Gebietszerlegungsmethoden mit spektralen Ansätzen für elliptische Differentialgleichungen

Diese Dissertation befasst sich mit der numerischen Lösung elliptischer Differentialgleichungen durch Gebietszerlegungen. Zur Lösung wird die Dirichlet-Neumann Methode und Neumann-Neumann Methode in getrennten numerischen Tests auf verschiedene Gebiete angewendet. Das ausgeführte numerische Verfahren ist die spektrale Kollokationsmethode. Es werden zuerst Gebiete untersucht, die in Dreiecke und Vierecke zerlegt sind und darauf Poisson-Gleichungen gelöst. Zur Lösung werden die Dirichlet-Neumann Methode und Neumann-Neumann Methode in separaten numerischen Tests unter Verwendung spektraler Kollokationsmethode durchgeführt, welche Fekete-Punkte auf Dreiecken und Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte auf Vierecken als Kollokationspunkte verwendet. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf den Gebietszerlegungen. Die Gebiete werden in Dreiecke zerlegt und lokale Probleme werden mit der Neumann-Neumann Methode in Kombination mit globaler h- und p-Verfeinerung sowie adaptiven p-Verfeinerung gelöst, während Fekete-Punkte als Kollokationspunkte verwendet werden. Zur Validierung der Methoden werden diese für die Lösung von vier KonvektionsDiffusionsgleichungen eingesetzt, wobei die exakten  Lösungen bekannt sind. Wir finden heraus, dass für singulär-gestörte Probleme, wie die betrachteten Konvektions-Diffusionsgleichungen, adaptive p-Verfeinerung weniger Kollokationspunkte benötigen und auch im Vergleich zur untersuchten globalen h- und p-Verfeinerung vergleichbare qualitative Lösungen erzeugen.

This PhD thesis deals with the numerical solving of elliptic differential equations by domain decompositions. For the solution, the Dirichlet-Neumann method and Neumann-Neumann method are applied to different domains in separate numerical tests. The numerical method carried out is the spectral collocation method. Domains decomposed into triangles and quadrilaterals are studied first and Poisson equations are solved on them respectively. To find a solution, Dirichlet-Neumann method and Neumann-Neumann method are performed in separate numerical tests using spectral collocation method, which utilizes Fekete points on triangles and Gauss-Lobatto-Legendre points on quadrilaterals as collocation points. The focus of this work is on domain decomposition, domains are decomposed into triangles and local problems are solved using the Neumann-Neumann method in combination with global h-and p-refinement and adaptive p-refinement, while Fekete points as used as collocation points. To validate the methods they are applied to solve four convection-diffusion equations with a steady state, where the exact solutions are known. We find out for singular-disturbed problems, such as the convection-diffusion equations considered, that adaptive p-refinement requires fewer collocation points and also produces comparable qualitative solutions compared to the studied manual hand p-refinement.

Preview

Cite

Citation style:
Could not load citation form.

Rights

Use and reproduction:
All rights reserved