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Classes of some hypersurfaces in the Grothendieck ring of varieties

Bilgin, Emel

Let X be a projective hypersurface in P_k^n of degree d <= n. In this thesis we study the relation between the class [X] in K_0(Var_k) and the existence of k-rational points. Using elementary geometric methods we show, for some particular X, that X(k) is nonempty if and only if [X] is equivalent to 1 modulo the class of the affine line in K_0(Var_k). More precisely we consider the following cases: a union of hyperplanes, a quadric, a cubic hypersurface with a singular k-rational point, and a quartic which is a union of two quadrics one of which being smooth.

Sei X eine projektive Hyperfläche in P_k ^ n vom Grad d <= n. In dieser Arbeit untersuchen wir die Beziehung zwischen der Klasse von X in K_0 (Var_k) und der Existenz von k-rationalen Punkten. Mit elementaren geometrischen Methoden können wir zeigen, dass X (k) genau dann nicht leer ist, wenn die Klasse von X äquivalent zu 1 modulo der Klasse der affinen Geraden in K_0 (Var_k) ist. Dabei betrachten wir die folgenden Fälle: Vereinigungen von Hyperebenen, Quadriken, kubische Hyperflächen mit mindestens eine singulären k-rationalen Punkt und Quartiken, die sich als Vereinigung von einer glatten und einer beliebigen Quadrik schreiben lassen.

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Bilgin, Emel: Classes of some hypersurfaces in the Grothendieck ring of varieties. 2012.

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