Three-Fold Products of Elliptic Curves, p-adic L-Functions and Rational Points
The present dissertation consists of two main parts. Both parts arise from the desire of a systematic construction of rational points on elliptic curves. On the one hand, we study the existence of parametrizations of an elliptic curve over the rationals by considering merely its self-fold triple product. This is done via an analysis of Galois representations and its follow-up contextualization into the framework of the Tate Conjecture. On the other hand, we construct a new p-adic L-function for the symmetric cube of a Hida family. This p-adic L-function provides a factorization of a restricted balanced triple product p-adic L-function. Moreover, we prove an interpolation property of this novel p-adic L-function and formulate a conjecture on the leading term of its Taylor expansion at a point of vanishing.
Die vorliegende Dissertation verfolgt zwei Hauptziele, die beide aus dem Wunsch nach einer systematischen Konstruktion rationaler Punkte auf elliptischen Kurven entstehen. Einerseits untersuchen wir die Existenz von Parametrisierungen einer elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen, indem wir lediglich ihr selbstgefaltetes Tripelprodukt in Betracht ziehen. Dies geschieht durch eine Analyse von Galois-Darstellungen und derer anschließenden Einordnung in den Kontext der Tate-Vermutung. Andererseits konstruieren wir eine neue p-adische L-Funktion für den symmetrischen Kubus einer Hida-Familie. Diese p-adische L-Funktion liefert eine Faktorisierung einer eingeschränkten, ausgewogenen p-adischen Tripelprodukt L-Funktion. Wir beweisen darüber hinaus eine Interpolationseigenschaft dieser neuartigen p-adischen L-Funktion und formulieren eine Vermutung über den führenden Term ihrer Taylor-Entwicklung an einem Nullpunkt.