ZEITREIHE AUS ABB.3. [IMAGE] ABB.5: AUS DER ZEITREIHE AUS ABB.3 ERWÄCHST DER LORENZ-ATTRAKTOR. SPÄTESTENS JETZT STELLT SICH DIE FRAGE NACH DER HERKUNFT OBIGER ZEITREIHE: DIESER DATENSATZ WURDE BEI SIMULATIONEN ZUR DYNAMIK DES LORENZ-SYSTEMS (EIN SYSTEM VON DREI GEKOPPELTEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, VGL. [7]) GEWONNEN. ZUR ERSTELLUNG VON ABB.3 WURDEN DIE NUMERISCH BERECHNETEN WERTE DER X-KOMPONENTE (INKL.. 'EINSCHWINGVORGANG', VGL.ABB. 4 U. 5) GESPEICHERT. WÄHREND BEI DER SIMULATION DES LORENZ-SYSTEMS DREI DIFFERENTIALGLEICHUNG INTEGRIERT WERDEN MÜSSEN, UM DIE GEOMETRISCHE GESTALT DES LORENZ-ATTRAKTORS SICHTBAR ZU MACHEN, REICHT BEI DEM HIER VORGESTELLTEN VERFAHREN DIE KENNTNIS DER DYNAMIK VON NUR EINER ZUSTANDSVARIABLEN ZUR ERFOLGREICHEN REKONSTRUKTION DES ATTRAKTORS AUS (S.O.). FÜR DIE EXPERIMENTELLE ERFORSCHUNG UNBEKANNTER SYSTEME ODER SOLCHEN, DEREN VARIABLEN NUR UNVOLLSTÄNDIG ZUGÄNGLICH SIND, ERÖFFNEN SICH MIT HILFE DIESES REKONSTRUKTIONSVERFAHREN NEUE MÖGLICHKEITEN DER AUFNAHME UND WEITERVERARBEITUNG VON MESSSIGNALEN, DA GERADE BEI KOMPLEXEN SYSTEMEN OFTMALS NUR EINE RELEVANTE ZUSTANDSGRÖSSE MESSTECHNISCH ERFASSBAR IST (VGL.[7]). ------------------------------------------------------------------------ (UP) ATTRAKTOREN - FRAKTALE IM ZUSTANDSRAUM HABE ICH ZU VIELE FÄDEN IN MEINEM KNÄUL VERFLOCHTEN ? AN WELCHEM MUSS ICH ZIEHEN, UM EINEN VERNÜNFTIGEN SCHLUSS IN DIE HAND ZU BEKOMMEN ? ITALO CALVINO [IMAGE] ABB.6: 2D-ZUSTANDSRAUM EINER REIHE VON ZUFALLSZAHLEN (500 WERTE) WÄHLT MAN DEN HIER BESCHRIEBENEN WEG DER ZEITREIHENANALYSE UND ERZEUGT AUS EINEM GEMESSENEN DATENSATZ EINE ENTSPRECHENDE TRAJEKTORIE IM REKONSTRUIERTEN ZUSTANDSRAUM, SO ENTSTEHT AUS DEM EHEMALS IRREGULÄREN ZEITSIGNAL MIT DETERMINISTISCH-CHAOTISCHER HERKUNFT EIN KOMPAKTES, GEORDNETES GEOMETRISCHES OBJEKT, DAS ZUDEM EINEN GANZ BESTIMMTEN UND RÄUMLICH BEGRENZTEN BEREICH DES ZUSTANDSRAUMES BELEGT (ABB.3) (DEN (EUKLIDISCHEN) N-DIMENSIONALEN ZUSTANDRAUM, IN DEM DER ATTRAKTOR EINGEBETTET WIRD, NENNT MAN AUCH EINBETTUNGSRAUM UND ENSPRECHEND N SEINE EINBETTUNGSDIMENSION. ZUR BESTIMMUNG EINER OPTIMALEN EINBETTUNGSDIMENSION (S.U.) SIND GERADE IN DEN LETZTEN JAHREN EINE VIELZAHL NEUER VERFAHREN ENTWICKELT WORDEN. EINE ALLGEMEIN ZUFRIEDENSTELLENDE LÖSUNG DIESES PROBLEMS EXISTIERT ALLERDINGS BIS HEUTE NICHT (VGL.[6]).). IM VERGLEICH DAZU ERGIBT SICH BEI DER ANALYSE EINER FOLGE VON ZUFALLSZAHLEN EINE DIFFUSE WOLKE VON ZUSTANDSVEKTOREN, DIE REKONSTRUIERTE TRAJEKTORIE FÜLLT IN EINER WILD GEZACKTEN 'KURVE' (FAST) DEN GESAMTEN EINBETTUNGSRAUM AUS (ABB.6). DIE UNTERSCHIEDLICHE HERKUNFT DER ZEITREIHEN MANIFESTIERT SICH HIER IN EINEM SEHR VERSCHIEDENARTIGEN ERSCHEINUNGSBILD IM ZUSTANDSRAUM - DIE INNEREN KORRELATIONEN EINES