Physics-oriented solvers for multicompartmental poromechanics
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Verallgemeinerungen des klassischen Konsolidierungsmodells, welches 1941 von Maurice Anthony Biot hergeleitet und in seinen darauffolgenden wissenschaftlichen Publikationen für verschiedene zugrundeliegende Strukturmerkmale weiterentwickelt wurde. Ziel der Poromechanik ist es, das Verhalten eines porösen, elastischen Festkörpers, welcher mit einer oder mehreren Flüssigkeiten gefüllt ist, zu beschreiben. Neben der Anwendung der betrachteten Systeme partieller Differentialgleichungen im Bereich der Geomechanik zur Modellierung der Erdölgewinnung dienen sie neuerdings auch der Simulation biomechanischer Prozesse in menschlichen Organen wie z. B. der Nieren, der Leber oder dem Gehirn. Aufgrund des breiten Spektrums an zulässigen Parameterwerten über mehrere Größenordnungen hinweg werden sowohl die Analyse als auch das effiziente numerische Lösen zu herausfordernden Problemen.
Zunächst studieren wir das Multi-Netzwerk Model, bei dem der poröse Festkörper von mehreren Flüssigkeitsströmen durchdrungen ist. Für eine stabile Diskretisierung kombinieren wir das implizite Euler-Verfahren in der Zeit mit hybridisierten diskontinuierlichen Galerkin Methoden im Ort, wodurch die Masse der einzelnen Flüssigkeiten erhalten bleibt. Anschließend beweisen wir die parameterrobuste Wohlgestelltheit dieses diskreten Problems mit Hilfe eines abstrakten Resultats für gestörte Sattelpunktprobleme.
Danach betrachten wir das dynamische Biot Problem in Dreifeldformulierung, welches Trägheitseffekte berücksichtigt und daher im Vergleich zum quasi-statischen Model zusätzliche Beschleunigungsterme enthält. Mittels einer variationellen Diskretisierung in Raum und Zeit erzeugen wir eine stückweise polynomiale Approximation der Lösung, welche auf dem gesamten Zeitintervall stetig ist. Die räumliche Diskretisierung wird hierbei durch einen konformen Finite Elemente Ansatz realisiert. Wir führen eine gründliche Konvergenzanalyse durch, in der optimale Fehlerabschätzungen in den Energie-Variablen durch geschickte Wahl von Testfunktionen und Anwendung der diskreten Gronwall Ungleichung hergeleitet werden.
Um starke Massenerhaltung der Flüssigkeit für das dynamische Biot Model auch auf der diskreten Ebene zu gewährleisten, verwenden wir eine diskontinuierliche Galerkin Approximation für das Verschiebungsfeld. In der Analyse passen wir den Beweis an die abgeänderte Diskretisierung an und weisen schließlich analoge Fehlerabschätzungen nach.
Sämtliche theoretischen Resultate in dieser Arbeit werden durch numerische Experimente abgerundet.
This thesis deals with generalizations of the classical consolidation model, which was developed by Maurice Anthony Biot in 1941 and further elaborated in his subsequent scientific publications for various underlying structural characteristics. The aim of poromechanics is to describe the behavior of a porous, elastic solid material saturated by one or more fluids. In addition to the application of the considered systems of partial differential equations in the field of geomechanics for modeling oil recovery, they have recently also been used to simulate biomechanical processes in human organs such as the kidneys, liver or brain. Due to the wide range of feasible parameter values over several orders of magnitude, both the analysis and the efficient numerical solving become challenging problems.
First, we study the multiple-network model where the porous material is permeated by several fluid flows. For a stable discretization, we combine the implicit Euler method in time with hybridized discontinuous Galerkin methods in space, whereby the mass of the individual fluids is preserved. Then, we prove the parameter-robust well-posedness of this discrete problem utilizing an abstract framework for perturbed saddle point problems.
We next consider the dynamic Biot problem in three-field formulation, which incorporates inertia effects and hence contains additional acceleration terms compared to the quasi-static model. By means of a variational discretization in space and time, we generate a piecewise polynomial approximation of the solution, which is continuous over the entire time interval. Here, the spatial discretization is realized by a conforming finite element approach. We perform a thorough convergence analysis in which optimal error estimates in the energy variables are derived by aptly choosing test functions and applying the discrete Gronwall inequality.
To guarantee strong mass conservation of the fluid for the dynamic Biot model also on the discrete level, we employ a discontinuous Galerkin approximation for the displacement field. In the analysis, we adapt the proof to the modified discretization and finally verify analogous error estimates.
All theoretical results in this work are complemented by numerical experiments.