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A local proof of the Breuil-Mézard conjecture in the scalar semi-simplification case

Sander, Fabian

Das Hauptresultat der Dissertation ist ein lokaler Beweis der Breuil-Mezard-Vermutung im Falle einer stetigen 2-dimensionalen reduziblen Darstellung der absoluten Galoisgruppe von Qp mit skalarer Halbvereinfachung. Dabei benutzen wir einen allgemeinen Formalismus von Vytautas Paskunas, den wir in unserem Fall vereinfachen. Ausserdem geben wir eine explizite Darstellung der nichttrivialen universellen gerahmten (framed) Deformationsringe an, die crystalline Lifte der residualen Darstellung mit fixiertem Hodge-Typ und kleinen Hodge-Tate-Gewichten parametrisieren. Damit koennen wir zeigen, das die speziellen Fasern dieser Ringe geometrisch irreduzibel und generisch reduziert und ihre Hilbert-Samuel-Multiplizitaeten entweder 1, 2 oder 4 sind. In den letzten beiden Faellen sind die universellen Ringe nicht Cohen-Macaulay.

The main result of this dissertation is a local proof of the Breuil-Mezard conjecture in the case of a continuous 2-dimensional reducible representation of the absolute Galois group of Qp with scalar semi-simplification. To prove this we use a general formalism of Vytautas Paskunas, that we simplify in our case. Moreover, we give an explicit presentation of the non-trivial deformation rings that parameterize crystalline lifts of the residual representation with fixed Hodge type when the Hodge-Tate weights are small. Thereby we can show that the special fibers of these rings are geometrically irreducible and generically reduced and that their Hilbert-Samuel multiplicities are either 1, 2 or 4. In the last two cases the universal rings are not Cohen-Macaulay.

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Sander, Fabian: A local proof of the Breuil-Mézard conjecture in the scalar semi-simplification case. 2015.

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