# Chebyshev-Grüss- and Ostrowski-type Inequalities

My PhD thesis deals with Chebyshev-Grüss- and Ostrowski-type inequalities in the univariate and bivariate case. Such inequalities have drawn much attention in recent years due to their applications. </br> The classical form of Grüss' inequality, first published by G. Grüss in 1935, gives an estimate of the difference between the integral of the product and the product of the integrals of two functions in C[a,b]. In the following years a lot of variants of this inequality appeared in the literature. </br> This talk consists of five parts. The first part includes a motivation, containing some introductory instruments that are further used to obtain the results. In the second section, Chebyshev-Grüss-type inequalities in the one-dimensional case are of interest. The results are introduced with the help of second moments, first absolute moments and quantities over differences of second and first moments. They are applied to (positive) linear operators. Oscillations which are expressed by the least concave majorant of the first order modulus are used in the first place. The use of such oscillations includes all points in the considered interval, and that is the reason why a new approach arises looking at fewer points. When talking about discrete oscillations, Chebyshev-Grüss-type inequalities for more than two functions are obtained at the end of this section. The third section extends the results from the univariate to the bivariate case. The method of parametric extensions by means of product of two compact metric spaces is used. Applications are given for both the approach with the least concave majorant and also for the one via discrete oscillations. The purpose of the fourth and fifth sections is to complete this study, in the sense that univariate and bivariate Ostrowski-type inequalities are also considered. Some applications are specified and Ostrowski type inequalities are obtained, with or without the participation of the iterates of the operators. The limit of the iterates of positive linear operators is also studied.
Mein Promotionsvorhaben "Chebyshev-Grüss- and Ostrowski-type Inequalities" befasst sich mit Chebyshev-Grüss- und Ostrowski-Typ-Ungleichungen im univariaten und bivariaten Fall. Derartige Ungleichungen haben in den letzten Jahren, auch aufgrund ihrer Anwendungen, viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen. </br> Die klassische Form der Grüss-Ungleichung, die zum ersten Mal von G. Grüss im Jahre 1935 publiziert wurde, gibt eine Abschätzung für die Differenz zwischen dem Integral des Produktes und dem Produkt der Integrale zweier Funktionen in C[a,b] an. In den folgenden Jahren erschienen in der Literatur viele Varianten dieser Ungleichung. </br> Die vorgelegte Dissertation besteht aus fünf Kapiteln.</br> Der erste Abschnitt beinhaltet Hilfsmittel, die im weiteren Verlauf benötigt werden. Wesentlich dabei sind: Stetigkeitsmodule, das K- Funktional und seine Beziehung zu den Modulen, positive und nicht notwendig positive lineare Operatoren. </br> Im zweiten Kapitel sind Chebyshev-Grüss-Typ-Ungleichungen im eindimensionalen Fall von Interesse. Zunächst werden einige Hilfsergebnisse und Anwendungen derselben angegeben; ebenso wird auf die Historie verwiesen. Einige Bemerkungen und Ergebnisse zur Ungleichung von Chebyshev werden ebenfalls vorgestellt. (Pre-) Chebyshev-Grüss-Typ-Abschätzungen werden anschließ end eingeführt, und zwar mit Hilfe von zweiten Momenten, ersten absoluten Momenten und Größen, die Differenzen von zweiten und ersten Momenten enthalten. Die wichtigsten Ergebnisse betreffen (positive) lineare Operatoren. Für die entsprechenden Anwendungen sind Oszillationen, die durch die kleinste konkave Majorante des ersten Moduls der Ordnung 1 ausgedrückt werden, das zentrale Hilfsmittel. Die Verwendung solcher Oszillationen umfasst alle Punkte im betrachteten Intervall; dies ist die Motivation für einen weiteren Ansatz, der weniger Punkte betrachtet. Derartige diskrete Oszillationen in Chebyshev-Grüss-Typ-Ungleichungen für mehr als zwei Funktionen werden am Ende dieses Kapitels ebenfalls betrachtet.</br> Der dritte Abschnitt überträgt die Ergebnisse des univariaten auf den bivariaten Fall. Hier wird das Verfahren der parametrischen Erweiterungen verwendet. Hilfs-und historische Ergebnisse werden im ersten Teil dargestellt. Sodann werden für ausgewählte Operatoren deren Tensorprodukte betrachtet. Anwendungen werden sowohl für den Ansatz mit der kleinsten konkaven Majorante als auch für den via diskreter Oszillationen gegeben.</br> Der Zweck des vierten und fünften Kapitels ist es, diese Studie zu vervollständigen in dem Sinne, dass univariate und bivariate Ostrowski-Typ-Ungleichungen dargestellt werden. Hier werden zunächst einige historische Betrachtungen angestellt und die entsprechenden Ergebnisse anschließ end modifiziert und teilweise verbessert. Das letzte Kapitel stellt zwei Beispiele von Ostrowski-Typ-Ungleichungen im bivariaten Fall vor. Die beiden Anwendungen, die hier angegeben wurden, betreffen Produkte von Bernstein-Stancu und Bernstein-Durrmeyer-Operatoren mit Jacobi-Gewichten. In beiden Fällen werden Ostrowski-Typ-Ungleichungen mit oder ohne Beteiligung der Iterierten der Operatoren erhalten. Der Grenzwert der Iterierten von positiven linearen Operatoren wird ebenfalls untersucht. </br> Es gibt eine Verbindung zwischen Ostrowski- und Grüss-Ungleichungen, die den Begriff "Ostrowski-Grüss-Typ-Ungleichungen", der häufig in der Literatur verwendet wird, erklärt. Aus Gründen der Klarheit wird betont, dass der Begriff in dieser Arbeit ausschließlich dann verwendet wird, wenn die untere Schranke der Fehlerterm in der einfachsten Quadraturformel ist, während die obere Schranke eine Differenz der oberen und unteren Grenze der Funktion enthält, so wie dies auch in der Arbeit von G. Grüss aus dem Jahr 1935 der Fall ist. Hierbei sei daran erinnert, dass der Begriff "Ostrowski-Grüss-Typ-Ungleichung" zuerst von Dragomir et al. in einem Artikel aus dem Jahr 1997 geprägt wurde.

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