Optimale Steuerung eines nichtglatten elliptischen Problems vom Stackelbergtyp
Zusammenfassung
In der vorliegenden Dissertationsschrift wird ein sogenanntes Bilevel-Optimalsteuerproblem beleuchtet. Hierbei handelt es sich um ein zweistufiges Optimierungsproblem im Funktionenraum. Zunächst erfolgt eine literarische Einordnung in den aktuellen wissenschaftlichen Kontext auf dem Gebiet der optimalen Steuerung, insbesondere im Bereich der Bilevel-Optimalsteuerung.
Nachdem die notwendigen mathematischen Grundlagen bereitgestellt sind werden in Kapitel 3 im Zuge der Analyse des vorliegenden Problems zunächst die Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung beantwortet.
Im Anschluss rücken in Kapitel 4 die Theorie und anschließende Durchführung einer Transformation auf ein einstufiges Optimalsteuerproblem in den Vordergrund. Hierbei richtet sich der Fokus auf die Frage nach Eindeutigkeit einer Lösung des einstufigen Problems sowie nach der Gültigkeit seiner Lösung für das ursprüngliche zweistufige Optimalsteuerproblem. Nach Umformulierung des Ausgangsproblems liegt ein einstufiges Optimierungsproblem mit Komplementaritätsbedingungen - ein sogenanntes MPCC - im reflexiven Banachraum vor.
Im Zusammenhang mit den Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung findet in Kapitel 5 zudem eine Analyse ihrer Stationarität im Rahmen der MPCC-Theorie im Funktionenraum statt. Hierbei erfolgt eine weitere wesentliche Transformation des MPCCs.
Nachdem das transformierte MPCC im reflexiven Banachraum aus Kapitel 5 mit der Finite-Elemente-Methode diskretisiert wurde, wird in Kapitel 6 schließlich eine auf die präsentierte Lösungstheorie zugeschnittene primal-duale Aktive-Mengen-Strategie hergeleitet. Ihre Implementierung wird in den wichtigsten Facetten erläutert und ihre Funktionsweise mit zugehörigen dokumentierten numerischen Ergebnissen gestützt.
Schließlich werden die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst und ein Ausblick hinsichtlich noch zu bewältigender Herausforderungen in dieser Problemklasse wird gegeben.
Abstract
In this PhD thesis a so called bilevel optimal control problem is examined. It can be identified as a two-stage optimization problem in a function space. Firstly, a scientific classification in the context of current findings in optimal control, especially bilevel optimal control, is given.
After the required mathematical preliminaries have been provided, in the course of the problem analysis in chapter 3 arising questions concerning the existence and uniqueness of the solution of the problem are being picked up and answered.
In Chapter 4, the theory and subsequent implementation of a transformation to a one-level optimal control problem are put forward. The focus here is on the question of the uniqueness of a solution to the one-level problem and the validity of its solution for the original bilevel optimal control problem. After reformulating the initial problem, a one-level optimization problem with complementarity constraints - a so called MPCC - in the reflexive Banach space arises.
In connection with questions concerning the existence and uniqueness of a solution of the MPCC, Chapter 5 also contains the analysis of its stationarity within the framework of the MPCC theory in the function space setting. In the course of this analysis another essential transformation of the MPCC is carried out.
After the discretization of the final MPCC from chapter 5 with the finite element method a primal-dual active set strategy tailored to the presented solution theory is derived in chapter 6. Its implementation is explained in the most important facets and its functionality is supported by the documentation of appropriate numerical test.
Finally, the results of this thesis are summarized and an outlook is given with regard to the challenges that still need to be overcome in this problem class.