# Stochastic methods in risk management

Stochastic methods, such as stochastic modeling and simulation, risk neutral valuation, derivative pricing, etc., are widely used in the finance industry. Under Solvency II framework, in order to protect the benefit of shareholder and policyholder, the insurance company should be adequately capitalized to fulfill the capital requirement for solvency. Therefore, two main quantities are taken into account, i.e. the available capital (or basic own funds) and the required capital. In general, these two quantities are calculated by means of stochastic simulation and hence an Economic Scenario Generator (ESG) is used to simulate the potential evolution of risk factors of the economies and financial markets over time. For the calculation of available capital (defined as the difference between the market value of assets and liabilities), the stochastic cash flow projection model is used to perform the market consistent valuation of assets and liabilities given the risk neutral scenarios. For the calculation of required capital, the probability distribution of available capital over a one-year time horizon and a risk measure based on such distribution is taken into account. For instance, the Solvency Capital Requirement (SCR) is measured by the Value-at-Risk at confidence level of 99.5%. We began by reviewing the existing literature and found that most authors used stochastic methods in risk management under Solvency II framework on one of the three components of the partial internal model, i.e. the input model, the valuation model or the risk capital model. In this thesis, we aimed to build a partial internal model including all components and show how we can use stochastic methods to do market consistent valuation and calculate the required capital. For the input model, instead of using academic preferred simple ESG models, e.g. one factor short rate interest rate model along with geometric Brownian motion equity model, we developed advanced models that are more suitable in practice. For the modeling of interest rate, we used the extended three-factor Cox-Ingersoll-Ross model, which is able to capture the three main principle components of yield curve. We derived the pricing of zero coupon options by Fourier transformation of the characteristic function of the linear combination of state variables and subsequently the pricing of swaption using stochastic duration approximation. For the modeling of equity, we used the stochastic volatility model (Heston model) along with above-mentioned stochastic interest rate. Similarly, we first showed the closed-form of discounted characteristic function of log equity price by solving a system of Ordinary Differential Equations (ODEs) resulting from an affine Partial Differential Equation (PDE). We then derived the price of European options by Fourier techniques as well. In addition, we formulated the method of generating economic scenarios by using Monte Carlo simulation with Euler discretization scheme and variance reduction technique of antithetic variates. For the valuation model, we built a stochastic cash flow projection model to capture the development of balance sheet as well as the asset portfolio consisting of coupon bonds and stocks and the liability portfolio consisting of German traditional participating life insurance contracts. We then derived market consistent valuation of assets and liabilities based on the cash flows projected by the stochastic model along with the input of risk neutral economic scenarios. Furthermore, we modeled the management rules. For instance, we developed a constant asset allocation strategy to rebalance the asset portfolio. We considered the unrealized gain and loss by modeling the book value and market value of assets. Additionally, we modeled the MUST-case for the investment surplus distribution between shareholders and policyholders. For the risk capital model, we first implemented the nested stochastic simulation to determine the required risk capital. Since nested simulation requires high computational time, we also investigated the proxy methods of least squared Monte Carlo, replicating portfolio and curve fitting. In particular, we developed a general strategy to construct a good replicating portfolio. First, we described the construction of asset pool. Second, we illustrated the construction of sensitivity sets through recalibration or reweighting techniques. Third, we proposed a calibration procedure, by using the least square optimization and subset selection with certain criteria, to select the optimal replicating portfolio and calculate the required capital. Finally, we performed an empirical application to illustrate the full process, including the calibration of ESG models to real market data, economic scenario generation and validation, market consistent valuation and determination of SCR by nested simulation and replicating portfolio.
