Quaternionic Hida families and the triple product p-adic L-function

Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, einen Algorithmus zur Approximation des Wertes der ausbalancierten p-adischen L-Funktion, wie in [Hsi2021] konstruiert, in dem Punkt (2,1,1) der außerhalb des Interpolationsbereiches liegt, zu formulieren. Wir interessieren uns für den Fall bei dem zumindest eine der Hida-Familien einer elliptischen Kurve zugeordnet ist. Zur einfacheren Darstellung betrachten wir den Fall in dem nur eines der lokalen Vorzeichen der Funktionalgleichung -1 ist. Der zweite Teil dieser Arbeit, nämlich Kapitel 2, beschäftigt sich mit dem Problem von oben. Das algorithmische Verfahren baut auf der Arbeit [Fm14] auf und betrachtet geodätische Linien endlicher Länge im Bruhat-Tits Baum für GL2(Qp).
        Kapitel 1 ist dem Studium des Verhaltens von Familien quaternionischer Modulformen, die von Ordnungen definiert von Pizer und Hijikata-Pizer-Shemanske stammen, gewidmet. Wie in Kapitel 2 beschränken wir unsere Aufmerksamkeit auf eine definit rationale quaternionische Algebra verzweigt in einer einzelnen Primzahl ℓ. Wir beweisen einen Kontrollsatz im Sinne von Hida, bei dem die Neuheit im Rang der Hecke-Eigenräume liegt, welcher nun 2 und nicht mehr 1 wie im klassischen Fall von Eichler-Ordnungen ist. Die Motivation für Kapitel 1 entstammt dem Wunsch, Gewicht-1 Modulformen in dem Grenzwertverfahren in Kapitel 2 zu betrachten. Obwohl die ausbalancierte p-adische L-Funktion nicht mehr für solche Situationen geeignet ist, stellt die durchgeführte Analyse einen ersten nötigen Schritt in diese Richtung dar.

The main purpose of this thesis is to provide an algorithm for approximating the value of the balanced p-adic L-function, as constructed in [Hsi21], at the point (2,1,1) which lies outside of its interpolation region. We are interested in the case where at least one of the Hida families is associated with an elliptic curve over the rationals. For ease of exposition, we consider the case where only one local sign of the functional equation is -1. The second part of this thesis, namely Section 2, deals with the above problem. The algorithmic procedure is obtained building on the work of [FM14] and considering finite length geodesics on the Bruhat--Tits tree for GL2(Qp). Section 1 is devoted to studying the behavior in families of quaternionic modular forms arising from orders defined by Pizer and Hijikata-Pizer-Shemanske. As in Section 2, we restrict our attention to a definite rational quaternion algebra ramified at a single prime ℓ. We prove a Control Theorem in the spirit of Hida, in which the novelty lies in the rank of the Hecke-eigenspaces being 2 and no more 1 as in the classical case of Eichler orders. The motivation behind Section 1 comes from the desire to consider classical weight-1 modular forms in the limit process in Section 2. Although the balanced p-adic L-function is no more available in such a situation, the analysis carried out in this thesis represents a necessary first advance in this direction.

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