DETERMINSTISCH-CHAOTISCHEN SIGNALS ERZWINGEN EINE ART 'AGGLOMERATION' DER TRAJEKTORIEN, SIE ERZEUGEN EIN GEOMETRISCH-GEORDNETES GEBILDE, DEN ATTRAKTOR. WENN WIR HIER VON DEN GEOMETRISCH 'SICHTBAREN' STRUKTUREN VON ATTRAKTOREN IN ZWEI- ODER DREIDIMENSIONALEN EUKLIDISCHEN RÄUMEN SPRECHEN, SO KÖNNEN DIE GEZEIGTEN ÜBERLEGUNGEN NATÜRLICH AUCH AUF HÖHERDIMENSIONALE ZUSTANDSRÄUME ÜBERTRAGEN WERDEN. INSBESONDERE LASSEN SICH AUCH DANN DIE 'CHAOTISCHEN' STRUKTUREN ANHAND EINER PROJEKTION DER TRAJEKTORIEN AUF NIEDRIGDIMENSIONALE UNTERRÄUME VISUALISIEREN. HAT MAN EINEN CHAOTISCHEN ATTRAKTOR ERFOLGREICH REKONSTRUIERT, SO KANN DESSEN FRAKTALE DIMENSION BERECHNET WERDEN. DIE FRAKTAL-GEOMETRISCHE MASSZAHL, DIE INSBESONDERE RÄUMLICHE KORRELATIONEN BZW. DICHTEVERTEILUNGEN VON CHAOTISCHEN ATTRAKTOREN MATHEMATISCH ERFASSBAR MACHT, IST DIE KORRELATIONSDIMENSION. DA DIE FRAKTALE DIMENSION NICHT UNABHÄNGIG VOM GEWÄHLTEN EINBETTUNGSRAUM IST, WIRD ZUR IHRER PRAKTISCHEN BERECHNUNG OFTMALS EIN VON GRASSBERGER UND PROCACCIA [8] VORGESCHLAGENES ANALYTISCHES VERFAHREN VERWENDET, INDEM QUASI GLEICHZEITIG DIE FRAKTALE DIMENSION UND DIE OPTIMALE EINBETTUNGSDIMENSION (S.O.) DES ATTRAKTORS ERMITTELT WERDEN. ( DER OPTIMALE EINBETTUNGSRAUM MUSS GERADE SO GROSS SEIN, DASS SICH DIE TRAJEKTORIEN DES REKONSTRUIERTEN ATTRAKTORS 'ÜBERSCHNEIDUNGSFREI' EINBETEN LASSEN.) ------------------------------------------------------------------------ (UP) BESTIMMUNG DER ATTRAKTORDIMENSION UM DIE RÄUMLICHEN KORRELATIONEN VON N PUNKTEN EINES ATTRAKTOR QUANTITATIV ZU ERFASSEN, STELLEN WIR UNS ZUNÄCHST DIE FRAGE NACH DER WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS ZWEI BELIEBIG AUS DER DATENMENGE HERAUSGEGRIFFENE VEKTOREN [IMAGE] UND [IMAGE] EINEN ABSTAND VONEINANDER HABEN, DER KLEINER IST ALS EINE VORGEGEBENE ZAHL R. HIERZU MUSS MAN UNTER DEN [IMAGE] MÖGLICHEN KOMBINATIONEN [IMAGE], DIE JEWEILS MIT DER WAHRSCHEINLICHKEIT [IMAGE] ANGETROFFEN WERDEN, DIEJENIGEN AUSWÄHLEN, DIE DIE BEDINGUNG [IMAGE] ERFÜLLEN. BEZEICHNET MAN DIESE WAHRSCHEINLICHKEIT MIT C(R), SO ERGIBT SICH: [IMAGE] FORMAL KANN MAN DIESE BEZIEHUNG MIT HILFE DER SOG. HEAVISIDE-FUNKTION BESCHREIBEN: [IMAGE] [IMAGE] [IMAGE] ABB.7: ZUR BESTIMMUNG DES KORRELATIONSINTEGRALS WERDEN ALLE BENACHBARTEN PUNKTE IN EINER DEFINIERTEN UMGEBUNG EINES REFERENZPUNKTES AUSGEZÄHLT. DIE GRÖSSE C(R) KANN DAHER AUCH ALS EIN MASS DAFÜR ANGESEHEN WERDEN, WIE DICHT DIE DATENPUNKTE DES ATTRAKTORS DEN ZUSTANDSRAUM BELEGEN, IN DEM SIE EINGEBETTET SIND (VGL. ABB.7); SIE MACHT EINE AUSSAGE ÜBER RÄUMLICHE KORRELATIONEN EINES ATTRAKTORS UND WIRD DAHER AUCH ALS KORRELATIONSINTEGRAL BZW. -SUMME BEZEICHNET. BEI DER PRAKTISCHEN BESTIMMUNG DIESER KORRELATIONSSUMME GENÜGT ES, AUF EINE ZUFÄLLIG VERTEILTE AUSWAHL VON NUR M (M<