# Risk averse shape optimization - risk measures and stochastic orders

In this thesis, risk averse shape optimization of elastic strucures is at issue. Shape optimization, in general, deals with the type of problems where the variable to be optimized is the geometry or the shape of a domain. Here, the domain represents an elastic body which is subjected to a force applied. Relying on the concepts of shape and topology sensitivity analysis an algorithm is implemented which successively improves the elastic body concerning the elastic response and the total volume. Eventually, this procedure results in a body which is, on the one hand, as stiﬀ as possible regarding the force applied and, on the other hand, whose volume is as small as possible. Solving such problems numerically requires an eﬃcient solver for the underlying partial diﬀerential equation (here the linearized elasticity model). To this end, diﬀerent ﬁnite element methods and mesh generation approaches are applied. Level set methods are employed to realize the evolution of the elastic body in the discrete setting. Uncertainty is then introduced by considering the force applied to be random. Thus, the elastic body can be interpreted as a parameter deﬁning a random variable. In a ﬁrst approach risk measures, which are well-known in economics, are proposed to assess random variables. Risk measures give a notion of risk associated with random variables. Risk neutral and risk averse models are discussed and used to optimize over a class of shapes. A new perspective arises when stochastic dominance relations are employed for the assessment of risk. They deﬁne an order on the space of random variables and allow to compare these to each other directly. Taking a benchmark random variable associated with a required behavior under uncertainty, a set of acceptable shapes can be identiﬁed by comparision to this benchmark. An additional criterion, e.g. minimal volume, is used to select shapes from this set. In that way, shapes with low volume are found which still meet the prescribed requirements.
Thema der vorliegenden Arbeit ist risikoaverse Formoptimierung. Gewöhnliche Formoptimierung umfasst jene Art von Problemen, bei denen die zu optimierende Variable die Form eines Objekts ist. Hier ist das Objekt ein elastischer Körper auf den eine Kraft einwirkt. Basierend auf den Konzepten der Sensitivitätsanalyse bezüglich Form und Topologie wird eine Algorithmus konstruiert, der den elastischen Körper bezüglich seiner elastischen Eigenschaften und dem dabei insgesamt gebrauchten Volumen sukzessiv verbesssert. Das Resultat ist eine Struktur, die auf die wirkende Kraft so stabil wie möglich reagiert und dabei möglichst geringes Volumen hat. Diese Art von Problemen benötigen eﬃziente numerische Löser für die zugrundeliegenden partiellen Diﬀerentialgleichungen (hier ist dies das Modell der linearen Elastizität). Dazu werden unterschiedliche Finite Elemente Methoden sowie Ansätze zur Gittergenerierung benutzt. Mit den sogenannten Levelset Methoden wird die Entwicklung der Struktur numerisch beschrieben. Unsicherheit kommt dann ins Spiel, wenn die berücksichtigten Kräfte als zufällig angenommen werden. So kann nun das elastische Verhalten des Körpers als Zufallsvariable angesehen werden, die von der Form abhängt. In einem ersten Ansatz wird die Form bezüglich verschiedener Risikomaße optimiert, die vor allem in Modellen der (Finanz-) Okonomie zum Einsatz kommen. Solche Risikomaße deﬁnieren unterschiedliche Bewertungen von Risiko, welches einer Zufallsvariable anhängt. Risikoneutrale und risikoaverse Modelle werden zur Formoptimierung benutzt. Eine neue Perspektive eröﬀnet sich, wenn 'stochastic dominance relations' zur Risikobewertung herangezogen werden. Diese deﬁnieren eine Halbordnung auf dem Raum der Zufallsvariablen und ermöglichen es, diese in Relation zu stellen. Ausgehend von einem Benchmark, welches eine gewisse Güte für das Verhalten unter Einwirkung der zufälligen Kräfte beschreibt, kann eine Menge von Formen identiﬁziert werden, deren Verhalten unter Einwirkung der Kräfte nicht schlechter als das Benchmark ist. Aus dieser Menge werden dann Formen nach einem weiteren Kriterium, z.B. möglichst geringes Volumen, ausgewählt. Auf diese Art und Weise werden Formen mit geringem Volumen gefunden, die aber dennoch die zuvor gestellten Anforderungen erfüllen.

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