Stochastische Methoden sind in der Finanzbranche weit verbreitet und werden z.B. in der stochastischen Modellierung und Simulation, der risikoneutralen Bewertung, der Derivatebewertung und vielen weiteren Anwendungen eingesetzt. Unter den Rahmenbedingungen von Solvency II müssen Versicherungsunternehmen adäquat kapitalisiert sein um jene aus Solvency II erwachsenen Kapitalanforderungen, zum Schutze der Aktionäre und Versicherungsnehmer, zu erfüllen. Daher müssen zwei wesentliche Größen betrachtet werden; das vorhandene Risikokapital (bzw. die Basiseigenmittel) und das benötigte Risikokapital. Im Allgemeinen werden diese Größen anhand der Mittelwerte von stochastischen Simulationen berechnet und folglich wird ein Economic Scenario Generator (ESG) verwendet, um die potentielle Entwicklung von Risikofaktoren der Ökonomie und des Finanzmarktes im Zeitverlauf zu simulieren. Für die Berechnung des vorhandenen Risikokapitals (definiert als die Differenz zwischen dem Marktwert der Vermögenswerte abzüglich der Verbindlichkeiten) wird ein stochastische Cash-Flow Projektionsmodell verwendet, um eine marktkonsistente Bewertung der Vermögenswerte und der Verbindlichkeiten, unter Verwendung von risikoneutralen Szenarien, durchzuführen. Die Berechnung des benötigten Risikokapitals erfolgt anhand der Wahrscheinlichkeitsverteilung des vorhandenen Risikokapitals über einen einjährigen Zeithorizont mithilfe eines Risikomaßes. Beispielsweise wird die Solvency Capital Requirement (SCR) anhand des Value-at-Risk zum Konfidenzniveau 99,5% gemessen. Zunächst haben wir einen Überblick über die bestehende Literatur gegeben. Hierbei haben wir festgestellt, dass die allermeisten Autoren sich bei ihrer Betrachtung hinsichtlich der Verwendung stochastischer Methoden im Rahmen von Solvency II auf eine der drei Modellkomponenten des interne Partialmodells, also dem Inputmodell, dem Bewertungsmodell und dem Risikomodell, konzentrieren. In dieser Arbeit wollten wir ein internes Partialmodell mit allen Komponenten aufbauen und Schritt für Schritt zeigen, wie wir mit stochastischen Methoden eine marktkonsistente Bewertung vornehmen und das benötigte Risikokapital berechnen können. Für das Inputmodel haben anstatt eines akademisch bevorzugten einfachen ESG Modells, mit einem Ein-Faktor Zinsmodells und einem durch eine geometrische Brownsche Bewegung getriebenen Aktienmodell, ein komplexeres Modell entwickelt, welches in der Praxis besser geeignet ist. Für die Modellierung des Zinssatzes haben wir das erweiterte Drei-Faktoren-Modell von Cox-Ingersoll-Ross, das die drei Hauptkomponenten der Zinsstrukturkurve erfassen kann, verwendet. Wir haben den Preis von Nullkupon-Optionen mithilfe der Fourier-Transformation der charakteristischen Funktion einer Linearkombination von Zustandsvariablen sowie einer anschließender Bewertung von Swaptions anhand einer stochastischen Durationsapproximation hergeleitet. Für die Modellierung von Aktien haben wir ein stochastisches Volatilitätsmodell (Heston-Modell) zusammen mit der oben beschriebenen stochastischen Zinsmodellierung verwendet. In ähnlicher Weise haben wir die geschlossene Form der diskontierten charakteristischen Funktion des logarithmierten Aktienpreises ermittelt, indem wir ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen lösen, welches von einer affinen partiellen Differentialgleichung stammt. Anschließend haben wir den Preis von europäischen Optionen ebenfalls anhand Fouriertechniken hergeleitet. Zusätzlich haben wir die Methode der Erzeugung ökonomischer Szenarien mithilfe einer Monte Carlo Simulation, unter Verwendung eines Euler Diskretisierungsschemas und Varianzreduktionstechniken formuliert. Für das Bewertungsmodell haben wir ein stochastisches Cashflow-Projektionsmodell entwickelt, um die Entwicklung der Bilanz sowie des aus Kuponanleihen und Aktien bestehenden Vermögensportfolios und des aus überschussberechtigten Lebensversicherungsverträgen bestehenden Passivportfolios zu erfassen. Anschließend haben wir eine marktkonsistente Bewertung der Vermögenswerte und Verbindlichkeiten vorgenommen, die auf den vom stochastischen Modell projizierten Cashflows und den Input risikoneutraler ökonomischen Szenarien basiert. Darüber hinaus haben wir die Managementregeln modelliert. Beispielsweise haben wir eine konstante Asset-Allocation-Strategie entwickelt, um das Asset-Portfolio wieder ins Gleichgewicht zu bringen. Wir haben den nicht realisierten Gewinn und Verlust durch Modellierung des Buchwerts und des Marktwerts von Vermögenswerten berücksichtigt. Darüber hinaus haben wir den MUST-Fall für die Überschussbeteiligung zwischen Anteilseigner und Versicherungsnehmer modelliert. Für das Risikokapitalmodell haben wir zunächst die verschachtelte stochastische Simulation („Nested Stochastic Simulation“) implementiert, um das benötigten Risikokapital zu bestimmen. Da für die verschachtelte Simulation eine hohe Rechenzeit erforderlich ist, haben wir auch die Proxy-Methoden „Least Squared Monte Carlo“ (LSMC), „Replicating Portfolio“ und „Curve Fitting“ untersucht. Insbesondere haben wir eine allgemeine Strategie entwickelt, um ein gutes replizierendes Portfolio zusammenzustellen. Hierbei haben wir zuerst den Aufbau eines Asset-Pools beschrieben. Danach haben wir die Konstruktion von Sensitivitätssätzen durch Rekalibrierungs- oder Neugewichtungstechniken veranschaulicht. Als nächstes haben wir ein Kalibrierungsverfahren vorgeschlagen, bei dem sowohl die Optimierungsmethode der kleinsten Quadrate als auch die Auswahl von Teilmengen anhand bestimmter Kriterien verwendet werden, um das optimale Replikationsportfolio auszuwählen und das benötigte Risikokapital zu berechnen. Schließlich haben wir anhand einer empirischen Anwendung den gesamten Prozess von der Kalibrierung der ESG-Modelle anhand von realen Marktdaten, der Erzeugung und Validierung der ökonomischen Szenarien, der marktkonsistenten Bewertung sowie der Bestimmung des SCR durch die verschachtelte Simulation und des replizierenden Portfolios, illustriert.

Citation style: