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Einschließungs- und Nichtexistenzsätze in der geometrischen Maßtheorie

Henkemeyer, Patrick

Ein stetiges, lineares Funktional auf der Menge der n-dimensionalen Differentialformen mit kompaktem Träger in einer offenen Menge des R^{n+k} heißt n-dimensionaler Strom mit Kodimension k. Wir betrachten n-dimensionale rektifizierbare Ströme mit kompaktem Träger, welche durch Integration über eine rektifizierbare Menge M entstehen. Diese Objekte erweitern die klassische Differentialgeometrie auf Flächen, welche nicht notwendigerweise glatt sind, durch Verallgemeinerung der Konzepte in einem maßtheoretischen Weg. In dem ersten Teil dieser Arbeit beweisen wir Einschließungssätze für Area-stationäre Ströme, Ströme mit mittlerem Krümmungsvektor sowie für Area-stationäre Ströme in einem Gravitationsfeld und in Untermannigfaltigkeiten. Falls alle Randkomponenten in einer verallgemeinerten nichtkonvexen Menge liegen, dann ist bereits der gesamte Träger des Stroms in dieser Menge enthalten. Dazu setzen wir geeignete Barrierevektorfelder in die jeweiligen ersten Variationsformeln ein. Weiterhin zeigen wir, dass die Träger der Ströme in diesen verschiedenen Situationen nicht durch die Spitze eines Doppelkegels verlaufen können. Das führt zu Nichtexistenzsätzen für zusammenhängende, verallgemeinerte Flächen unter gewissen Bedingungen. In dem Fall der Area-stationären Ströme mit Kodimension Eins vergrößern wir den Öffnungswinkel des Kegels und geben den größtmöglichen Kegel mit der Nichtexistenz-Eigenschaft an. In dem zweiten Abschnitt betrachten wir Krümmungsflüsse für Flächen ohne Ränder, sodass wir mit rektifizierbaren Varifaltigkeiten arbeiten. Wir beweisen ein Einschließungsresultat für den Brakke-Fluss in eine zeitabhängige nichtkonvexe Menge und analysieren die Entwicklung von Singularitäten. Wir enden mit der Definition eines schwachen mittleren Krümmungsflusses in einem Gravitationsfeld. Zusätzlich zu den Beweisen der grundlegenden Eigenschaften konzentrieren wir uns auf Vergleichs- und Einschließungssätze.

A continuous linear functional on the set of n-dimensional differential forms with compact support in an open set of R^{n+k} is called an n-dimensional current with codimension k. We consider n-dimensional rectifiable currents with compact support which are obtained by integration over a rectifiable set M. These objects extend the classical differential geometry to surfaces that are not necessarily smooth by generalizing the concepts in a measure theoretic way. In the first part of this thesis we prove enclosure theorems for area stationary currents, currents with mean curvature vector and for area stationary currents in a gravity field as well as in submanifolds. If all boundary components are in a generalized nonconvex set then the whole support of the current is contained in this set. To see this we plug appropriate barrier vector fields into the first variation formulas. Furthermore we show that the supports of currents in all these different situations cannot pass through the vertex of a doublecone. This leads to non-existence theorems for connected generalized surfaces under certain conditions. In case of area stationary currents of codimension one we are able to enlarge the angle of the cone and state the largest cone with the non-existence property. In the second part we consider curvature flows of surfaces without boundaries, thus we deal with rectifiable varifolds. We prove an enclosure result for the Brakke-flow in a time dependent nonconvex set and we analyze the development of singularities. We end with the definition of a weak mean curvature flow in a gravity field. In addition to the proofs of basic properties we focus on compare and enclosure theorems.

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Henkemeyer, Patrick: Einschließungs- und Nichtexistenzsätze in der geometrischen Maßtheorie. 2017.

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