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Motives and algebraic cycles with moduli conditions

Binda, Federico

Diese Arbeit ist dem Studium von Motiven und algebraischen Zykeln unter einer bestimmten Bedingung im Unendlichen gewidmet - der sogenannten Modulus-Bedingung. Den Ideen von Kerz und Saito folgend behandeln wir den Begriff von relativer motivischer Kohomologie eines Paares (X, D) (bestehend aus einem glatten, separierten Schema über k und einem darauf definierten effektiven, nicht reduzierten Cartier-Divisor) im Bezug auf algebraische Zykeln, die sich an dem Blochschen Zykelnkomplex orientiert. Wir konstruieren eine Zykelklassenabbildung von der Gruppe der höheren Verschwindungszykeln mit Modulus in die relativen K-Gruppen des Paares (X, D), und wir beweisen einige Verschwindungsresultate bezüglich Verschwindungszykeln auf affinen Varietäten. In dem zweiten Teil dieser Arbeit konstruieren und studieren wir eine nicht stabile motivische Homotopie-Kategorie mit Modulus MH(k). Damit verallgemeinern wir die Morel-Voevodsky-Konstruktion von glatten Schemata über k auf gewisse Diagramme von Schemata. Möglicherweise stellt diese Kategorie einen Kandidaten dar für die Lösbarkeit gewisser Darstellbarkeitsprobleme nicht A1-invarianter verallgemeinerter Kohomologietheorien.

This thesis is dedicated to the study of motives and algebraic cycles subject to certain constraints at infinity, called the modulus condition. Following ideas of Kerz and Saito, we discuss the notion of relative motivic cohomology of a pair (X, D) (consisting of a smooth separated scheme over k and an effective non-reduced Cartier divisor on it) in terms of algebraic cycles, modeled on Bloch’s cycle complex. We construct a cycle class map from the group of higher zero cycles with modulus to the relative K-groups of the pair (X, D) and we prove some vanishing results concerning zero cycles on affine varieties. In the second part of the thesis, we construct and study an unstable motivic homotopy category with modulus MH(k), extending the Morel-Voevodksy construction from smooth schemes over a field k to certain diagrams of schemes. We present this category as a candidate environment for studying representability problems for non A1-invariant generalized cohomology theories.

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Binda, Federico: Motives and algebraic cycles with moduli conditions. 2016.

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