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Generalized factorial cumulants applied to Coulomb-blockade systems

Stegmann, Philipp

Tunneling of electrons through a Coulomb-blockade system is a stochastic (i.e., random) process. The number of the transferred electrons per time interval is determined by a probability distribution. The form of this distribution can be characterized by quantities called cumulants. Recently developed electrometers allow for the observation of each electron transported through a Coulomb-blockade system in real time. Therefore, the probability distribution can be directly measured. In this thesis, we introduce generalized factorial cumulants as a new tool to analyze the information contained in the probability distribution. For any kind of Coulomb-blockade system, these cumulants can be used as follows: First, correlations between the tunneling electrons are proven by a certain sign of the cumulants. In the limit of short time intervals, additional criteria indicate correlations, respectively. The cumulants allow for the detection of correlations which cannot be noticed by commonly used quantities such as the current noise. We comment in detail on the necessary ingredients for the presence of correlations in the short-time limit and thereby explain recent experimental observations. Second, we introduce a mathematical procedure called inverse counting statistics. The procedure reconstructs, solely from a few experimentally measured cumulants, characteristic features of an otherwise unknown Coulomb-blockade system, e.g., a lower bound for the system dimension and the full spectrum of relaxation rates. Third, the cumulants reveal coherent oscillations or other processes transferring single electrons in a regular manner. The sensitivity for the oscillations increases dramatically in comparison to the commonly used quantities as the waiting times and finite-frequency current noise. The increased sensitivity is especially convenient for the detection of coherent oscillations in already existing experimental set-ups. Fourth, a violation of detailed balance is indicated by the cumulants. Detailed balance means the absence of net probability currents in the system's state space for the stationary limit. A violation of detailed balance is possible if the state space consist of more than two states connected by tunneling rates in such a way that a closed loop is formed. We illustrate the application of the generalized factorial cumulants for the transport through single metallic islands and quantum dots tunnel coupled to superconducting, ferromagnetic, or normal metallic electrodes. For all these example systems, it has been demonstrated already in experiments that electron transport can be observed in real time. Thus, our results can be applied immediately to such experimental realizations of a Coulomb-blockade system.

Das Tunneln von Elektronen durch ein Coulomb-Blockade-System ist ein stochastischer Prozess bzw. Zufallsprozess. Die Anzahl an transferierten Elektronen pro Zeitintervall ist bestimmt von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Form dieser Verteilung kann durch Größen charakterisiert werden, die Kumulanten genannt werden. Kürzlich entwickelte Elektrometer ermöglichen es, jedes Elektron in Echtzeit zu beobachten, das durch ein Coulomb-Blockade-System transportiert wird. Deshalb kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung direkt gemessen werden. In dieser Dissertation führen wir generalisierte faktorielle Kumulanten als ein neues Instrument ein, um die in der Wahrscheinlichkeitsverteilung enthaltenden Informationen zu analysieren. Für jede Art von Coulomb-Blockade-System können diese Kumulanten wie folgt genutzt werden: Erstens, Korrelationen zwischen den tunnelnden Elektronen werden durch ein bestimmtes Vorzeichen der Kumulanten nachgewiesen. Im Limes kurzer Zeitintervalle zeigen zusätzliche Kriterien jeweils Korrelationen an. Die Kumulanten ermöglichen das Detektieren von Korrelationen, die von üblicherweise verwendeten Messgrößen wie dem Stromrauschen nicht bemerkt werden. Wir erläutern im Detail die notwendigen Voraussetzungen für das Vorhandensein von Korrelationen im Limes kurzer Zeiten und erklären dabei jüngste experimentelle Beobachtungen. Zweitens, wir führen eine mathematische Prozedur namens inverse Zählstatistik ein. Die Prozedur rekonstruiert, ausschließlich mittels einiger experimentell gemessener Kumulanten, charakteristische Merkmale eines ansonsten unbekannten Coulomb-Blockade-Systems, z. B. eine untere Grenze für die Dimension des Systems und das volle Spektrum an Relaxationsraten. Drittens, die Kumulanten offenbaren kohärente Oszillationen oder andere Prozesse, die einzelne Elektronen in einer regelmäßigen Weise transferieren. Die Sensitivität für die Oszillationen steigt dramatisch an im Vergleich zu den im Allgemeinen genutzten Messgrößen wie den waiting times und dem frequenzabhängigen Stromrauschen. Die erhöhte Sensitivität ist insbesondere günstig, um kohärente Oszillationen in bereits existierenden experimentellen Aufbauten zu detektieren. Viertens, eine Verletzung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts wird von den Kumulanten angezeigt. Detailliertes Gleichgewicht bezeichnet die Abwesenheit von netto Wahrscheinlichkeitsströmen im Zustandsraum des Systems für den stationären Limes. Eine Verletzung des detaillierten Gleichgewichts ist möglich, falls der Zustandsraum aus mehr als zwei Zuständen besteht, die über Tunnelraten derart verknüpft sind, dass sich eine geschlossene Schleife bildet. Wir veranschaulichen die Anwendung der generalisierten faktoriellen Kumulanten für den Transport durch einzelne metallische Inseln oder Quantenpunkte, die an supraleitende, ferromagnetische oder gewöhnliche metallische Elektroden tunnel-gekoppelt sind. Für all diese Beispielsysteme ist bereits in Experimenten demonstriert worden, dass Elektronentransport in Echtzeit beobachtet werden kann. Daher können unsere Resultate sofort auf derartige experimentelle Realisierungen eines Coulomb-Blockade-Systems angewendet werden.

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Stegmann, Philipp: Generalized factorial cumulants applied to Coulomb-blockade systems. 2017.

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