Diese Arbeit ist dem Studium von Motiven und algebraischen Zykeln unter einer bestimmten Bedingung im Unendlichen gewidmet - der sogenannten Modulus-Bedingung. Den Ideen von Kerz und Saito folgend behandeln wir den Begriff von relativer motivischer Kohomologie eines Paares (X, D) (bestehend aus einem glatten, separierten Schema über k und einem darauf definierten effektiven, nicht reduzierten Cartier-Divisor) im Bezug auf algebraische Zykeln, die sich an dem Blochschen Zykelnkomplex orientiert. Wir konstruieren eine Zykelklassenabbildung von der Gruppe der höheren Verschwindungszykeln mit Modulus in die relativen K-Gruppen des Paares (X, D), und wir beweisen einige Verschwindungsresultate bezüglich Verschwindungszykeln auf affinen Varietäten. In dem zweiten Teil dieser Arbeit konstruieren und studieren wir eine nicht stabile motivische Homotopie-Kategorie mit Modulus MH(k). Damit verallgemeinern wir die Morel-Voevodsky-Konstruktion von glatten Schemata über k auf gewisse Diagramme von Schemata. Möglicherweise stellt diese Kategorie einen Kandidaten dar für die Lösbarkeit gewisser Darstellbarkeitsprobleme nicht A1-invarianter verallgemeinerter Kohomologietheorien.