------------------------------------------------------------------------ Wie gesetzmäßig verhalten sich unvorhersehbare Ereignisse? H. Joachim Schlichting, Volkhard Nordmeier Universität GH Essen (in: Physik in der Schule, 3/35 (1997)) ------------------------------------------------------------------------ Inhalt: * Phänomene * Ein kritischer Sandhaufen * Ein Haufen (aus) Zahlen * Lawinen in allen Größenordnungen * Ein Sandhaufen mit "Erinnerung" * Anwendungen * Literatur ------------------------------------------------------------------------ Immer geht es nur darum, die Gegenwart zu ordnen. Was fruchtet es über ihre Erbschaft zu streiten? Die Zukunft soll man nicht voraussehen wollen, sondern möglich machen. Antoine de Saint- Exypéry Die größten Dinge in der Welt werden durch andere zuwege gebracht, die wir nichts achten, kleine Ursachen, die wir übersehen, und die sich endlich häufen. Georg Christoph Lichtenberg (up) Phänomene Aus heiterem Himmel fällt Regen, bricht ein Vulkan aus, löst sich eine Lawine, entsteht ein Waldbrand, grassiert eine Epidemie, erschüttert ein Erdbeben das Land. Auf den ersten Blick scheint diese wahllos aufgezählten, aus den verschiedensten Bereichen der Umwelt stammenden Phänomene nicht mehr zu verbinden als, aus heiterem Himmel, also unerwartet und unvorhergesehen in den Alltag der ahnungslosen Menschen einzubrechen. Die Unvorhersehbarkeit derartiger Ereignisse wird traditionellerweise der menschlichen Unfähigkeit zugeschrieben, die zugrundeliegenden komplexen Systeme hinreichend genau zu erfassen. Die wissenschaftlichen Bemühungen sind daher darauf ausgerichtet, auf der Grundlage möglichst umfassender Datenmengen die für das Systemverhalten wesentlichen Elemente zu erkennen und zu isolieren, um die Variablen auf ein handhabbares Maß zu reduzieren. Trotz großer Bemühungen hat dieses Vorgehen bei zahlreichen komplexen Systemen bislang nicht zum erwarteten Erfolg geführt. Der Vorhersagehorizont von Wetterprognosen beispielsweise nimmt sehr viel langsamer zu als der technische und rechnerische Aufwand, mit dem immer mehr Daten erfaßt und zu einer Prognose verarbeitet werden. Die Vorhersage des Wetters über Zeiträume von mehr als einigen Wochen scheint nach wie vor völlig unmöglich. Aus dem Blickwinkel der nichtlinearen Physik sind derartige Bemühungen sinnlos, weil eine der wesentlichen Voraussetzung nicht gilt: die Unterscheidung zwischen wesentlichen und unwesentlichen Elementen. Kleinste, scheinbar unbedeutende Vorgänge beeinflussen das Systemverhalten ähnlich stark wie große und häufig auftretende Vorgänge, indem sie nach Art einer Kettenreaktion über alle Größenordnungen des Systems hinweg wirksam werden. Dabei können Ereignisse unabhängig von ihrer räumlichen und zeitlichen Entfernung zusammenwirken. Ein solches Verhalten erinnert einerseits an kritische Phänomene (Phasenübergänge). Man denke beispielsweise an den Umschlag eines Ferromagneten vom unmagnetischen in den magnetischen Zustand, sobald die Curietemperatur unterschritten wird. Die zufällige Ausrichtung eines kleinen Bereiches wächst über alle Grenzen und bestimmt die Ausrichtung des ganzen Magneten. Andererseits ist die Variation eines Kontrollparameters überhaupt nicht nötig, um das System kritisch zu machen. Es organisiert dieses durch Rückkopplungsmechanismen von selbst. Zur Beschreibung derartiger selbstorganisierter kritischer Phänomene ist in den letzten Jahren eine Theorie vorgeschlagen worden, die als Selbstorganisierte Criticalität (SOC) bezeichnet wird [1]. Das Faszinierende an dieser Theorie ist nicht nur ihre universelle Gültigkeit unabhängig von den konkreten Mechanismen, die das jeweilige Systemverhalten bestimmen, sondern auch die Einfachheit einer modellmäßigen Realisierung. Die Theorie kann als Ergebnis einer Verbindung von Empfindlichkeit und Unempfindlichkeit angesehen werden: Einerseits machen sich in der Nähe des kritischen Zustandes kleinste zufällige Störungen über alle Größenordnungen hinweg bemerkbar und bestimmen insofern das Verhalten des Systems. Andererseits erweist sich das System im kritischen Zustand relativ unempfindlich gegenüber Störungen: Es findet stets von selbst in den kritischen Zustand zurück. ------------------------------------------------------------------------ (up) Ein kritischer