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Motives for an elliptic curve without complex multiplication

Cao, Jin

We provide an algebraic model of the idempotent complete rigid tensor subcategory DMEM(k, Q)E of Voevodsky’s triangulated category of geometric motives DMgm(k, Q), defined over a base field k of characteristic zero with rational coefficients, generated by the motive of a fixed elliptic curve E without complex multiplication. Our construction relies upon two major ingredients. The first is to study the general properties of commutative differential graded algebras in the category of representations of a reductive algebraic group with a non-trivial central cocharacter. This includes a description of the derived category of differential graded modules over a given algebra and a criterion for the existence of a t-structure on the derived category. The second ingredient is to use Friedlander-Suslin com- plexes to define a cycle complex for E, which is a commutative differential graded algebra over GL2. With these ingredients in hand, we apply the general theory to our particular cycle algebra and show the desired equivalence between the full subcategory of the derived category of differential graded modules over the cycle algebra consisting of compact objects and DMEM(k,Q)E.

Wir konstruieren ein algebraisches Modell der idempotent-vollständigen starren ⊗-Unterkategorie DMEM(k,Q)E von Voevodskys triangulierter Kategorie von geometrischen Motiven DMgm(k,Q) über einen Körper k der Charakteristik Null mit rationalen Koeffizienten, erzeugt von dem Motiv einer festen elliptischen Kurve E ohne komplexe Multiplikation. Unsere Konstruktion beruht auf zwei Hauptbestandteilen. Der erste Bestandteil ist die Beschreibung der allgemeinen Eigenschaften der kommutativen, differentiell-graduierten Algebren in der Kategorie der Darstellungen einer reduktiven algebraischen Gruppe mit einem nicht-trivialen zentralen Cocharacter. Dies schließt eine Beschreibung der abgeleiteten Kategorie der differentiell-graduierten Moduln über einer gegebenen Algebra und ein Kriterium für die Existenz einer t-Struktur auf der abgeleiteten Kategorie ein. Der zweite Bestandteil ist die Konstruktion eines Zykluskomplexes für E mit Hilfe von Fridelander- Suslin Komplexen. Dieser ist eine kommutative differentiell-graduierte Algebra über GL2. Hiermit können wir die allgemeine Theorie auf unsere Zyklus-Algebra anwenden und damit die gewünschte Äquivalenz zwischen der vollen Unterkategorie der kompakten Objekte der abgeleiteten Kategorie der differentiell-graduierten Moduln über der Zyklus-Algebra und DMEM(k,Q)E zeigen.

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Cao, Jin: Motives for an elliptic curve without complex multiplication. 2016.

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