Thermoelectric transport in density-modulated two-dimensional electron gases

Rojek, Stephan

Longitudinal and transverse thermoelectrics have been analyzed in various structured two-dimensional electron gases. To study the thermoelectric characteristics such as the thermopower, a temperature gradient often relies on Joule heating, where a current heats the electrons of the two-dimensional electron gas locally. Due to energy diffusion, the spacial dependence of the temperature is not obvious and it is challenging to access it experimentally. In this thesis, we focus on devices where the device dimensions are comparable to the energy diffusion length and study mesoscopic features of the thermoelectric voltage. The dependence on the device dimensions in comparison to the energy diffusion length is analyzed in detail. We discuss the thermoelectric transport properties within a diffusion thermopower model and study schemes to measure the energy diffusion length and its energy-dependence. That description is based on a quasi-equilibrium distribution function with spatially-dependent electron temperature and chemical potential. Thermoelectric response coefficients are calculated in lowest order of the Sommerfeld expansion. The relation to recent experiments where mesoscopic effects play an important role is shown in this thesis. The quasi-equilibrium approach within the diffusion thermopower model is sufficient as long as the energy that corresponds to the electron temperature is much smaller than the Fermi energy. However, there are situations where that model has to be generalized for an appropriate determination of the thermoelectric voltage. It is therefore important to understand the non-equilibrium contributions to the electron distribution function systematically. This thesis presents an analytic method to calculate the non-equilibrium contributions to the electron distribution. For that, the Boltzmann equation is solved analytically in an expansion of energy moments in the manner of hydrodynamic equations. An effective equation is derived incorporating both elastic and inelastic scattering processes in a relaxation time approximation. The non-equilibrium contributions to the electrochemical potential are calculated within a systematic Sommerfeld expansion. Correspondingly, we calculate not only the equivalent to a temperature profile but the profiles of higher energy moments of the non-equilibrium distribution function as well. Actually, in lowest order of the Sommerfeld expansion, the generalized approach is equivalent to the quasi-equilibrium ansatz. The first correction modifies Mott’s formula for the Seebeck coefficient. Even at low temperature, that correction can become significant if the electron density of the two-dimensional electron gas is reduced by an external potential. Moreover, the systematic treatment of the energy moments of the distribution function allows for a better understanding of the non-equilibrium transport characteristics which are important for mesoscopic device geometries as analyzed in this thesis.

Longitudinale und transversale thermoelektrische Eigenschaften werden in verschiedensten strukturierten zweidimensionalen Elektronengasen analysiert. Um die thermoelektischen Charakteristiken, wie den Seebeck-Koeffizienten, zu untersuchen, wird oft auf einen Temperaturgradienten zurückgegriffen, der durch Joulsche Wärme erzeugt wird. In dem Fall heizt ein Strom lokal die Elektronen in dem zweidimensionalen Elektronengas. Durch Energiediffusion ist die Ortsabhängigkeit der Temperatur nicht trivial. In dieser Arbeit fokussieren wir uns auf Strukturen, deren Dimension mit der Energiediffusionslänge vergleichbar ist, und behandeln mesoskopische Eigenschaften der thermoelektrischen Spannung. Die Abhängigkeit von Systemlängen im Vergleich zu der Energiediffusionslänge wird im Detail analysiert. Wir diskutieren die thermoelektrischen Transporteigenschaften im Rahmen eines diffusiven thermischen Modells und studieren Situationen, in denen die Energiediffusionslänge und ihre Energieabhängigkeit gemessen werden kann. Diese Beschreibung basiert auf einer Quasigleichgewichts-Verteilungsfunktion mit ortsabhängiger Temperatur und ortsabhängigem chemischen Potential. Die thermoelektrischen Transportkoeffizienten werden in niedrigster Ordnung der Sommerfeld-Entwicklung bestimmt. In dieser Arbeit wird auch der Zusammenhang zu aktuellen Experimenten hergestellt, bei denen mesoskopische Effekte eine wichtige Rolle spielen. Der Quasigleichgewichtsansatz innerhalb des diffusiven thermischen Modells ist ausreichend, solange die Energie, die durch die Elektronentemperatur repräsentiert wird, viel kleiner ist als die Fermi-Energie. Allerdings gibt es Situationen, in denen das Modell verallgemeinert werden muss, um die thermoelektrische Spannung angemessen zu beschreiben. Daher ist es wichtig, die Beiträge des Nichtgleichgewichts zur Verteilungsfunktion der Elektronen systematisch zu verstehen. Diese Arbeit präsentiert eine analytische Methode, diese Nichtgleichgewichtsbeiträge zu berechnen. Hierfür wird die Boltzmann-Gleichung mit einer Entwicklung in Energiemomente im Sinne von hydrodynamischen Gleichungen analytisch gelöst. Eine effektive Gleichung wird hergleitet, die sowohl elastische als auch inelastische Streuprozesse in einer Relaxationszeit-Approximation berücksichtigt. Die Nichtgleichgewichtsbeiträge zum elektrochemischen Potential werden im Rahmen einer systematischen Sommerfeld-Entwicklung berechnet. Entsprechend wird nicht nur das Äquivalent zum Temperaturprofil bestimmt, sondern auch die Profile höherer Energiemomente. In der niedrigsten Ordnung der Sommerfeld-Entwicklung ist die verallgemeinerte Theorie äquivalent zum Quasigleichgewichtsansatz. Allerdings verändert bereits die erste Korrektur die Mott-Formel für den Seebeck-Koeffizienten. Selbst für niedrige Temperaturen kann diese Korrektur signifikant sein, wenn die Elektronendichte durch externe Potentiale reduziert wird. Darüber hinaus erlaubt eine systematische Behandlung der Energiemomente ein besseres Verständnis der Transporteigenschaften im Nichtgleichgewicht, welches für mesoskopische Strukturen, wie diejenigen, die hier behandelt werden, essentiell ist.

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Rojek, Stephan: Thermoelectric transport in density-modulated two-dimensional electron gases. 2018.

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