Sandhaufen Um einen solchen Vorgang zu verstehen, betrachten wir ein sehr einfaches Modell, mit dem die meisten Menschen von Kindheit an eine gewisse Intuition verbinden: den Sandhaufen. Wer hätte nicht den durch die Finger oder das Stundenglas rieselnden Sand vor Augen, der sich zu einem kegelförmigen Haufen auftürmt. Wir betrachten einen Sandhaufen mit einer bestimmten Grundfläche, auf den wir nach und nach einzelne Sandkörner fallen lassen und beobachten, was passiert: Am Anfang bleiben die Körnchen in der Nähe der Stelle liegen, an der sie auftreffen. Sobald die Steigung des allmählich wachsenden Haufens größer wird und an einzelnen Stellen einen kritischen Wert überschreitet, wird das Verhalten unvorhersagbar: Je nachdem ob durch das Hinzufügen des Sandkörnchens an einer bestimmten Stelle die Steigung den kritischen Wert überschreitet oder nicht, rutscht es ab oder bleibt liegen. Wenn das Teilchen aber abrutscht und sich zu einem der nächst tiefer liegenden Teilchen hinzugesellt, kommt es erneut zu einer solchen Entscheidung. [Image] Bild 1: Durch die Hand rieselnder Sand hinterläßt einen Sandhaufen mit charakteristischer Steigung. Auf diese Weise entstehen je nach der Steigung der durch das Abrutschen betroffenen Stellen mehr oder weniger große Lawinen. Schießen die abrutschenden Lawinen schließlich über die Grundfläche des Sandhaufens hinaus, so verlassen die entsprechenden Sandkörner das System. Der Sandhaufen erreicht einen (statistisch) stationären kritischen Gleichgewichtszustand, in dem sowohl seine Größe (Teilchenzahl) als auch die Steigung im zeitlichen Mittel konstant bleiben. Kritisch ist er insofern, als jetzt jedes hinzukommende Körnchen eine Lawine beliebiger Größenordnung auslösen kann, stationär insofern, als trotz der abgehenden Lawinen im zeitlichen Mittel genauso viele Teilchen auf den Haufen hinabrieseln, wie ihn verlassen. Daraus ergibt sich unmittelbar die Konsequenz, daß kleinere Lawinen häufiger auftreten als größere. Wie kommt es zur Einregelung dieses kritischen Gleichgewichtszustandes? Befindet sich die mittlere Steigung des Haufens unterhalb der kritischen Größe, so treten vorwiegend kleine Lawinen auf, weil die Teilchen mit größerer Wahrscheinlichkeit stabile Positionen vorfinden. Der Haufen wächst dann in kleinen Schritten bis zur kritischen Steigung. Oberhalb der kritischen Steigung treffen die Teilchen mit geringerer Wahrscheinlichkeit stabile Positionen an. Sie geraten stattdessen ins Rutschen, reißen dabei eventuell benachbarte Teilchen mit sich, die ihrerseits mangels stabiler Positionen weitere Teilchen in Bewegung versetzen und so vorwiegend zu größeren Lawinen führen. Betrachtet man die mittlere Lawinengröße als Funktion der mittleren Steigung, bei der sie ausgelöst werden, so stellt man fest, daß sie mit wachsender Steigung überproportional also nichtlinear anwächst. Die Nichtlinearität erscheint auch hier ähnlich wie bei anderen dissipativen Systemen als Voraussetzung für die selbstorganisierte Einregelung und Stabilisierung des kritischen Gleichgewichtszustandes des Sandhaufens und kann durch das (nichtlineare) Gegeneinanderwirken von entgegengesetzten Tendenzen erklärt werden[ 2]. Die Abweichung vom kritischen Zustand zur einen und zur anderen Seite kommt letztlich dadurch zustande, daß die kritische Steigung nur im statistischen Mittel eingeregelt wird, so daß in einzelnen Fällen hinzugefügte Teilchen auch über die kritische Steigung hinaus liegen bleiben oder beim Abrutschen von Lawinen einzelne Teilchen auch dann mitgerissen werden, wenn die kritische Steigung bereits unterschritten ist. ------------------------------------------------------------------------ (up) Ein Haufen (aus) Zahlen [Image] Bild 2: Ecke eines Sandhaufens, wie sie sich ergibt, wenn die Sandkörner durch kleine Würfel dargestellt werden. Da wir über das konkrete Verhalten des Sandes hinaus an einem allgemeinen Algorithmus für das selbstorganisierte kritische Verhalten beliebiger Systeme interessiert sind, betrachten wir einen möglichst einfachen Algorithmus, mit dem dieses Verhalten numerisch simuliert werden kann[ 1]. Wir gehen von der folgenden Situation aus: Den einzelnen Positionen eines zweidimensionalen Feldes (x, y) der Größe N x N werden "Steigungen" z(x, y) zugeordnet. Wenn durch das Hinzufügen