Constrained first-order System least-squares for nonlinear problems
In dieser Arbeit werden zwei nichtlineare Probleme, das Erste für eine elastoplastische Verformung und das Zweite für die Strömung von Meereis betrachtet. Es werden für beide a posteriori Fehlerschätzer in Form von Least-Squares Funktionalen hergeleitet und bewiesen. Beim ersten Problem liegt hierbei der Fokus darauf die Abschätzung stabil, gegenüber dem inkompressibilen Grenzfall, zu gestalten. Das elastoplatischen Verformungsproblem weißt durch seinen Charakter als Variationsungleichung, die Schwierigkeit von verminderter Regularität auf. Daher kann beim Lösen dieses Problems nicht auf ein klassisches Newton Verfahren zurück gegriffen werden, stattdessen wird die Verwendung eines semiglatten Newton Verfahrens diskutiert. Für die Analysis des Meereisproblems wird zunächst ein allgemeine Theorie für Fehlerschätzer in Banachräumen hergeleitet und angewendet. Zur iterativen Lösung des Meereisproblems wird Gauß-Newton Verfahren genutzt. Die Wohlgestelltheit diese Variationsproblems wird ebenfalls diskutiert. Die beiden vorliegenden Problem werden mit numerischen Beispielen unterlegt. Diese bestätigen die Theorie und zeigen weiterführende Beispiele nicht mehr theoretisch abgedeckt sind.
This thesis addresses two nonlinear problems: elastoplastic deformation and sea ice dynamics. For both problems, a posteriori error estimators in the form of Least-Squares functionals are derived and validated. For the first problem, the focus is on making the estimation stable with respect to the incompressible limit case. The elastoplastic deformation problem presents challenges due to its nature as a variational inequality, resulting in reduced regularity. Consequently, a classical Newton method is not suitable for solving this problem; therefore, the thesis discusses the use of a semismooth Newton method instead. In analyzing the sea ice problem, a general theory for error estimators in Banach spaces is first established and then applied. The Gauss-Newton method is used for the iterative solving of the sea ice problem. The well-posedness of this variational problem is also discussed. Both problems are supported by numerical examples, which not only confirm the theoretical findings, but also provide additional cases that extend beyond those that are theoretically covered.