On Rational Points of Varieties over Complete Local Field with Algebraically Closed Residue Field

Hartmann, Annabelle

This thesis deals with the question whether certain smooth varieties X over a complete local field K with algebraically closed residue field have K-rational points. We consider tame Galois extensions L/K of K, and models of X base changed to L with an action of the Galois group of L/K. We show that if this action has a fixed point in the smooth locus, then X has a K-rational point.
Assuming that the considered model is a quasi-projective weak Néron model, we construct a weak Néron model of X with a certain universal property. Using the construction of this weak Néron model, we prove theorems comparing the motivic Serre invariant and the rational volume of a K-variety X and its base change to L.
As an application, we deduce the existence of K-rational points of certain K-varieties with potential good reduction.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, ob gewisse glatte Varietäten X über einem vollständigen lokalen Körper K mit algebraisch abgeschlossenem Residualkörper K-ratinale Punkte haben.
Wir betrachten zahme Galoiserweiterungen L/K von K und Modelle vom Basiswechsel von X nach L mit einer Wirkung der Galoisgruppe von L/K. Wir zeigen, dass wenn diese Wirkung einen Fixpunkt im glatten Ort hat, X einen K-rationalen Punkt hat.
Unter der Annahme, dass das betrachtete Modell ein quasiprojektives schwaches Néronmodell ist, konstruieren wir ein schwaches Néronmodell von X mit einer universellen Eigenschaft. Mit Hilfe der Konstruktion dieses schwachen Néronmodelles zeigen wir Theoreme, die die motivische Serrinvariant und das rationale Volumen einer K-Varietät X mit den entsprechenden Invarianten ihres Basiswechsel nach L in Verbindung setzt.
Als Anwendung beweisen wir die Existenz von K-rationalen Punkten einiger glatter K-Varietäten mit potentiell guter Reduktion.

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Hartmann, Annabelle: On Rational Points of Varieties over Complete Local Field with Algebraically Closed Residue Field. 2012.

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