eines Teilchens z(x, y) größer als die kritische Steigung zmax wird, so treten Umordnungen auf, die den Haufen jeweils lokal in die stabile Situation z(x, y) < zmax(x, y) zurückführen. Das geschieht in der Weise, daß sich die Steigungsverhältnisse bei (x, y) und den vier nächsten Nachbarn (x, y1) und (x1, y) in der folgenden Weise ändern: z(x, y) --> z(x, y) - 4 z(x, y1) --> z(x, y1) + 1 z(x1, y) --> z(x1, y) + 1. Grob veranschaulichen kann man sich den Algorithmus dadurch, daß man die Steigungen als Summe von Höhendifferenzen zwischen einer Position und den nächst niedrigen Nachbarpositionen vorstellt. Beim Überschreiten der kritischen Steigung kann die Umordnung als Folge des "Abrutschens" eines Teilchens angesehen werden, das ggf. weitere Teilchen zum Abrutschen veranlaßt. Die Umordnung wird so lange vorgenommen bis die Bedingung z(x, y) < zmax(x, y) erfüllt ist. M.a.W .: Solange die kritische Steigung nicht unterschritten wird, reißen abrutschende Teilchen weitere Teilchen mit sich und so weiter. So kommt es zu mehr oder weniger großen Lawinen. Bei der konkreten Umsetzung dieses Algorithmus geht man nun folgendermaßen vor. Allen Stellen (x, y) des betrachteten Feldes werden zufällige Steigungen z >> zmax zugeordnet. Anschließend läßt man diesen "unmöglichen" Haufen mit Hilfe des obigen Algorithmus in den stabilen kritischen Zustand übergehen, in dem für alle Felder z < zmax gilt. Das erreicht man z.B. dadurch, daß alle Positionen hinsichtlich ihrer Stabilität "abgefragt" werden und entsprechend nach dem obigen Schema verändert werden. Das so präparierte Feld stört man schließlich lokal, indem man jeweils an verschiedenen, zufällig ausgewählten Stellen ein Teilchen hinzufügt und die Antwort des Systems in Form einer mehr oder weniger großen Umordnung (Lawine) nach dem obigen Schema abwartet. ------------------------------------------------------------------------ (up) Lawinen in allen Größenordnungen Typische Ergebnisse eines solchen Vorgangs zeigt Bild 3. Die jeweils dunkel gefärbten Bereiche bezeichnen die Stellen des Feldes, an denen infolge einer kleinen Störung (Hinzufügung eines Teilchens an einer einzigen Stelle) Veränderungen aufgetreten sind. Sie stellen den von einer Lawine betroffenen Bereich des Feldes dar. Auffallend ist, daß Lawinen aller Größenordnungen entstehen. Eine lokale Störung kann also entweder auf die Stelle beschränkt bleiben, an der sie erfolgt, oder sich über beliebige Entfernungen im System ausbreiten. Welcher Fall konkret eintritt, hängt davon ab, an welcher Stelle zufällig die Störung erfolgt. Das Fehlen einer charakteristischen Größe für die Ereignisse hat zur Folge, daß man auch keine charakteristische Zeit für das Abklingen der Ereignisse beobachtet. [Image][Image] Bild 3 : Blick von oben auf vier verschieden präparierte "Sandhaufen" der Grundfläche 100 x 100. Die Gitterplätze, die von einer Lawine betroffen wurden, sind schwarz eingefärbt. Jede Lawine wurde durch eine "Störung" (Hinzufügung eines Sandkorns) ausgelöst. Im Sinne der eingangs gestellten Frage, ob der Häufigkeit H(f) von Lawinen der Größe f (Zahl der betroffenen Stellen) eine statistische Gesetzmäßigkeit zugrundeliegt, untersuchen wir sehr viele SOC- Lawinen. Dazu tragen wir H(f) gegen f auf. Bei doppelt- logarithmischem Maßstab erkennt man (Bild 4), daß die Verteilung H(f) über mehrere Größenordnungen hinweg durch eine Gerade mit der Steigung m = lnH(f)/ln(f) charakterisiert ist, so daß die Verteilung durch das folgende Potenzgesetz bestimmt wird: H(f) ~ f-m. Für die von uns ausgeführten Simulationen erhalten wir für m 0,98. Mit anderen Worten: H(f) ~ 1/f. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom sogenannten 1/f- Verhalten bzw. vom 1/f - Rauschen. Damit wird ein Zusammenhang mit Vorgängen angedeutet, die schon seit langem bekannt sind, nämlich das rosa Rauschen oder Flackerrauschen, wie es z.B. in elektronischen Bauelementen auftritt. Das 1/f - Rauschen ist anders als das weiße Rauschen (bei dem kein Zusammenhang (Korrelation) zwischen gegenwärtigen und vergangenen Ereignissen besteht,) kein reines Zufallssignal, sondern hängt in einem gewissen Maß noch von vergangenen Ereignissen ab. In diesem Zusammenhang spricht man nicht nur bei m = 1 von 1/f- Verhalten, sondern auch noch bei Vorgängen, die durch 0,5