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Neue Matrix-Ungleichungen und Anwendungen auf konstitutive Beziehungen in der nichtlinearen Elastizitätstheorie

Thiel, Christian LSF

Die Gültigkeit der sogenannten Sum-of-Squared-Logarithms-Ungleichung für beliebige Dimension war lange Zeit eine offene Fragestellung. Diese Ungleichung, die auch als SSLI bezeichnet wird, lässt sich wie folgt formulieren: Seien $n\in\N$ und $x, y \in \R_+^n$, sodass \[ e_k(x)\ \leq\ e_k(y)\qquad \text{für alle\ \,$k\in\{1,\ldots,n-1\}$}\qquad\text{und}\qquad e_n(x)\ =\ e_n(y)\,. \] Dann gilt \[ \sum_{i=1}^n(\log x_i)^2\ \leq\ \sum_{i=1}^n(\log y_i)^2\,. \] Die SSLI wurde zunächst nur für $n\in\{2,3,4\}$ bewiesen. In dieser Arbeit wird der Beweis für beliebige $n\in\N$ geführt. Ausgehend von der SSLI und verwandten Ungleichungen werden anschließend konstitutive Fragestellungen der nichtlinearen Elastizitätstheorie behandelt. Insbesondere ermöglicht es die Anwendung der SSLI, neue Ergebnisse im Bereich konstitutiver Fragestellungen in der Elastizitätstheorie zu erhalten, einschließlich der sogenannten empirischen Ungleichungen. Der Zusammenhang zwischen diesen und der sogenannten Semi-Invertierbarkeit und Koaxialität elastischer Spannnungs-Dehnungs-Beziehungen wird ebenso untersucht wie neuartige sogenannte \enquote{Shear-Bedingungen}. Hierbei wird insbesondere auf die Familie der Energiefunktionen vom sogenannten Hencky-Typ, welche die Form \[ W(F)\ =\ \mathcal W\bigl(\norm{\dev_3\log U}^2,\ \left|\tr\log U\right|^2\bigr) \] haben, sowie auf Energien vom Valanis-Landel-Typ eingegangen. Desweiteren wird die Bedingung der Konvexität elastischer Energiefunktionen im rechten Cauchy-Green-Deformationstensor $C$ betrachtet. Unter Annahme dieser Konvexitätsbedingung wird ein Kriterium dafür vorgestellt, dass schwache Lö\-sungen der elastischen Gleichgewichtsgleichung das zugehörige Energiefunktional minimieren. Zudem wird die Anwendbarkeit der Ergebnisse auf Energiefunktionen der Form \[ \widehat W(C) = \alpha\,\tr(C) + \beta\,\tr(C)^2 + \gamma\,\tr(C^2) - \delta\,\log\det C + \zeta \] mit Parametern $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\zeta\geq 0$ aufgezeigt.

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Thiel, Christian: Neue Matrix-Ungleichungen und Anwendungen auf konstitutive Beziehungen in der nichtlinearen Elastizitätstheorie. 2017.

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