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Zur Existenz äquivarianter Yang-Mills-Zusammenhänge

Anderle, Laura

Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$, ein Prinzipalfaserbündel $P$ über $M$ und einen Zusammenhang $D+A$ von $P$ ist das Yang-Mills-Funktional definiert als $$ YM(D+A):=\int_M|F_{D+A}|^2\,dx,$$ wobei $F_{D+A}$ die Krümmung von $D+A$ bezeichnet. Wir fixieren eine Lie-Gruppe $K$, die auf $M$ und $P$ operiert, sodass die Kohomogenität der $K$-Operation auf $M$ höchstens vier ist. Indem wir $YM$ auf der Menge der Zusammenhänge, die unter diesen $K$-Operationen äquivariant sind, minimieren und Palais' Prinzip der symmetrischen Kritikalität anwenden, zeigen wir die Existenz einer $K$-äquivarianten Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung zu $YM$ fast überall auf $M$. Diese Lösung ist im Allgemeinen ein Zusammenhang eines von $P$ verschiedenen Bündels. Um dies zu erreichen, zeigen wir zunächst, dass es lokal in $M$ passende Eichtransformationen gibt (die nicht notwenigerweise Coulomb-Eichungen sind), wenn eine Kleinheitsbedingung an die Krümmung des betrachteten Zusammenhangs erfüllt ist (dafür modifizieren wir einen bekannten Eichsatz von Meyer und Rivi\`ere). \\ Mit Hilfe dieses Eichsatzes und der direkten Methode der Variationsrechnung erhalten wir fast überall auf $M$ lokale Lösungen der $YM$-Gleichung. Diese setzen wir zusammen zu einem Zusammenhang eines Bündels über $M$ ohne eine Ausnahmemenge der Kodimension vier.

For a compact Riemannian manifold $M$, a principal fiber bundle $P$ over $M$, and a connection $D+A$ of $P$, the Yang-Mills functional is defined as $$ YM(D+A):=\int_M|F_{D+A}|^2\,dx,$$ where $F_{D+A}$ denotes the curvature of $D+A$. We fix a compact Lie group $K$ acting on $M$ and $P$, such that the cohomogenity of the $K$-action on $M$ is less or equal to four. By minimizing $YM$ among all connections that are equivariant under the action of $K$ and using Palais' principle of symmetric criticality, we show the existence of a solution of the Euler-Lagrange equation of $YM$ almost everywhere on $M$. In general, this solution is a connection of a bundle different from $P$. In order to obtain this result we prove the local existence of good equivariant gauges (which are not necessarily Coulomb gauges) under a smallness assumption on the curvature of the regarded connection (by modifying a well-known Coulomb gauge theorem by Meyer and Rivi\`ere). \\ By using this gauge theorem and the direct method of the calculus of variations, we obtain local solutions to the $YM$-equation almost everywhere on $M$. Then we assemble those local solutions to a connection of a bundle over $M'\subset M$, where $M\setminus M'$ has codimension-four.

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Anderle, Laura: Zur Existenz äquivarianter Yang-Mills-Zusammenhänge. 2016.

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